滴水法测重力加速度的实验研究

张 璐，方路线，许贤武，朱倩龙

(武汉工程大学邮电与信息工程学院，湖北 武汉 430073)

1 背景简介

重力加速度是物理学中一个很重要的常数,在物理实验中测量重力加速度是一个非常重要的实验,方法有数十种之多。从理论上讲,只要在某个物理过程中涉及到重力加速度,都可以通过与这个过程有关的物理实验来测量,常用的测量方法如二力平衡法,自由落体法,单摆法,导轨法等。

图1 传统滴水法实验装置图

通过传统的方法，课题组测量出来的重力加速度误差较大，其主要原因有：空气阻力的影响；水龙头的阀门不能精确控制流速；听到第一滴水声的同时必须能看到第二滴水刚刚滴出时开始计时，这不仅要动手能力强，而且要有很强的观察能力和反应能力；除此之外，水龙头位置固定也给实验的开展带来了一定的空间局限性。为此，课题组综合多方面的原因，对实验装置进行了改进。

2 实验目的

1．对滴水法测重力加速度的实验设计方案进行创新；

2．利用螺旋测微器的细微调节实现了水滴流速的细微调节；

3．利用手机连拍功能和音频处理软件goldwave实现对距离和时间的精确测量；

4．提高重力加速度的测量精度。

3 仪器的改进与创新

3.1 水龙头位置高度的局限性

传统的滴水法测重力加速度用水龙头作为水源，但是水龙头位置固定给开展实验带来了一定的空间局限性。为此课题组将水龙头改为滴瓶，使得实验更易于操作。但在实验期间，发现滴瓶是个封闭的容器，在水滴滴落的过程中，瓶内由于液面下降，压强减小，导致水滴滴速不均匀的问题。于是，课题组又将其进行改进，最终将一个充满水的滴瓶瓶口倒置于下面一个滴瓶的液面上方，形成一套自动给水装置。使得下瓶在滴水，液面下降的同时，上瓶不断补水，从而使得下瓶始终保持同一液面高度，不会对水滴滴速产生影响，成功的解决了水滴滴速不均匀的问题。图2展示了在此过程的改进历程。

图2 仪器历程改进(一)

3.2 调节控制水滴滴速的问题

传统的水龙头和输液装置的限流器都不好精确控制水滴滴速的问题，为此决定，利用双阀控制整体水滴滴速。滴管先经过一个粗调阀门，来粗略的调节水滴流速，临近出口的滴管再经由螺旋测微器来夹住滴管口，对水流进行细微的调节。螺旋测微器是一个精确测量细微长度的仪器，将螺旋测微器夹住管口，用螺旋测微器的细微调节实现水滴流速的细微调节。采用限流器和螺旋测微器双重限流，能够更好的起到调节水滴的滴速。图3展示了在此过程的改进历程。

图3 仪器历程改进(二)

3．3 对于第一滴水滴落到挡板上的同时，第二滴水刚好滴出的判定问题

为了保证水滴滴出的滴速，能正好符合上一滴的水滴滴落的同时，下一滴水滴刚好滴出的结果。调节双阀，通过手机高速连拍记录来实现，直到周期性的拍到几张上一滴水即将完全脱离软管，下一滴水刚好滴到铁片上的照片，如图4所示，此状态即为调节的最佳水流状态。

图4 上一滴水滴落的同时下一滴水刚好滴出

3.4 秒表精确度的问题

人听到声音再去按秒表，有个反应时间，造成结果不准确。对此利用goldwave电脑软件分析实验数据，该软件能反映音频波形图，波峰最高点为水滴刚好滴落的声音，分析音频，得出水滴时间间隔，即可求重力加速度。图5即为用goldwave显示的音频信号读取时间。

图5 goldwave显示音频信号读取时间

4 实验装置与步骤

4.1 实验装置

由以上分析，搭建了实验装置，如图6所示。

图6 实验装置示意图

实验装置最上面是由两个相接的滴瓶做成的一个自动给水装置，该装置使得下面滴瓶里的水始终在一个高度，进而保证了水滴滴落的周期性。中间是双阀限流装置，通过吸附在钢直尺上的开关式磁铁调节水滴滴落的高度。实验的所有仪器都固定在一根长为两米的钢直尺上，自动给水装置挂在钢直尺的顶端，连接螺旋测微器的开关式磁铁可以吸附在钢直尺上，使用水平仪来保证钢直尺水平垂直于地面，将钢直尺固定在一个三脚架旁，并在整个钢直尺的底部，放置一片薄铁片，铁片的作用是让水滴滴落时发出较清脆声音，便于收集声音信号。

4.2 实验步骤

(1)高度的测量：打开所有阀门，通过调节阀门，让水滴呈逐滴滴落的状态，利用手机的高速快门水平拍摄，在所拍摄照片里寻找一张水滴即将完全脱离软管的照片，通过照片内的钢直尺，读出水滴最低点与钢板之间的高度h。

(2)确保上一滴水滴至挡板的同时，下一滴水恰好脱离软管的状态。具体操作是：利用螺旋测微器进行精细调节来控制流速，通过手机高速连拍来记录，直到周期性的拍到几张上一滴水即将完全脱离软管，下一滴水刚好滴到挡板上的照片，此状态即为调节的最佳水流状态。

(3)声音的测量：打开手机的录音软件，将手机靠近水滴滴落在挡板的中心边缘，录制一段时长为2分钟左右的音频，期间须保持周围室内完全安静。将录制好的的音频导入到电脑软件goldwave中。该软件是一款音频处理软件，其能反映音频波形图，波峰最高点为水滴刚好滴落时的声音，那么两个波峰之间的时间间隔即为水滴下落的时间，为减小误差，重复测量6次，而且每次录制50滴水的时间。

(4)不同高度测量：改变高度，重复以上过程。

5 实验数据与不确定度计算

5.1 实验数据

见表1和表2。

表1 数据表格(h=1.0 m附近)

表2 数据表格(h=1.5 m附近)

5.2 不确定度计算

自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，其运动方程为

式中t表示水滴下落时间，h表示t时间内水滴下落的高度。因此，只需要测量出下落时间t和在t时间内下落的高度h，即可计算出重力加速度g

(1)

对上式取对数，即

lng=ln(2h)-ln(t2)

(2)

可得g的不确定度传递公式为

(3)

(4)

当置信概率p为0.683，测量次数n为6时，t因子为1.11，则h的A类不确定度为

(5)

所用的毫米尺测量物体的长度时，其B类不确定度为

uhB=0.5 mm

h合成不确定度为

(6)

当置信概率p为0.683，测量次数n为6时，t因子为1.11，则t的A类不确定度为

(7)

由于时间t是通过电脑软件goldwave给出的，此处暂不考虑B类不确定度。

t合成不确定度为：

uT=utA

(8)

将表1和表2中数据带入以上不确定度公式，可得出g的测量结果为

1.0 m附近：g=(9.7798±0.001 8)m/s2

1.5 m附近：g=(9.7733±0.003 5)m/s2

6 实验结果分析与修正

6.1 结果分析

本实验测量结果(以1.0 m附近为例)与武汉当地重力加速度标准值9.793 601 m/s2比较结果偏小，相对偏差为0.14%，其原因有：

(1)空气阻力的影响；

(2)水滴有一定的形状，造成高度测量的不够精确；

6.2 结果修正

考虑到空气阻力的影响，是误差的主要来源，课题组查阅相关资料，对其结果进行修正。

基于弹道理论，无风情况下单个水滴运动方程可表示为[2,3]：

(9)

(10)

式中：x为水平方向分量；z为竖直方向分量；D为水滴直径；Cd为阻力系数；ρa，ρw空气密度和水滴密度；v为水滴运动的速度；g为重力加速度。

由于本实验水滴的运动为竖直方向上的自由落体运动，因此，对于水滴的运动方程只考虑z方向的运动，即为：

(11)

上式中等式右边第一项即为由于空气阻力引起的g的修正项。即：

(12)

上式中，

ρa=1.293 kg/m3,ρw=103kg/m3,Cd=0.01,D=4.0 mm,vz=2.211 67 m/s

根据以上数据，可得

Δg修正=0.011 858 7 m/s2

修正之后的结果(1.0 m附近)可表示为：

g=(9.791 7±0.001 8)m/s2

经修正之后得到的重力加速度与武汉当地的重力加速度相比误差较小，相对偏差为0.019%，测量精度较高。

7 创新点总结

1.自制了自动给水装置，使得实验开展不受空间的局限性，同时解决了流速不均的问题。

2.充分利用身边的实验仪器，学以致用。用螺旋测微器的细微调节实现水滴流速的细微调节。达到了调节控制流速的目的。

3.智能手机、电脑软件与物理实验相结合，不仅在一定程度上简化和优化了实验过程，提高了实验结果的精确度，同时还能激发学生兴趣。

4.实验设计方案为原创。

8 应用前景

本实验思路清晰，所需的实验器材简单易得、成本低，步骤简洁，操作性强，特别是智能手机、电脑软件与物理实验教学相结合，不仅在一定程度是那个优化了实验过程，提高了实验精度，同时对培养学生的创新能力有一定的促进作用。该方法是一个可以在教学过程中实施测量重力加速的新方法。

此项目可适用于各个大中学物理实验室、疫情防控常态下的居家实验。另外，在那些偏远地区，经济没有那么发达，实验条件不允许，就可以采用这种实验方法来进行教学演示，提高学生们的动手能力，给偏远地区的教学带来了一定的优越性。