弦长对弦振动实验的影响研究

王骁乾，傅逸玟，朱云霞，罗锻斌

(华东理工大学 物理学院，上海 200237)

当两列具有振幅相同、频率相同、振动方向相同的简谐波在同一直线上沿相反方向传播叠加后，一定条件下可以形成驻波。驻波的形成及其相关物理现象是大学物理中振动与波动部分的重要内容[1]。目前大学物理实验中，弦线上的驻波实验以及超声驻波法测量声速是最具代表性的理解波叠加的实验[2]。而弦线上的驻波实验又由于装置简单、演示直观且实验内容丰富得到广大高校实验室的广泛采用，很多同行也从不同角度，对弦振动实验中的相关问题展开了大量研究[3]。比如对振动源[4]、弦的均匀性[5]、张力大小与梯度等因素对弦的线密度、弦上波速测量结果的影响[6-8]，甚至将弦振动实验拓展至材料杨氏模量[9]、固体密度[10]等方面的研究。上述工作极大丰富了弦振动实验，对学生创新探究能力的培养非常有帮助。在上述工作中，发现同行对弦振动实验中弦长因素对实验相关结果的影响研究较少。通过改变弦长，在实验上分析了弦长改变对弦线密度及弦上波速结果的影响，分析了由于弦长而导致的影响实验结果的原因。

1 实验原理

弦线上的驻波实验中常用一端固定的张紧的弦线来实现，将砝码置于弦线的另一端，频率、幅度可调的振动器件在弦线上激起横波，弦线上某一固定位置反射波与原波干涉，形成驻波，如图1所示。图中L为弦振动部分的长度，λ为弦上驻波波长，图1中λ=2/3L。

图1 弦振动实验原理图

对于波长为λ，频率为f的波，其波速v为

v=λf

(1)

另外，对于张紧的弦，弦上传播的横波满足下列方程，

其中线密度μ为单位长度弦的质量，张力F通过悬挂的质量为m的砝码提供，等于悬挂重物的重量mg。x是波传播方向的位置坐标，y为振动位移。与标准驻波方程比较：

可以得到弦上横波传播速度为：

(2)

从式子(2)可以发现，弦上波的传播速度只跟弦的线密度与弦所受到的张力有关。这也是很多同行在讨论弦振动实验时，主要考虑弦的线密度与张力的原因。如果波源的振动频率为f，弦上横波波长为λ，那么可以得到λ、F以及μ的关系如下：

(3)

在根据式(1)可以得到：

f=μλ2f2

(4)

目前大学物理实验教学中，弦振动实验主要是基于式子(4)，通过控制变量来相互验证λ、F、f以及μ之间的关系。

2 实验装置与测量结果

本文所用实验装置如图2所示。细绳一端与振动器相连，另一端通过一滑轮用砝码作为重物，对细绳施加张力。振动器通过通用接口与计算机相连，可以通过计算机软件改变振动器振动频率f。该实验装置可以研究式子(4)所涉及的相关物理量之间的关系。本文中，选择一种细绳，通过剪取259.00 cm的一段细绳测量其质量为0.810 g，计算其线密度μ为3.13*10-4kg/m。然后固定悬挂重物为104.918 g，即1.028 N，仅改变弦线的长度，研究不同弦长对测量弦线密度μ和弦上波速v0的影响。分别选取了四个长度的细绳进行了实验研究，即L分别为52.00 cm，93.00 cm，150.50 cm和236.50 cm。

图2 实验装置

相关数据如表1所示。

表1 固定F及弦线材料下不同f下的弦线密度μ和弦上波速

图3描述了固定张力情况下，同种材料不同长度的细绳在不同振动频率下的弦线密度μ。

f/Hz

从图3中可以看到，最短的细绳，其线密度测量的结果不仅波动较大，而且偏离直接通过质量长度比测量的参考值较大。随着弦长的增加，测量结果趋于收敛，并且与参考值越接近。图4则描述了固定张力情况下，同种材料不同长度的细绳在不同振动频率下的波速v。与图3类似，弦长越短，波速的结果波动较大，而且偏离利用式(2)及μ参考值得到的结果越明显。随着弦长的增加，测量结果趋于收敛，并且与参考值越接近。

f/Hz

可认为在上述实验装置中，在相同砝码质量作为负重下，弦上的应力梯度不是一个常量。弦长越短弦上的应力梯度变化越大，此时弦上的应力不再均匀，同时由于振动源并非一个点源振动，因此测量的上述结果偏离参考值较大并且波动较大。弦长越长，弦上应力梯度对整条弦的振动影响将越小，振动源中连接弦线的振动片对整条弦振动的影响也越小，因此测量的线密度与波速比较稳定，并与参考值相近。但由于实验场地的限制，弦长的选择有所限制。通过本文的讨论，建议弦长约在1.5～2.0 m范围是合适的。