深度学习理念下探究式教学的实践与反思——以“利用函数性质判断方程解的存在”教学为例

汪贵宏

(陕西省西安电子科技大学附属中学,710071)

《普通高中数学课程标准》指出:“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质”[1].这就要求在课堂教学中,要认真思考如何创设情境、启发学生深度思考,引导学生把握数学本质,从而提升数学核心素养．

探究式教学是指在教师的引导和组织下,学生以自主探究、合作探究、小组交流的方式,围绕教师设置的问题、活动主动地感受问题、发现问题、抽象结论、自主运用已有知识和经验来解决新的问题的一种教学模式．本文以“利用函数性质判断方程解的存在”的同课异构活动为例,对此进行探讨．

一、教学实践

1.情境引入

问题1在生活中,有哪些类似于函数与方程关系的例子?

让学生回顾广播操比赛视频和照片,体会变化过程与变化片段的关系,进而让学生从全局和片刻的角度去观察广播操比赛的动作变化整齐程度,在这样的情境铺垫下,提出函数与方程的关系．

数学源于生活,高于生活．通过这个例子看到,根据照片和视频都可以表达广播操比赛中一个班的动作变化是否整齐统一的整体水平．但照片可以看作是视频的一个画面,就跟方程是函数变化关系中的一个相等状态一样,函数是研究事物变化过程的数学模型,方程刻画的则是相等关系成立的某种状态．两者之间有什么关系呢?如何利用函数的性质来解决方程的相关问题?这就是今天要学习的内容．

2.概念生成

问题2方程lnx+2x-6=0是否有根?

我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程,并掌握一些方程的求解公式.实际上,绝大多数方程是没有求解公式的．面对方程是否有解这个问题,可以从这个方程所对应的函数角度去研究．

问题3面对数学新问题,应该采取怎样的数学方法去研究呢?

引领学生回顾研究函数的单调性和奇偶性,从简单的、已熟知的函数模型出发,从特殊到一般,进而总结出相关结论．通过复习,让学生意识到二次函数在研究单调性和奇偶性时的作用,启发学生可以从一元二次方程出发,去探讨一元二次方程的根与函数之间的关系．

问题4一元二次方程的根与一元二次函数有何关系?

引导学生通过完成表1中的自主探究内容,得出结论．

通过探究,发现方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.进而继续发问,得知这一关系后,对判断方程是否有根有何帮助?引导学生意识到可以把代数的方程是否有根的问题转化为几何的函数图象与x轴是否有交点的问题,这就是数形结合思想．在这里给出函数零点的定义:“对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点”．辨析讨论,深化关系：方程f(x)=0有实数根⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺函数y=f(x)有零点．

3.概念完善

新的问题又来了,大多数函数的图象是画不出来的,自然也就不知道函数图象与x轴是否有交点了．又该如何去寻找答案呢?引导学生继续从二次函数出发,来看看能否从二次函数的零点的特征来探讨如何解决更为一般的函数零点的存在性．

问题5从二次函数与一元二次方程的关系出发,进行探究,如何确定一个函数在给定区间上一定存在零点?

利用函数图象直观的特点,进一步突破函数零点与方程根相互转化这一难点，加深学生对方程的根与函数零点的理解．在给出探究表格前,至关重要的一点是分析为何要去探究端点值是否异号．

判断给定区间上是否一定存在零点,可以从特殊出发,多观察几个区间．而现在的问题是不一定能借助函数图象,那就继续从特殊出发,从区间端点值角度研究,看有无本质特征．这样便可引导学生给出表2最后两列观察项目的答案．

表2

由于二次函数是连续函数,在抽象概括出的结论中,学生容易忽略函数的连续性要求,因此提出如下问题:

问题6若函数f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内一定有零点吗?

引导学生继续从特殊出发,思考能否用已有的函数中举出反例．从而形成完整的零点存在的判定方法:如果① 函数f(x)的图象在[a,b]上连续，②f(a)f(b)<0，则f(x)在(a,b)内存在零点．

问题7在此判定方法中,由结论能推出条件吗?即若f(x)在(a,b)内存在零点,是否一定要有f(a)f(b)<0(图1)?

4.概念应用

练习1函数f(x)=2x-1的零点是______.

练习2判断函数f(x)=4x3-8x2+3x在下列区间内是否有零点?

(1)(-1,1) (2)(1,2)

存在性探究利用零点存在性定理探索函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.这个问题有一定难度.不同的学生可能会选择不同的区间，从而得出不同的结论．此题是零点存在性定理的初步应用,为二分法和导数的应用埋下伏笔.这里可运用两个函数图象的交点或几何画板作出函数f(x)=lnx+2x-6的图象进行验证证实．

5.开放式小结

问题8本节课学习了哪些知识?掌握了哪些方法?体会了哪些思想?

知识包括(1)零点的概念,方程的根与函数零点的关系；(2)连续函数零点存在性定理.方法有数形结合,等价转化等.数学思想主要是特殊到一般和具体到抽象．

通过开放式的小结,让不同的学生有不同的学习体验和收获，知道研究一个数学问题,从特殊到一般,从代数到几何再从几何到代数的辩证的进阶过程,引导学生主动建构,形成完备的数学学习知识体系．

二、教学反思

1.合理设置探究问题,注重要素探究

波利亚说过:“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现,因为这种发现理解最深刻,也最容易掌握其内在规律、性质和联系”．指向数学核心素养的数学教学,应倡导自主学习、合作学习、探究体验式学习,但探究式学习中问题的设置不能由老师单独完成.探究什么问题?探究到怎样的程度?需要探究哪些具体的细节?都应该经过学生反复思考,而不是“以‘例题讲解+模仿练习’的方式让学生不断‘重复昨天的故事’”[2]．因此,本节课精心设置两个探究环节,引导学生自主发现、合作学习．对表格中的探究项目,并没有直接给出,而是先从问题出发,细化到讨论区间,从而列举多个区间,进而需要观察多个区间,所以增加多个区间这个维度;因为不一定能画出函数图象,从而无法考察其他特征,所以继续从特殊出发,选择观察区间端点处函数值的特征,根据函数值的正负,进而确立f(a)·f(b)<0是否成立这个观察维度．基于深度学习的合作探究,不是给定结论后的合作验证,必须对观察对象有进一步的研究,才能经历观察事物、想象结构、分析要素、归纳特征,并将抽象出的特征概括到同一类事物中去,这些问题的设置,充分挖掘了本节课的思维深度与广度．

2.关注前后知识联系,强调从特殊到一般

本节课特别注意引导学生回顾函数的单调性、奇偶性,体会二次函数模型在前两个函数性质研究中的作用,进而引导学生从一元二次方程和二次函数的角度来观察,将课题利用函数的性质判断方程解的存在具体化、特殊化,此后再类比到一般的函数和方程．运用归纳,从特殊函数到一般函数,理解事物之间的关联,把握知识结构,培养学生逻辑推理能力．

3.深度应用数形结合,培养问题表征能力

学生的思维水平处在由形象思维到抽象思维过渡的时期,在遇到困惑时,能把已有的数学知识、经验、规律、方法等通过直观恰当的表征迁移到解决困惑中去,是很重要的直观素养．本节课面对一个新问题,把代数问题一元二次方程的根与二次函数的图象建立联系,从数到形,进而把数量关系合理地转化为几何图形.在寻找解决途径的同时,发现推广到一般函数图象,进而又从图形变换到区间端点处函数值是否异号这样的代数问题．学生对数学对象进行表征和转换的能力,是深刻理解数学知识的关键,也是解题能力的关键．引导学生从数到形,再从形到数,这个过程中重要的是思维的拓展和数学方法的应用.这里有经历“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的一种“绝处逢生”的喜悦.这就是数学的美,数学的妙．

李尚志教授指出,数学核心素养中的数学抽象和逻辑推理是从无到有产生数学,从少到多发展数学,产生和发展的过程其实也是数学建模,得到的产品就是数学知识,组成强大的工具库供人类拿去解决新的问题[3]．作为教师,要善于做到把握课堂教学中每一个探究的机会,在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上设计探究问题,引领学生进行深度思考与交流,有效地促进数学核心素养的形成与发展．