叠牌问题的探究——一次基于“数理融合”的研究性学习

樊陈卫 (江苏省海门中学 226100)

张景中院士在《数学与哲学》一书中提到：数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作，但是它离开具体学科之后无法做出贡献，它必须利用具体学科为它创造条件[1].这句话揭示了数学与其他学科之间存在密切的依存关系.回顾科学发展的历史，数学与物理的关系可以说是最为紧密的，数学为物理的发展提供了工具和思想方法，物理为数学提供了发展所必须的动力——有价值的问题.在越来越注重学科融合的高中理科教学中，数学与物理的融合必然处于极其重要的地位.笔者作为数学教师在日常教学中留心数学与物理融合教学的机会，关注数学知识点的物理背景、相关联的物理方法在数学中的应用，同时也带领学生展开一些物理小探究，在探究中引导学生利用物理知识和数学方法来解决问题、发现规律，体会探究的乐趣.以下笔者分享一次基于数学物理融合的研究性学习的过程.

1 问题提出与尝试

问题将多米诺骨牌一块块叠起来,能否叠成最上面一块与最下面一块在竖直方向看没有一处重合?

意图这首先是一个动手操作的问题，其次是一个物理问题.学生在动手实践之后获得对问题的感性认识，再从物理力学、重心的角度来分析问题，最后用数学的思维方法找到正确结论.

动手操作之前，多数学生对问题结果保持怀疑的态度.初步尝试后，有学生得到最上层与最下层竖直方向看有少许重合，如图1，同时还发现用的多米诺骨牌的块数越多，重合的面积可以越少，其中内在的规律是怎样的？

图1

为方便问题的描述和研究，教师引导学生作出一些必要且合理的假设：(1)骨牌是一模一样且质量均匀的；(2)每块骨牌长为1，高为h，宽为d(0

意图作出合理的假定，有利于使问题更加明晰；将一些相关量用字母表示，也便于问题的表达和研究.

2 等距离前出

多数学生尝试将每块骨牌较下面那块等距离前出，教师从此种情形开始引导学生展开研究.

师：根据同学们摆的情况看，基本都是按每块较下面那块伸出相等的长度，设这个长度为x，那么从力学的角度，能不能找到x和按这个方式往上摆最多能摆的块数之间的规律呢？我们研究问题时，一般以什么情况作为思考的起点？

师：很好！将最简单的情形作为思考的起点是解决问题的一个重要方法，从最简单情形中可以比较容易发现解决问题的基本原理.这里的基本原理就是某块上面的骨牌必须保证它们作为整体的重心位置不在这块骨牌的外侧.假如在底面一块骨牌上叠两块骨牌，可以前出多长距离呢？

图2

师：很好，能进一步考虑底面一块骨牌上叠三块骨牌，能猜猜每块可以前出多少长度，累计前出多少长度？n块骨牌呢？能证明一下吗？

意图先猜后证有利于激发兴趣，培养类比推理的能力，掌握科学探究的一般思维方法.

学生经过一番猜想与证明活动，得到：

3 非等距前出

图3

师：还是从力学角度，将这两块作为一个整体，应该满足什么条件？

生：基本原理不变，就是保证上面两块骨牌作为整体的重心位置不在底面一块的外侧.

师：很好，将之前解决问题中的思路迁移到了新问题上.能根据这一点建立对应的不等式吗？

图4 图5

师：很好，这里的思路、结论能用在底面一块骨牌上叠三块骨牌的情形吗？大家尝试一下.

师：这三块作为整体的重心如何确定？

图6

师：很好，当n块骨牌的累计前出超过1，就可以使得最上面一块与最下面一块在竖直方向看没有一处重合.看看按照刚刚的方法，至少需要几块可以实现.

师：对的.所以发现了规律，有了理论的指导，一定可以叠出这样的效果．再试试看?

学生再次动手操作，多数能达到问题要求.

师：通过刚刚的研究过程，你们有什么体会？

生：感觉会做一点小研究了.拿到一个问题后，先动手实践操作，有了一定感性体验后，建立数学模型，发现问题的本质规律，再次动手实践，提升操作的效果，直到实现研究的目标.另外，在研究问题的过程中，我们学到的不同学科的方法和知识，根据需要都可以灵活用起来.

师：探究的过程中有什么好的经验吗？

生：可以从简单的情形入手，发现规律或解决问题的办法后再用这个规律或办法解决复杂的问题.还有就是在解决问题的过程中要不断突破自己的思维框架，就像这里不能把自己的思维限制在等距离前出的情形中，要敢于尝试才有所创新.

4 出人意料的结论

师：说得好！说到突破思维，其实这个问题还有一个出乎大家意料的结果——这些骨牌越在下面，前出的幅度越来越小，甚至趋向于0，但累计前出也就是最上面一块相对于最底下一块的偏移要多远有多远，只要骨牌有足够多.大家来看：

5 关于学科融合的思考

5.1 对学科融合教学的理解

如今是一个知识大爆炸的时代，科学技术的各个领域都存在着多学科之间的逐步交叉融合，教育教学也就出现了相应的改革，学科融合教学思路助力培养全面发展的创新型、复合型人才以满足社会需要.学科融合的核心是跨科整合.理科教学的跨科整合是一种以大学科为背景，以其思维为导向，立足于本学科的基础知识，同时结合相关学科之间存在的共性联系，将不同学科之间的知识、思想、方法经过梳理、选择、加工、整合后综合运用到课堂教学中去的各种方式和手段的统称.课堂教学、兴趣小组的研究性学习是实现跨科整合的重要途径.

5.2 加强学科之间的联系

教师自身的知识储备量足够大，才是实施学科知识融合和拓展教学的基础.在单科教学的过程中，由于学科的独立性，在本学科内缺少与其他学科之间的沟通与交流，因此可以通过建立跨学科备课组、跨学科听课等活动加强各科教师间的交流和合作.只有教师改变自身原有的知识结构，融入多门学科知识建立起新的知识网络，成为一名综合型、复合型教师时，才能在此基础之上仔细研究教材，准确找出融合拓展的内容，进行学科知识融合的拓展教学.

5.3 合理适度拓展教学

根据课程标准所制定的教学目标，对教师教学起着一定的导向作用.在进行学科知识融合的拓展教学之前，要紧紧围绕科学的教学目标设计学科知识融合的拓展教学方案.在教学内容的设计上要主次分明，以教学目标中所提到的必须要掌握和了解的知识为主，在此基础之上才可融合其他学科知识，拓展的内容切不可过多，以免使学生思路混乱，分不清主次.除了融合拓展的知识内容含量，融合拓展的内容难度也十分重要.在进行教学方案设计之前，教师不仅要对本学科中学生的学情有准确的掌握，还要熟悉其他学科的教学内容及进度，只有这样才可结合“最近发展区”理论，恰到好处地融合符合学生认知规律的其他学科的相关知识来进行拓展教学.