用数学建模方法构建高效课堂，渗透数学核心素养

文/ 广州市西关培英中学 苏进强

广州市天河外国语学校 陈阳彩

《普通高中数学课程标准》（2017 年版）明确提出了六个数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，给出了每个素养的内涵、价值、表现和水平，设置了基于数学核心素养的“学业质量标准”。数学核心素养的评价形式可以是多样化的，除了传统的纸笔测验之外，还可以采用课堂活动、开放式活动中的表现、课内外作业等评价形式。本文结合解三角形的应用举例的课堂活动评价方式，渗透数学建模、直观想象和数学运算的数学核心素养能力。

问题一：河流的两岸上分别有A、B 两点，测量工作者位于河岸B 的同侧，由于实际情况，河岸另一边的A处无法到达。请问如何设计方案，求A、B 两点间距离。提供可用的测量工具有测角仪和测距仪（需要两端点都能到达）。

分析：将实际问题转化为数学问题，建立合适的数学模型来求解。此处引导学生利用可测量的工具在点B 的同侧选定一点C，测量BC 的距离和∠ABC、∠ACB，从而建立数学模型。

数学模型1：在ΔABC 中，已知BC ＝a，∠B ＝β，∠C＝α，求边AB 的长。

分析：这是简单的解三角形问题，直接由正弦定理可求。

小结：数学模型1 由于构造的三角形的两边AB，AC 均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形，这是一种测量不可到达点的距离的方法，让学生想象实际可能的测量条件限制，例如BC 实际上可能在一条容易测量的道路上，而近旁则不宜实施测量，体现了学生直观想象的数学素养能力。

问题二：如果A、B 都在河流的同侧，而测量者在对岸，如何设计一种方案，使得测量者不用过对岸也能求出A、B 两点间距离。

分析：在测量者所在位置取一点C，由A、B、C 构建三角形ΔABC，观测者可以测量∠ACB ＝α。但在ΔABC中只有角∠ACB 已知，是不能求边AB 的。根据解三角形理论，需要已知三角形ΔABC 中的三个要素，且其中至少一个要素是边。如果采取数学模型1 的测量方法分别求AC、BC，再结合已知角α，则AB 可求。所以，可以在河流点C 的同侧分别取两点D、E，结合原来的三个点A、B、C 构建两个三角形ΔACD、ΔBCE，分别在ΔACD、ΔBCE 利用正弦定理求AC 和BC。

数学模型2：在平面五边形ABCDE 中，已知CD ＝a，CE＝b，∠ACB，∠ACD，∠ADC，∠BCE，∠BEC 分别为α，α1，α2，β1，β2，求线段AB 的长。

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosα ＝＋·cosα

所以

小结：由模型1 可知，A、B 两点中当有一点A 不可到达，求AB 的长时，可以在另一点B 处构造可求线段BC，得到ΔABC，度量∠ABC、∠ACB，即可解这个三角形。由此引导学生分别构造两个三角形去求AC、BC 的长，在学生的最近发展区内培养学生的知识迁移能力，进行观察、实验，培养学生的数学建模和数据运算的数学素养。在模型2 中，实际测量中取了三个不同的点C、D、E，而且需要测量的量较多，需要进一步将模型优化。

在测量者所在河岸边选定两点C、D，结合A、B 两点构建平面四边形ABCD，可以利用仪器测量CD 的长与∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠BDA，建立如下数学模型。

数学模型3：在平面四边形ABCD 中，已知CD ＝a，∠ACB＝α1，∠ACD＝α2，∠BDC＝β1，∠BDA＝β2，求线段AB 的长。

分析：在平面四边形ABCD 中求AB 的长，需要解与AB 边有关的三角形ΔABC 或ΔABD，但这两个三角形中都只是已知一个角，无法直接求解AB，因此需要借助其他三角形先求出更多的边或角。

同理，在ΔACD，利用正弦定理求得

因此，在ΔABD 中，利用余弦定理得，

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosβ2＝＋·cosβ2

从而

小结：在实际测量中，既要考虑数学模型的可操作性，也要兼顾计算，对建立的数学模型进行优化。数学模型3是在模型2 的基础上优化而来，既减少了要测量的数据，也满足模型的可操作性，符合实际的要求。从多个角度分析问题，结合解三角形中的正弦定理、余弦定理，构建不同的解三角形模型，有利于培养学生的发散性思维、创新能力，凸显了数学抽象、数学建模的核心素养。

本文运用3 个数学模型构建高效课堂，其中数学建模的主要步骤有：

（1）理解问题的实际背景，从现实对象中提取信息；（2）建立合适的数学模型，本文是建立合适的解三角形模型；（3）利用正弦定理或余弦定理求解三角形模型；（4）将模型的解还原为对现实对象的解答。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。在中学阶段，选择比较有代表性的实际问题开展数学建模活动，不仅让学生进一步巩固所学知识，同时也能提高学生分析问题和解决实际问题的能力以及用数学语言表达实际问题的能力，增强学生应用数学的意识。本文将解三角形的数学模型用于解决测量距离的问题，利用这些实际背景和需要，使学生认识到学习解三角形知识的必要性，并能应用正弦定理和余弦定理建立解三角形的模型，解决实际测量中的距离问题，培养学生数学建模、直观想象、数学运算的核心素养能力。