导数的交汇题赏析

■江苏省泗洪中学 祁祺

一、集合与导数的交汇

二、解三角形与导数的交汇

评注:本题考查了正弦定理、余弦定理及导数知识的运用。首先确定函数关系式,再利用导数求出最值是解题的关键。

三、数列与导数的交汇

例3已知函数f(x)=ax-lnx+b。

(1)若a+b=0,且f(x)≥0,求a的值;

(2)证明:ln 2+ln 3+…+ln(n+1)＞。

解析:(1)由题意知f(x)=ax-lnx-a。

当a≤0时,f＇(x)＜0,所以f(x)在(0,+∞)上递减,又f(1)=0,所以不符合题意;

当a＞0 时,f(x)在上递减,在上递增,f(x)≥=1-a+lna。

令g(a)=1-a+lna,g(a)≤g(1)=0,而1-a+lna≥0,所以a=1。

(2)由(1)知,当a=1 时,f(x)=xlnx-1≥0,所以x-1≥lnx。

所以ln 2+ln 3+… +ln(n+1)＞,n∈N*。

评注:此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,…,n代换,然后用叠加法证明。

四、立体几何与导数的交汇

例4如图1,设三棱锥P-ABC的每个顶点都在球O的球面上,△PAB是面积为的等边三角形,AC⊥BC,AC=BC,且平面PAB⊥平面ABC。

图1

(1)求球O的表面积;

(2)证明:平面POC⊥平面ABC,且平面POC⊥平面PAB;

(3)与侧面PAB平行的平面α与棱AC,BC,PC分别交于D,E,F,求四面体ODEF的体积的最大值。

解析:(1)如图2,取AB的中点G,连接PG。

图2

因为AC⊥BC,所以△ABC的外心为G。

因为PA=PB,所以PG⊥AB。

又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PG⊥平面ABC,所以O在PG上。

因为△PAB是等边三角形,所以O是线段PG上靠近点G的一个三等分点。

所以球O的半径R==2,球O的表面积为4π×R2=16π。

(2)因为O在PG上,所以PO⊥平面ABC。又PO⊂平面POC,所以平面POC⊥平面ABC。

如图2,连接CG,则CG⊥AB。又平面PAB⊥平面ABC,所以CG⊥平面PAB。又CG⊂平面POC,所以平面POC⊥平面PAB。

(3)因为AB=,所以C到平面PAB的距离H=。

设CD=λCA(0＜λ＜1),C到平面DEF的距离为h。

因为平面PAB∥平面DEF,所以△DEF∽△ABP,则△DEF的面积为。

又h=,所以O到平面DEF的距离为。

所以V四面体ODEF==3λ2(1-λ)。

设f(λ)=3λ2(1-λ)(0＜λ＜1),则f＇(λ)=3λ(2-3λ)。

当0＜λ＜时,f＇(λ)＞0;当＜λ＜1时,f＇(λ)＜0。

所以f(λ)max=,即四面体ODEF的体积的最大值为。

评注:本题第(3)问,先求C到平面PAB的距离H。设CD=λCA(0＜λ＜1),C到平面DEF的距离为h。由平面PAB∥平面DEF,得到△DEF∽△ABP,则可得△DEF的面积,求出h=,得到O到平面DEF的距离为,则四面体ODEF的体积V=3λ2(1-λ)。转化为函数,再利用导函数求得最大值。

五、解析几何与导数的交汇

例5已知抛物线E:y2=2px(p＞0),圆F:(x-2)2+y2=r2(r＞0),当r=时,抛物线E与圆F仅有两个交点。

(1)求抛物线E的方程;

(2)如图3,若圆F与抛物线E有四个交点,且交点分别是A,B,C,D,求四边形ABCD面积的最大值。

图3

解析:(1)联立方程组整理得x2+2(p-2)x+1=0。

(2)若圆F与抛物线E有四个交点,则方程组有四组解,得方程x2+2x+4-r2=0 有两个不同的解,所以解得＜r＜2。

由抛物线和圆的对称性可知,四边形ABCD是梯形。设四边形ABCD的面积为S,A(x1,y1),D(x2,y2)(y1,y2＞0,x2＞x1＞0),则B(x1,-y1),C(x2,-y2)。

因为x1,x2是方程x2-2x+4-r2=0的两个不同的解,由韦达定理得x1+x2=2,x1x2=4-r2,则S=(y1+y2)(x2-x1)=。

设x=,则x∈(0,1),则S2=16(1+x)(1-x2)=16(-x3-x2+x+1)。

构造函数y=-x3-x2+x+1,x∈(0,1),则y＇=-3x2-2x+1=(-3x+1)(x+1)。

当x∈时,y＇＞0;当x∈时,y＇＜0。

所以函数y=-x3-x2+x+1 在上单调递增,在上单调递减。

因此当x=时,函数y=-x3-x2+x+1取得最大值,最大值为。

故当r=时,S取得最大值,最大值为。

评注:解答本题的关键是列出S的表达式,进一步变形为S2的表达式,运用换元法,构造函数y=-x3-x2+x+1,x∈(0,1),再利用导数求出函数的最值。本题是一道将解析几何与导数巧妙交汇命制的综合性题目,难度较大。