求多项式的最大公因式方法教学中的新看法

冯红亮，张帆

（1.重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331；2.武汉市吴家山第三中学，湖北武汉 430040）

在《高等代数》理论知识学习中，在求解多项式的最大公因式时，通常采用辗转相除法。[1]。

本文介绍的系数形式向量法，其基本思想来源于辗转相除法。但是相较于辗转相除法，在操作实现的形式上做了改变。我们将多项式按照降幂排列，提取各项系数并写成行向量的形式，缺的项记为0。将行向量组成矩阵，对矩阵作行变换直至仅剩一非零行。由于所做的行变换是在多项式意义下进行的，因此总可以不断通过此类行变换，将行列式变换至仅剩一非零行。实现形式的改变，带来了较大的便捷性。在求解多个多项式的最大公因式时可同时进行。在进行最大公因式线性表成时更为简便快捷。在下文中，若无特殊交代，多项式均为非零多项式。

定义1 设 f（x），g（x）∈P [x]，其中P为多项式系数数域。若d（x）∈P [x]满足：

（1）d（x）| f（x），d（x）| g（x）；

（2）若h（x）∈P [x] 且h（x）| f（x），h（x）|g（x），则h（x）| d（x）；

则称d（x）为 f（x）与g（x）的最大公因式。特别地，当 f（x）与g（x）的最大公因式的首项系数为1时，记为（ f（x）g（x））。

注：（1）若 f（x）与g（x）均为零多项式，则其最大公因式为0。

（2）任何首项系数为1的非零多项式与零多项式的最大公因式即为此非零多项式。即首一多项式 f（x）≠0，则（ f（x），0）= f（x）。

命题2 对多项式f（x），g（x）∈P [x]，若存在q（x），r（x）∈P [x]使得f（x）=q（x）·g（x）+r（x），

则 f（x），g（x）和 g（x），r（x）有相同的最大公因式，即（f（x），g（x））=（g（x），r（x））。

证 设（f（x），g（x））=d（x），则 d（x） | f（x），d（x）| g（x）。由r（x）=f（x）-q（x）g（x），可知d（x）| r（x）。从而可得d（x）|（g（x），r（x））。

假设h（x）|g（x），h（x）|r（x）。因为f（x）=q（x）·g（x）+r（x），所以h（x）| f（x）。因此可得 h（x）| d（x）。综上所述，即有（g（x），r（x））=d（x）

命题证毕。

由命题2可知

（f（x），g（x））=（f（x）-q（x）g（x），g（x））。

上式表明，在求解两个多项式得最大公因式时，进行如下操作不改变所求的最大公因式。第一步，对其中一个多项式加上或减去另一个多项式的倍式后；第二步，再求解两者间的最大公因式。该命题是辗转相除法求解多项式的最大公因式的理论基础，同时也为本文所介绍的系数形式向量法提供理论依据。

定理3[2]对于P[x]中任意两个多项式 f（x），g（x），存 在 d（x）∈P[x]使 得 d（x）为 f（x）与 g（x）的最大公因式，且d（x）可以表成 f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），v（x）使得

d（x）=u（x）f（x）+v（x）g（x）

注：若多项式f（x），g（x）不全为零，则（u（x），v（x））=1。

下面，将以求解三个多项式的最大公因式及其表成为例，介绍系数形式向量法的操作过程。

例1 已知f1（x）=3x2-x2+x+2，f2（x）=3x4-4x3-x2-x-2， f3（x）=3x5+5x4-16x3-6x2-5x-6。 试求（f1（x），f2（x），f3（x）），并求u1（x），u2（x）和u3（x）使得

u1（x）f1（x）+u2（x）f2（x）+u3f3（x）=（f1（x），f2（x），f3（x））。

解 第一步：将多项式按照降幂排列，提取各项系数，写成行向量的形式，其中缺项的系数为0。然后将得到的多项式的系数行向量依次上下摆放成矩阵形式。

对于上述多项式f1（x）， f2（x）， f3（x），其系数矩阵如下：

第二步：对由系数行向量组成的矩阵进行“初等行变换”，直至仅剩一行非零。需要特别指出的是这里的“初等行变换”是进行多项式倍式的行变换。

多项式倍式的行变换，具体操作如下（记矩阵的第j行为lj）：

以例1中系数行向量矩阵的初等行变换为例，将系数行向量矩阵第一行l1的-x倍加到第二行l2。此时，-xl1的系数行向量为

（0 -3 1 -1 2 0）

因此加到第二行后，-xl1+l2的系数行向量为

（0 0 -3 -2 -3 -2）

将系数矩阵第一行l1的-x2倍加到第三行l3。此时，-x2l1的系数行向量为

（-3 1 -1 -2 0 0）

因此加到第三行后，-x2l1+l3的系数行向量为

（0 6 -17 -8 -5 -6）

注意到，我们对多项式的系数行向量矩阵做“初等行变换”的本质是将一个多项式的倍式与另一个多项式进行求和运算[3]。因此，由命题2可得

第三步：求解最大多项式的线性表成。将系数矩阵行变换进行归结。具体归结过程如下：

( f1，f2，f3）=( f1，-xf1+f2，-x2f1+f3）

=（f1，（-x+1）f1+f2，（-x2-2x） f1+f3）

=（f1，（-x+1）f1+f2，（-x2-2x+5） f1+f3）

=（-x2+x+1） f1+f2，（-x+1）f1+f2，（-x2+3x）f1-5f2+f3

=（（-x2+2x） f1+（x-1）f2，g（x），（（x2-x）f1-（2x+3）f2+f3）

其中g（x）=（-x3+2x2-x+1）f1+（x2-x+1）f2。从而可得

需要指出的是在进行归结过程中，一定要明确系数行向量矩阵与多项式的对应关系[4]。在未进行行变换前，系数行向量矩阵与（f1（x），f2（x），f3（x））对应.进行第一次行变换操作后得到的系数行向量矩阵是与

（f1（x），-x f1（x）+f2（x），-x2f1（x）+f3（x））

对应。因此经过一次行变换操作后，矩阵第一行对应的是f1(x)的系数行向量，第二行对应的是-x f1(x)+ f2(x)的系数行向量，第三行对应的是-x2f1（x）+f3（x）的系数行向量。因此，在进行第二次行变换操作后得到的矩阵是与

（f1(x)，f1(x)+（-x f1（x）+f2（x），-2x f1（x））+（-x2f1（x）+f3（x）））相对应。

由第二步矩阵行变换的结果，可得

（-x2+2x）f1+（x-1）f2=3x+2=3( f1，f2，f3）。

更多地有g(x)=0且(x2-x)f1(x)-(2x+3) f2(x)+ f3(x)=0，从而取

即可满足要求。

注：当对系数行向量矩阵进行行变换时，若最终的非零行形式为(0，0，…，0，c)，其中c为非零常数，则表示该组多项式的最大公因式为1，即多项式互素[5]。

若采用辗转相除法求解例1，需要进行两次辗转相除操作。即先求最大公因式d1(x)=(f1（x），f2（x）)，然后求d(x)=(d1(x)，f3(x))。在求最大公因式的线性表成时，同样需要进行两次回代计算。体而言，计算过程相对繁琐且量大。

例2 判断多项式 f（x），g（x），h（x），k（x）是否互素，其中f（x）=x4+x3-3x2-4x-1，g（x）=x3+x2-x-1，h（x）=x2-x-1，k（x）=x3-x2+x-2。

解 第一步：将各多项式按照降幂排列，提取多项式的各项系数，写成行向量的形式并组成矩阵[6]（组成矩阵时，系数行向量的摆放次序不影响结果）：

第二步：对多项式系数行向量组成的矩阵作行变换，至仅剩一非零行。