一类具有空变系数和吸收项的非局部多孔介质系统解的爆破研究

欧阳柏平

（广州华商学院 数据科学学院,广州 511300）

0 引言

本文考虑下列非局部多孔介质系统在非线性边界条件下解的全局存在性和爆破问题

近几十年来,抛物方程和抛物系统解的性态研究,包括解的全局存在性、解的爆破时间上下界估计、解的爆破率、解的渐近估计等,受到了学者们广泛的关注,并取得了丰硕的成果[1-8].早期的研究主要是基于不同的初边值条件,在低维空间上探讨其解的性态.后来,学者们将其推广到高维空间,进一步考虑其解的性态.目前,具有时变或空变系数的抛物方程和抛物系统成为研究的热点,尤其是非局部的情况.究其原因,主要是非局部数学模型在一定意义上更接近实际情况.然而,非局部的研究相比局部的情况来说更复杂而且难度更大,因为局部的理论不适合非局部的情况.总体而言,空间维数、初边值条件、时变或空变系数、非线性项、局部或非局部以及吸收项等因素影响着解的爆破研究.目前,在应用数学领域,有关抛物方程和抛物系统下界的研究是一个重要方向,其成果在物理学、生物学、化学、天文学等领域都有重要应用[9-10].

文献[1]考虑了齐次Dirichlet和齐次Neumann 边界条件下具有吸收项的非局部多孔介质方程爆破问题

其中m,p,q,s＞0,得到了在3 维空间中爆破发生时解的爆破时间的下界估计.

文献[2]考虑了Dirichlet 边界条件下一类抛物方程解的爆破问题

得到了全空间上解的非全局存在条件和爆破发生时解的爆破时间的上界和下界估计.

文献[3]考虑了齐次Dirichlet 边界条件下抛物系统解的爆破问题

得到了3 维空间上解的全局存在条件以及在给定的约束条件下3 维空间上解的爆破时间的上下界估计.

文献[4]考虑了非线性边界条件下多孔介质抛物系统解的如下爆破现象

得到了 Rn(n≥2) 上解的爆破条件以及爆破发生时解的爆破时间的上界和下界估计.

到目前为止,尚未发现有论文研究问题(1)的具有空变系数和吸收项的非局部多孔介质系统解的爆破现象.非线性边界条件下 Rn(n≥3) 上解的全局存在性条件及爆破发生时解的爆破时间的上下界的估计是本文的研究目标.研究的难点是合理构造辅助函数并且恰当处理高维空间、非线性边界条件、非局部项、吸收项以及空变系数对解的爆破影响.

1 两个重要的不等式

引理 1[8]设Ω是 Rn(n≥3) 上的有界凸区域,则对于w∈C1(Ω),s＞0,有

引理 2[11]设Ω是 Rn(n≥3) 上的有界凸区域,则有

式(3)中:w∈W1,2(Ω),W1,2(Ω) 表示定义在Ω上的索伯列夫空间;C=C(n,Ω)是依赖于n和Ω的正常数.

2 全局存在性

定理 1若u(x,t),v(x,t)是问题(1)在有界凸区域Ω上的经典非负解,且如下条件成立

则问题(1)的解在φ(t) 的测度下,在任何有限时间内都是有界的,也就是说,问题(1)的解是全局存在的.

证明首先,对式(4)求导并结合式(5),得

下面处理式(6)右边的第一项.运用散度定理,有

对于式(7)的右边第一项,利用式(2),推出

式(7)右边第二项和式(8)右边第二项使用Hölder 不等式和Young 不等式,得

接下来处理式(6)的右边第二项.利用Hölder 不等式和Young 不等式,得到

从式(25)可得,u在φ(t) 测度下是全局存在的,即对于任意的t(t＞0) 都不会爆破.不然,若在某个t*爆破,即

由式(25)可知φ′(t)≤0,∀t∈[t0,t*).因此,φ(t)≤φ(t0) .当t→(t*)-时,有

矛盾.于是定理1 得证.

3 爆破时间的上界

本章考虑解的爆破时间上界估计.设

则有如下定理.

定理 2若u(x,t),v(x,t)是问题(1)在有界凸区域Ω上的经典非负解且满足条件

4 爆破时间的下界

本章考虑解的爆破时间下界估计.若问题(1)满足下列条件

则有如下定理.

定理 3若u(x,t),v(x,t)是问题(1)和式(40)在有界凸区域Ω上的经典非负解,则式(41)中定义的能量φ(t) 满足

由此可得爆破时间t*的下界

其中,M3,M4,M51见式(63)、式(65)和式(66).

证明对式(41)求导,并考虑到条件(40)成立,得

对于式(43)的右边第一项,利用散度定理和式(2),有

其中,δ,b1,σ,m,r1,B1,a1(x) 见式(40)和(42),ρ0,d见式(2).

下面处理式(44)的右边第二项和第三项.应用Hölder 不等式和Young 不等式,得到

由式(3)和式(42),应用Hölder 不等式和Young 不等式于式(58)的右边第二项,有