改进实验素材，促进起点整合——由线上、线下“圆锥体积公式推导”教学引发的思考

江苏南京市樱花小学（210042） 林 超

在“停课不停学”期间，教学“圆锥体积公式推导”之前，笔者通过平台对学生提交的研学单进行了深入研究，发现学生出现的问题与往届高度一致：第一，具有一定实验精神的学生对于教材中为什么选择等底等高的圆柱和圆锥进行实验是存疑的，他们用文字将此疑惑清楚地表述了出来；第二，在具体的应用中，出现了15 例漏乘的错误，这实质上也是对“为什么从等底等高的圆柱和圆锥开始研究”理解上的缺失。由于学生居家学习，对于这两个生成性的问题，笔者无法做到及时沟通，但在较充分了解学生学情的基础上，笔者对“圆锥体积公式推导”的教学有了新的灵感。

【教学片段1】（线上）来自于学生的质疑：“圆柱、圆锥等底等高？这么巧啊！”

关于圆锥体积的证明方法，不同版本的教材都较一致地给出了相同的实验材料“一组等底等高的圆柱和圆锥”，以及相同的实验方法“在圆锥形容器里装满水或沙子，再倒入与它等底等高的圆柱形容器中，从而发现圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的”。

在做接受误差”的心理铺垫下，学生在家里操作这样的实验，确实简单易行。因此，笔者通过平台推送了研学单：

仔细研究学生的研学单后发现，学生的实验发现集中在以下两方面：

第一，按照实验要求，在圆锥形容器里装满水，然后往圆柱形容器里倒3 次，差不多能倒满，说明圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的。因此，圆锥的体积=底面积×高×。第二，在圆柱形容器里盛满水，然后倒入与它等底等高的圆锥形容器，倒了3 次后，圆柱形杯子里还剩一点，这点水可忽略不计，说明圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的3 倍。因此，圆锥的体积=底面积×高×。

虽然学生的发现和教材中的知识一模一样，但并没有让笔者感受到他们发现规律时的惊喜和实验探索时的热情，笔者甚至能想象到，屏幕后的他们在实验时漠然的表情。

在当晚的辅导课上，大部分学生表示，他们通过预习早已知道了圆锥体积的计算公式，对实验过程也很清楚，并能体会到误差对实验结果造成的影响。原来学生已经有了这样的见识，那这样的实验还有必要操作吗？

这时，一个声音在班级群中响起：“老师，为什么课本上提供的材料是等底等高的圆柱、圆锥各一个？怎么这么巧？”“我觉得这样安排是为了容易实验、好作比较。”“不用做都知道圆锥体积是圆柱体积的时，它们一定等底等高。”“还有，只有等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。”“这好像不对吧？”……不一会儿，学生就在群里议论开了。

【教学片段2】（线下）来自学生的问题：“这是学过的？感觉有点熟悉又有点陌生！”

学生的学习过程，是以“连点成线”的方式在序列中逐步建构的，需要学生将零散的知识点按逻辑联结成线，新知自会从具有关联的知识上“生长”出来，教师要做的就是引导学生将其纳入已有的知识体系之中。而新知生成的起点，也就是学生的现实起点。如奥苏泊尔所说：“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么，教师应根据学生的原有知识进行教学。”显然，这需要教师了解学生的现实起点，在逻辑起点与现实起点的勾连中寻求突破，在整合中重构。

基于以上的思考，笔者改进了线上的教学设计，在复学后的第二天进行了教学尝试。

首先，笔者在课堂上出示了如图2 所示的研学单，学生经过思考、讨论、展示、补充后，得到了如图3所示的四种情况。

接着，笔者提问：“结合这四组图形，你认为哪组圆锥和圆柱之间的体积关系是不变的？”

学生1 答：“等底等高的那组不变。因为圆锥的底和高就是原来圆柱的底和高，无论怎样削，底和高已经确定了，形状不会发生改变，那么圆锥的体积也就不会改变，因此它们之间的体积关系不会变。”

学生2 答：“第四组的底和高同时发生变化，形状变了，体积也变了。它是四组中最难确定的。”

学生3 答：“中间两组有共同点，都是一个量不变，另一个量发生变化，体积也随之发生变化，因此它们体积之间的关系无法确定。”

笔者追问道：“那我们在研究圆锥体积时，应选择什么样的圆柱和圆锥？”此时，学生的选择都聚焦于“等底等高”。有学生提出：“这个问题和课本上的实验好像，感觉既熟悉又陌生。课本上是要我们估计圆锥的体积是圆柱的几分之几，是从圆锥到圆柱，而老师的问题是从圆柱到圆锥。”

【教学片段3】（线下）来自于学生的问题：“这和课本上不一样？水居然不够用！”

数学实验是一种基于问题解决的物化材料操作，而笔者设计的第一个研学单（如图1）的目的是希望学生通过实验验证“圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的”，因此实验本身具有较强的探究性。在线上教学时，学生在惯性思维下“波澜不惊”地学习着，更有甚者完全没有实验，全程脱离现实进行了“数学思考”。对此，笔者在线下的实验环节中，提供给每个小组的材料除了都有一组等底等高的圆柱、圆锥形容器，只给了少许水。学生在倒水实验时，很快就发现了问题：

组1：“老师，水不够用！我们组的水只够装满圆锥形容器，课本上可是能倒满圆柱形容器的！”

组2：“我们组的水只够倒满2次圆锥形容器。”

笔者：“看来水不太够，那该怎么办？”

几分钟后，就有学生兴奋地喊道：“这点水也够做实验！”

组3：“我们组只有能倒满一个圆锥形容器的水。我们就把圆锥形容器里的水倒进圆柱形容器，然后用尺子量圆柱形容器中水的高度，忽略误差，发现此时水的高度正好是圆柱高度的。这说明圆锥体积是圆柱体积的。”组4：“我们组向其他组借了一个圆锥形容器。我们组的水能倒满两个圆锥形容器，于是我们把两个圆锥形容器里的水都倒入了圆柱形容器，此时圆柱形容器并没有满。我们把圆锥形容器顶点向下，小心地把它压进了圆柱形容器里，发现圆柱形容器里的水在慢慢地升高，当圆锥形容器的顶点触碰到圆柱形容器的底面时，水面正好与圆锥形容器底面相平。这也可以证明圆锥体积是圆柱体积的。”

笔者：“你们的想法都非常有创意，现在你们有什么想说的？”

……

【教学反思】

在这次实践中，基于逻辑起点的线上课和基于现实起点的线下课，对于笔者而言无异于“同课异构”。要从已成习惯的逻辑起点调整到选择现实起点，不仅对学生来说困难重重，对教师整合学习资源的能力更是巨大挑战。这是对促进学习起点融合的有益尝试。

1.来自于教学片段1 的思考：整体把握逻辑起点和现实起点，使实验更具有思维含量

“等底等高的圆柱、圆锥各一个？怎么这么巧？”原来学生并不是没有思考，就这一句简简单单的提问，便指出了教材中实验素材的特征，而这一提问源自学生的逻辑起点。

俞正强老师指出：“学习起点可以理解为学生学习新内容所必须借助的知识准备，为了便于表述，可分为学习的逻辑起点和学习的现实起点。”这里提及的逻辑起点是指学生按照教材学习的进度应该具有的知识准备。现实起点是指学生已具有的多于教材所提供的知识准备，即学生实际的学习水平和潜在经验。

逻辑起点是基础的、显性的、静态的。学生需要在指导下对学习内容进行具体的梳理、串联、整合，若是缺乏与教师的有效交流，学生就无法将松散的知识点联结成有序的知识块，故而会对单一的实验操作心存轻视。在对研学单的分析中发现，学生对概念和对知识结构的理解存在偏差，这是因为学生在运用教材直接呈现的等底等高的圆柱、圆锥进行实验后直接得出“圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积的”，未曾经历知识建构的过程，从而生成“假命题”。

因此，教师在教学中需要充分考虑到圆锥、圆柱的底和高的几种特殊关系，从素材的选择上便开始重视学生探究过程的完整性，在尊重学生逻辑起点的同时，也要考虑现实起点，从而求同求通，突出本质，使实验具有更高的思维含量。

2.来自于教学片段2 的思考：依托教材寻找学习的现实起点，让学生体会实验素材选择的重要性

圆柱、圆锥的等底等高本是一种特殊现象，正因为底和高这两个量分别相等，所以圆柱和圆锥的体积才存在不变的倍比关系。学生从圆柱中发现了与圆柱等底等高的圆锥的存在，而不是通过直接呈现的方式，将等底等高的圆柱、圆锥尽收眼底。这个细节的调整，促使学生能在众多的素材中通过分析，合理选出有利于探究的实验素材。

因为学生在居家学习期间已经学过这节课的内容，也就是他们对教材的设计非常清楚，线下教学时如果再次重复，“曾经的熟悉”难免会成为“今天的无奈”，而随着教学的再次进行，也很难会形成基于不同学生认知水平和学习经验的新起点。更为重要的是，数学实验的目的是让学生进入知识的生成情境，经历知识由不确定到确定的渐进过程，如果教学思路不调整，实施的实验必然是无效的。那么，对于熟悉的、具体的实验内容，如何增添“陌生感”？合理选择或是“再创造”实验素材，就可形成一个高于逻辑起点的学习平台，即现实起点。

当学生能体会从圆锥到圆柱和从圆柱到圆锥的不同后，也就能整体把握一个知识块的“前世”与“今生”了。虽是实验素材的小小调整，但也体现了知识与知识的相连、知识与实验活动的相连，更为后续的实验探究做好了铺垫。

3.来自于教学片段3 的思考：预设问题，驱动学生选择现实起点，从而主动实验

教材中提供的实验素材都是从学生的逻辑起点出发的，设计的实验步骤具有条理性、科学性和可操作性，因此，学生的操作可以在教师的提问引领下，或是在自发生成的问题驱动下按预设展开。但在笔者将实验素材稍作调整后，学生能很快地转换视角思考问题，可见他们的实验活动并不完全指向研究问题的结果，当现有素材在目标与问题之间建立起对应关系后，他们就能创造出不同的实验方法。学生最终选择了基于自身认知水平和学习经验的现实起点，而这正蕴含了创造性的发散思维。

综上，学生学习的现实起点是动态的、开放的、本真的，所以当他们发现水不够用时才会产生疑问。因此，选择从学生的现实起点出发，则必须在学生已具备的逻辑起点上改造教材提供的实验素材，这样的实验过程更具生成性。此时，学生原有的经验可能会让他们产生不确定感，但却能真正将学生推到前端，因为提供给他们的实验素材具有挑战性（能带来认知冲突）、探究问题的实验操作具有启发性（能引发数学思考）和由此得出的实验结论具有可接受性（处于“最近发展区”），这三者合力作用，就能使学生在问题的驱动下自觉从现实起点出发实施操作。

每一个生成的新起点不仅是前一个起点的“果”，还是下一个起点的“苗”。教师在整合学生的“逻辑”与“现实”的同时，也需要调整自己的教学观，努力将课堂打造成为促进学生学习力形成的平台。