活用代数方法 巧用几何特征

［摘  要］ 运算能力问题是学生解决解析几何问题的瓶颈，如何有效突破？文章通过“活用代数方法，巧用几何特征”策略，结合高考真题案例加以剖析，适当变式拓展，以优化解析几何运算求解能力，提升学生的数学运算素养.

［关键词］ 代数方法；几何特征；优化运算；多思少算

解析几何是高中数学的重要内容，是高考数学六大“主干”知识之一，蕴涵着丰富的数学思想，但是从教学现状以及历届高考的答题情况的统计来看，学生对解析几何内容有畏难情绪. 答题时常出现“想不到”或“想到了不会算”或“算了算不对”等现象，表面上可以归结为“粗心”“马虎”等原因，但追根溯源，其实是对运算方法缺乏预判和科学的认识造成的. 因此运算能力问题俨然成为学生解决解析几何问题的瓶颈. 为突破这一瓶颈，笔者结合自身教学实践，将“活用代数方法，巧用几何特征”这一核心思想方法贯穿解析几何课堂教学的始终，以优化学生的解析几何运算求解能力，提升学生的数学运算素养，发展学生的数学能力.

思维方式不同，解题效率迥异

圆锥曲线研究的对象是几何图形，研究的方法是坐标法（解析法），一般处理思路是借助曲线的几何位置关系等价转换成代数关系，通过代数运算和探究得到相应量的关系，最后翻译成几何特征. 在问题的解决过程中，难点就是如何将条件中的几何图形（几何关系）转化成代数关系，即几何代数的合理表征决定了思维方式的不同，而不同的思维方式和视角下的运算量的差距也是巨大的. 因此，灵活应用代数方法，巧妙使用几何特征将直接决定解题的速度与效率.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P为直线x=4上不同于（4，0）的任一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，证明：点B在以MN为直径的圆内.

评析：第（2）问是一道常规的解析几何证明题，但是学生的答题效果非常不理想. 大多数学生对证明“点B在以MN为直径的圆内”感到束手无策，或者计算复杂无法继续算下去，或者没有明确的目标意识.

第（2）问证明的是“点B在以MN为直径的圆内”，考查的知识点是点与圆的位置关系，处理这个知识点的常规方法有两种：一是代数法，利用代数方法的关键是要先求出圆方程，再把点的坐标代入圆方程，若多项式是负数，则说明点在圆内. 二是几何法，利用点到圆心的距离d与圆半径r比较大小，若d<r，则说明点在圆内. 按照常规方法，大部分学生容易尝试解法1：

后面无法再计算MN，BQ……

难点分析：由于本题中的圆是动圆，受到动点P（4，t）的制约，因此圆的方程、半径、点到圆心的距离这些量都带有参数t，且形式复杂，给学生本来就脆弱的计算能力带来了很大的挑战，学生很难再计算下去，最后只能放弃.

教学的最高境界在于不断引导学生探索未知世界，培养学生自觉地应用所学知识分析问题、解决问题，这也是数学教学的终极目标. 为了向目标靠近，笔者提出了三个问题：

？摇从解法1到解法3，学生经历了“算不出”到“算得出”，再到“算得简”的过程，逐步体会到“点B在以MN为直径的圆内”这个几何特征的不同代数表征形式对运算效率的影响程度不同.

问题2：“圆锥曲线中动点问题的假设原则一般是谁动设谁，请观察本题中的动点有几个，一定要设P（4，t）吗？是否还有其他的设参方式？”于是引出了解法4：

问题3：“从刚才的几种运算方法来看，都是把动点M，N的坐标用参数表示出来，后面将钝角转化成锐角，把求两个点M，N的坐标简化成了求一个点M的坐标，那么不求点的坐标是否也能证明呢？”于是引出解法5（设而不求）：

例1以“点B在以MN为直径的圆内”这一兼具代数与几何特征的知识为载体，由点在圆上即点对直径张直角，联想到点在圆内即点对直径张钝角，而由钝角的代数表征想到了向量积，培养了学生联想以及化归转化的能力；从计算∠MBN到计算∠MBP，从设P求M到设M求P，训练了学生合理选择运算路径的能力；由求点的坐标到代数式的整体运算，体会了“设而不求”思想方法的本质. 这一完整的过程让学生深深体会到处理圆锥曲线问题的基本策略与方法，更关键的是让学生知道代数法中参数的选择. 几何特征的挖掘、几何代数的合理转化，等等，不同视角下运算量的差异化非常明显. 因此，“灵活应用代数方法，巧妙使用几何特征”就在优化运算中扮演了非常重要的角色.

活用代数方法，巧用几何特征

在解决解析几何问题的过程中，几何代数经常是形影不离的，著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这也道出了其中的真谛. 有些题目，若能巧妙地运用平面几何的有关性质或图形的几何特征，会大大简化计算量和思维量，给人以一招制胜的神奇效果. 因此，“活用代数方法，巧用几何特征”就是解析几何中优化运算，体现新课标、新高考“多思少算”理念的关键所在.

如果具备了上述的思维方式，解题的关键环节就是计算点M的坐标了，此时从运动变化的观点来分析动因不难发现：点M与点P是相对变化的，按照引参遵循“谁动设谁”的原则，可以通过设点M的坐标来计算点P的坐标，把直线与曲线的交点问题转化成直线与直线的交点问题，降低了运算的维度（把二次方程变成了一次方程），从而优化了运算，提升了运算效率，于是这里实现了优化运算的第三步——从“算得简”到“算得优”. 纵观整个思维过程，将“活用代数方法，巧用几何特征”这一核心思想体现得淋漓尽致！

综上所述，解析几何运算的关键不在“算”，而是在“想”，要想得透彻、想得明白，才能算得清楚、算得简洁，这也就是优化运算的策略，而这一策略的核心方法就是“活用代数方法，巧用几何特征”.

剖析高考真题，领悟方法本质

纵观近几年的全国高考卷，解析几何题基本围绕着“活用代数方法，巧用几何特征”这一思想考查学生的数学运算素养，在运算过程中渗透“多思少算”的理念. 本部分将对高考真题如何渗透该思想，结合变式训练，多角度、全方位地进行剖析，让学生在掌握思想方法的同时领悟思想方法的本质，真正意义上提高学生优化数学运算进行求解的能力，提升学生的数学运算核心素养. 下面结合具体案例加以分析：

反思解题过程可以看出，虽然采用代数方法建立a，b，c的等量关系，但是计算量相对较小——只是进行了向量坐标的简单计算，在这里起关键作用的是对点B的坐标的引入，巧妙地抓住了双曲线特殊三角形的几何特征这一知识点，大大地优化了计算过程，提升了运算效率. 因此，“活用代数方法”与“巧用几何特征”相辅相成，浑然一体，若解决问题时两者兼顾，则威力无穷.

代数方法与几何方法是研究解析几何问题的两种常用方法，巧妙地应用几何特征将会简化解题过程，提升运算效率，起到事半功倍的效果，从而提高学生优化運算求解的能力，提升学生的数学核心素养.

解析几何的学科特征就是“算”，而难点也在“算”上，如何突破运算的瓶颈，提高优化运算求解的能力，提升数学运算素养，是我们数学教师时时刻刻要研究的课题. 本文重点从“活用代数方法，巧用几何特征”的角度提出优化运算的方法策略，实现了解析几何运算从“算不出”到“算得出”，从“算得出”到“算得简”再到“算得优”的飞跃. 当然，数学运算能力的培养是一个系统工程，它还需要理性的思考，需要逻辑推理，等等. 只要我们数学教师在课堂上认真落实到位，学生的运算能力就会得到提高.

基金项目：福建省教育科学“十四五”规划2021年度教改专项课题《核心素养导向的“教—学—评一致性”单元教学策略研究》（Fjjgzx21-018）阶段性研究成果.

作者简介：黄金明（1982—），本科学历，中学高级教师，从事中学数学教学与研究工作，曾获第八届全国数学教师优秀课观摩大赛全国一等奖、教育部“部级优课”、福建省第二届教师教学技能大赛三明市第一名等荣誉，三明市学科带头人，福建省高中数学王钦敏名师工作室成员，水安市数学黄金明名师工作室领衔人.