谈条件探索性问题的解题规范——一道考试题引发的争论

孔祥武 (江苏省常州市第一中学 213003)

试题设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈N*都成立.

(1)若λ=1，求数列{an}的通项公式；

(2)求λ的值，使数列{an}是等差数列.

“你那种做法好像怪怪的，有问题”，数学刚考完，数学备课组办公室里就吵了起来.争论的焦点就是上面这道考题的第二问.

教师A：“我这样做，令n=1，得a2=λ+1,令n=2，得a3=(λ+1)2,要使数列{an}是等差数列，必须有2a2=a1+a3，解得λ=0.又当λ=0时，a1=a2=a3=1,所以等差数列{an}的通项公式只能是an=1，并且它的前n项和Sn=n，容易检验证明(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对任意n∈N*恒成立.”

教师B：“我觉得这题怪怪的，你那样做好像太简单了，会不会有问题？”

教师A：“先通过特殊的前三项逼出λ=0,再检验一般情况，充分性和必要性都有了,我们以前好多题不也是这么解的?”

教师C：“这种问题以前好像也碰到过，当时你们说通过前几项特殊情况进行计算、推演，结果要检验，到底检验什么？是检验(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1,还是检验{an}是等差数列？”

笔者对这道题也作过思考，我们不妨把形如上题第二问的探索性问题称为条件探索性问题.它是考试中的常见题型，在立体几何和数列中尤为常见.到底该如何探究答案，得到答案后又该如何证明，书写要注意什么？不少学生感到棘手，部分教师也有困惑.笔者想就本题的争论内容说一说自己的观点，谈一谈此类问题的解题规范和教学建议.

1 审查题意时不可拘泥于字面理解

条件探索性问题一定要注意“审题”，在大多数情况下是寻找使得结论成立的充要条件.比如，本题第二问是典型的条件探索性问题，从字面看，应该是寻找使得结论成立的充分条件.对本题而言，即由λ=0证明{an}是等差数列.但考虑到为什么只有λ=0、是否还有其他可能值，所以还得考虑必要性才严谨.笔者认为此类问题大多数情况下是要探求使得结论成立的充分必要条件，不能完全拘泥于字面理解，否则考试容易吃大亏.

从这个角度分析，教师A解法的前半部分应该是逼出{an}是等差数列的必要条件λ=0，后半部分应该是由λ=0结合大前提(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1去证明{an}是等差数列,而不是由{an}是等差数列去验证(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1成立，所以该解法的后半部分是错误的.下面笔者给出本题的一个标准解法.

标准解法(1)an=2n-1(过程略).

(2)令n=1，得a2=λ+1.令n=2，得a3=(λ+1)2.要使数列{an}为等差数列，必须有 2a2=a1+a2，解得λ=0.

又a1=1,所以an=1(n∈N*).

所以λ=0时，数列{an}是等差数列.

评注 上述解法规范严谨，很好地体现了充要条件的两个方面，必要性探究与充分性说理层次十分清晰.

2 解答问题时要防偷换概念和条件

仔细反思，我们不禁要问，为什么大家会觉得教师A的解法似曾相识，有几分亲切呢？为什么这种错误也有一定的“市场”呢？这是因为，我们一开始是从“要使得{an}是等差数列”入手，本来是去寻找使得结论成立的充分条件，不知不觉偷换概念变成“假设{an}是等差数列”，进而反复把等差当成条件在使用，才得出{an}的通项公式只能为an=1,导致解题偏差.

我们可以将题目重新改造如下，以进行对比分析：

设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，求λ的值，使得(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈N*都成立.

不难理解，题目表述改变后，教师A的解法就是正确的，可见明确谁是大前提、条件、结论至关重要.同时，像标准解法那样，有层次地严格分成两步(必要性探索和充分性证明)，解题思路会更加清晰明了.

3 探索求证时也可利用充要条件

既然大多数情况下，解答时既要完成必要性探究又要完成充分性说理，可不可以将两者合二为一？

笔者在批阅试卷时，发现有学生想到如下的第二问解法.

所以当λ=0时，数列{an}是等差数列.

这种解法对不对？按照我们先前的观点，这种解法只是由等差条件推得λ=0，历经艰辛却只是完成了一半，仍然没有修成正果，未免可惜.事实上，上述解法思路合理自然，只是表达欠妥，我们可以把第一句话“假设{an}是等差数列，设其公差为d”稍作调整，改为：{an}是等差数列，等价于an=1+(n-1)d.这种解法的推导过程是结合大前提条件的恒等变形，过程是等价的，运算是可逆的，可视为“λ=0”等价于“数列{an}是等差数列”.

由此可见，善用充要条件、多用恒等变形、结合定义以算代证，可以理解为是将充分性和必要性合二为一了.虽然没有像标准解法那样很清晰地分成两步，也应该算作是正确的解答.这种以算代证的处理方法在用建系来处理的立体几何探索性问题和解析几何探索性问题时更为常见，它们的处理方式是如出一辙的.

4 书写规范要参照既定的习惯

在立体几何中条件探索性问题的书写规范常常稍有差别，需要引起关注.比如我们经常碰到的形如“在线段MN上是否存在一点A，使得AB∥平面DEF”这样的问题.我们分为两种情况来 考虑：①若不存在满足条件的点A,书写时只要假设存在点A，推出矛盾，即能说明点A不存在，这实质是利用反证法来证明.②若存在满足条件的点A，通常这样的点也是唯一的.我们注意到参考解答常常省略了必要性探求过程，而直接给出了充分性的证明,即由点A的位置直接推导AB∥平面DEF.像本文试题中的问题就需要体现必要性探究，而此处却省略了,这里面多少有些约定俗成的味道.也正是这种不一致造成了很多教师与学生的困惑.笔者以为,在解答条件探索性问题时要参考既定的书写习惯，注意不同的命题场景.

条件探索性问题，想说爱你不容易，方向倘若一搞反，多花力气也枉然.在参与命制试题时要注意题意的清晰表达，譬如条件探索性问题也可以根据情况说成“求使得命题q成立的一个充分条件(或充要条件)”，指向明确，避免玩文字游戏，防止造成不必要的误解，以致引起考试不公平.