导数与函数的单调性易错题剖析

■河南省许昌高级中学 孙英环

考纲要求了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,会利用函数的单调性解决有关参数问题。函数的单调性与导数是高考考查的重点和热点之一。下面对同学们在解决此类问题时经常失分的情况归类总结,以防高考时再出现此类错误。

一、讨论不含参函数的单调性

例1求f(x)=x3+的单调区间。

解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f＇(x)=3x2-。

令f＇(x)＞0,得x＜-1 或x＞1;令f＇(x)＜0,得-1＜x＜1,且x≠0。所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,0),(0,1)。

易错点分析:(1)求函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要注意导数为0的点和函数的间断点。(2)单调区间不能取并集,应该用“,”隔开或“和”字相连。

例2已知函数f(x)=,求f(x)的单调区间。

解析:f＇(x)=。

设h(x)=-lnx-1(x＞0),则h＇(x)=＜0。

所以h(x)在(0,+∞)上单调递减。

由h(1)=0知,当0＜x＜1时,h(x)＞0,所以f＇(x)＞0;

当x＞1时,h(x)＜0,所以f＇(x)＜0。

所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞)。

易错点分析:不等式f＇(x)＞0的解集在定义域内的部分为f(x)的单调递增区间;不等式f＇(x)＜0的解集在定义域内的部分为f(x)的单调递减区间。本题不能直接解f＇(x)＞0,f＇(x)＜0,需构造函数再次求导才可求出单调区间。

二、讨论含参函数的单调性

例3若函数f(x)=x--alnx(a∈R),试讨论函数f(x)的单调性。

解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f＇(x)=1+。

令g(x)=x2-ax+1,则对于x2-ax+1=0,Δ=a2-4。

(1)若-2≤a≤2,则Δ≤0,f＇(x)≥0,只有当a=2,x=1或a=-2,x=-1时,等号成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增。

(2)若a＜-2,则Δ＞0,g(x)=0 的两根都小于0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(x)＞1,f＇(x)＞0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增。

(3)若a＞2,则Δ＞0,g(x)=0 的两根为。

当0＜x＜x1时,f＇(x)＞0;当x1＜x＜x2时,f＇(x)＜0;当x＞x2时,f＇(x)＞0。故函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减。

综上,当a≤2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a＞2 时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减。

易错点分析:(1)利用导数讨论函数的单调性,通常归结为求含参不等式的解集问题。含参一元二次不等式问题是热点,也是重点,着重考查分类讨论思想,而对含有参数的不等式问题要针对具体情况进行讨论,但要始终注意定义域及分类讨论的标准。(2)此题中g(x)=x2-ax+1,需对Δ=a2-4中的a的取值进行分类讨论,从而确定函数的单调性。

三、已知单调性求参数的取值范围

例4已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R),若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围。

解析:f＇(x)=2x-,要使f(x)在[2,+∞)上单调递增,则f＇(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,即≥0 在[2,+∞)上恒成立。

因为x＞0,所以2x3-a≥0,所以a≤2x3在[2,+∞)上恒成立,所以a≤(2x3)min。

因为在[2,+∞)上y=2x3单调递增,所以(2x3)min=16,所以a≤16。

当a=16时,f＇(x)=≥0(x∈[2,+∞)),有且只有f＇(2)=0。

所以a的取值范围为a≤16。

易错点分析:(1)由单调性可得f＇(x)≥0或f＇(x)≤0 在相应区间上恒成立,而不是f＇(x)＞0或f＇(x)＜0在相应区间上恒成立,即f＇(x)＞0(f＇(x)＜0)是函数f(x)在对应区间上单调递增(单调递减)的充分不必要条件。(2)对等号需单独验证说明,否则会扣分。

例5已知x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点。

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)设函数g(x)=f(x)-,若函数g(x)在[1,2]内单调递增,求实数a的取值范围。

解析:(1)f(x)=2x++lnx的定义域为(0,+∞),f＇(x)=2-。

因为x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点,所以f＇(1)=0,即2-b+1=0,解得b=3,经检验,适合题意,所以b=3。

所以f＇(x)=2-。

令f＇(x)＜0,得0＜x＜1,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)。

(2)g(x)=f(x)-=2x+lnx-,g＇(x)=2+。

因为函数g(x)在[1,2]内单调递增,所以g＇(x)≥0 在[1,2]上恒成立,即2+≥0在[1,2]上恒成立,所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2]。

因为在[1,2]上,(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3。

所以实数a的取值范围为[-3,+∞)。

易错点分析:第(1)问求出b的值后要检验。第(2)问由g＇(x)≥0在[1,2]上恒成立,可利用分离参数或函数性质求解恒成立问题。

例6已知g(x)=2x+lnx-在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围。

解析:g＇(x)=2+。

因为函数g(x)在区间[1,2]上不单调,所以g＇(x)=0在区间(1,2)内有解,则a=-2x2-x=在(1,2)内有解,易知该函数在(1,2)上是减函数,所以a=-2x2-x的值域为(-10,-3),

所以实数a的取值范围为(-10,-3)。

易错点分析:若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则可转化为f＇(x)=0 在(a,b)上有解。

导数是研究函数单调性问题的重要工具,所以同学们需要掌握利用导数研究函数单调性相关问题的基本思路、基本运算技巧及运算法则。另外,数形结合思想、构造新函数、转化思想可以化繁为简,进而准确把握函数单调性的本质。含参一元二次不等式问题是高考考查的热点,也是重点,着重考查分类讨论思想,学习时要加强求解一元二次不等式的熟练度。