专注问题根源 探究最佳方案

［摘  要］ 在高三第二轮复习时，除了巩固第一轮复习的知识和技能外，有必要进行一些专题训练，从而借助于习题进行有效的拓展和延伸，丰富学生的解题经验，提高学生的解题能力. 同时，借助于习题所反馈的问题及时进行错因分析，找到出错的根源，进而从问题的根源出发，找到行之有效的解决方法，从本质上帮助学生提高解题效率.

［关键词］ 高三数学；第二轮复习；习题；根源；效率

众所周知，数学题目千变万化，变更一个数字、更改一下图形就变成了一道全新的题目，所以数学习题是刷不完、讲不尽的. 为了发挥习题的价值，教师在例题的选择上要做到精挑细选，在讲解时要做到细致全面，尤其在高三复习阶段更要做到精益求精. 既要关注问题的本质，又要重视外延拓展，从而利用一个问题将与之相关的一系列问题进行串联，通过有效梳理巩固知识脉络，提升学生的知识迁移能力. 因此，例题的选择被认为是评判教师专业水平的重要依据，是保障习题教学有效性的前提.

笔者以一节复习课为例，借助于错误挖掘教学中存在的不足，从而引导学生深入问题的本质去思考和解决问题，从而在释疑的同时帮助学生完成知识的再建构，有效地提升学生的解题能力.

发现问题

在复习关于y=Asin（ωx+φ）的图像和性质时，教师带领学生复习了相关知识点后，给出了这样一道例题：

例1 求函数y=2sin－2x+的单调递增区间.

从学生的反馈中教师发现了以下几个问题：

（1）将递增区间看成了递减区间；

（2）将－kπ写成－2kπ；

本题并不是一道复杂的题目，课前又进行了相关知识点的复习，然解题效果并不理想，是什么原因造成学生在求解时出现了如此多的错误呢？

分析问题

基于上面的问题，笔者进行了调研并做了深度分析，发现出现这些问题的原因与教师平时的教学习惯息息相关：大多数教师仅在新授课时会引导学生运用“五点作图法”绘制函数y=Asin（ωx+φ）的图像，然解题时感觉作图会浪费时间，为此大多运用整体思想求解，久而久之，学生就失去了应用图像解决问题的意识，从而使解题思路存在一定的局限性. 同时，大多数学生对复合函数思想的应用不够灵活，解题时只会按部就班地照抄照搬，当问题略有变化时就不知道如何入手了. 例如，本题中当ω为负值时，学生就出现了大量的错误.

问题根源

受教师经验主义的影响，教师习惯应用复合法来求解相关的问题，对图像法的关注度不够，因此学生也习惯应用复合法. 同时，研究考试大纲，分析教材，发现其并未对复合法提出过高的要求，因此未进行专项练习，课本上的练习针对的也都是A和ω都为正数的情况. 由于对复合函数的关注度不够，学生对此类问题也只是一知半解的了解，并未学懂吃透，所以在应用复合函数思想解决问题时就因考虑不周而造成了错误.

例2为课本中的一道例题，求解时应用了复合法. 根据求解步骤发现该过程较简单，易于操作，因此学生在潜意识里认为该方法就是最优的解决方法. 与此同时，大部分教师认为绘图只是一个辅助手段，作为需要具体求解的常规题目不适宜应用绘图法. 另外，绘图过程较烦琐，为了图方便，很多教师也不愿意应用绘图法进行讲解，久而久之，学生在复习时已经忘了解决此类问题可以应用“五点作图法”. 教师为了追求规范和简约，解题时重点应用复合法，然该方法表面上看简约，思维过程却较复杂，极易造成思维障碍，加上学生的生搬硬套，求解例1时出现那些问题也就不足为奇了.

解决问题

众所周知，在解决复杂的代数问题时往往可以借助于图形的直观化来寻找解题的突破口，这样“以形助数”使问题更加生动、直观，更易于形成解题思路. 在复习函数y=Asin（ωx+φ）的性质时，教师可以带领学生回忆“五点作图法”. 从图像出发，借助于图像帮助学生理解抽象的代数问题，进而规避复合法所带来的运算风险及思维障碍，极大程度地降低错误率，提高学生的学习成绩.

教师带领学生复习了相关的知识后，不要急于让学生求解例1，可以将例1拆分成若干问题，借助于分层问题引导学生关注图像法. 分层问题如下：

（2）观察函数f（x）的图像，并结合函数的周期性，写出f（x）的单调区间.

（3）仔细观察函数f（x）的单调递增区间与单调递减区间的长度，看看它与什么相关联.

（4）你知道区间端点与对称轴是什么关系吗？

（6）结合函数f（x）的图像，写出f（x）的对称轴和对称中心.

设计意图：通过以上问题引导学生应用“五点作图法”绘制函数图像，回歸原始的解题方法，以函数的周期性为切入点，引导学生总结归纳出函数y=Asin（ωx+φ）的性质，进而借助于特殊函数体会一般结论，深入理解函数的周期性、单调性，挖掘出对称轴、对称中心与最小周期的联系，从而巩固原有认知.

设计意图：根据例1的错解可知，很多学生之所以会产生错解就是因为在应用复合法求解时并没有深入理解A或ω为负数时该如何求解，因此借助于变式练习题帮助学生利用图像法观察A或ω为负数时函数图像的变化，进而避免学生因盲目套用而出现再错现象.

问题延伸

问题延伸对高三复习阶段来讲至关重要，便于学生掌握应试技巧，丰富原有认知，完善认知体系. 教师在帮助学生理清问题的来龙去脉后应将问题拓展开来，进而提升学生的解题能力.

设计意图：本题是一道基础题，主要目的是培养学生的直观思维能力，通过观察找到函数周期变化规律，进而找到解题的突破口，顺利求解.

延伸2：图2是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，φ<π）的部分图像，求函数f（x）的解析式（参考正弦函数y=sinx的图像）.

延伸3：图3是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，φ<π）的部分图像，求函数f（x）的解析式（参考正弦函数y=sinx的图像）.

设计意图：将延伸2和延伸3形成对比，以原始的函数图像入手，让学生从函数的周期变化中深化理解函数y=Asin（ωx+φ）的性质之间的关系，引导学生回归问题的本源，从问题的本质出发去思考和解决问题. 同时，通过图像培养学生数形结合意识，引导学生养成善于利用数形结合法解决问题的好习惯.

设计意图：延伸4用文字语言描述了图像的变化规律，引导学生将文字语言转化为图像语言，体会符号语言、图像语言和文字语言相互转化的过程，进而培养学生的转化意识，引导学生解题时合理应用转化思想，化繁为简，进而培养思维的变通性.

教学反思

数学的教学目标不能局限于提高高考成绩，成绩固然重要，然若不能在学习中形成数学能力和数学思想，那么学生很难自我发现问题，创新和发展也就无从谈起了. 教学中要善于带领学生回归问题的本源，善于从本质出发，在培养“双基”的基础上进行有效的拓展和延伸，让学生获得数学经验的同时掌握重要的数学思想方法，这对学生后期继续学习是至关重要的. 要知道，数学教学是“为学而教”而并非“为考而教”，因此制定教学计划时，设定教学目标要从学生的实际出发，充分挖掘出现错误的根源，深入问题的本质，帮助学生排疑解惑，通过自主探究和合作交流让学生将知识点学懂吃透，从而实现知识点的融会贯通.

总之，若想提升学生的解题能力就要仔细研究教材，仔细研究学生，不能贪图方便选择一些“捷径”，那样反而容易将学生带入误区，难以提升解题效率. 同时，教学中要多培养学生的观察能力和分析能力，让学生学会发现和创新，进而提升学生的数学素养.

作者简介：韩继芳（1967—），本科学历，高级教师，从事高中数学教学工作.