出租车收费问题探究*

张乐天 (江苏省苏州市阳山实验初级中学校初三(7)班 215151)

李沅骏 (江苏省苏州市阳山实验初级中学校初三(8)班 215151)

指导教师 孙 凯 (江苏省苏州市阳山实验初级中学校 215151)

1 问题背景

在我们的现实生活中处处存在着数学，可以说数学与现实生活密不可分．现实生活中的很多问题可以用数学知识来解决，这就要求我们在生活中要用数学的眼光观察生活现象，用数学的语言表达生活现象，尝试用数学知识、思想和方法探究生活现象中存在的某种数学关系，建立合适的数学模型来分析和求解实际问题．最近，我们注意到出租车这个重要的交通工具，对出租车收费问题产生了浓厚的兴趣．经过初步观察和思考，发现出租车收费是随着行驶路程的变化而变化的，若将出租车收费与行驶里程看成两个变量的话，当行驶里程确定时，出租车收费是唯一且确定的，从而我们可以判断出出租车收费与行驶里程之间是一种函数关系．那么出租车收费和其行驶里程之间存在什么样的函数关系？作为乘客，我们怎样乘坐出租车才能减少乘车费用支出呢？接下来我们围绕这些问题进行探究．

2 问题呈现

在苏州市范围内选取有代表性的出租车公司，拍摄了出租车收费标准(图1)．已知出租车收费标准：行驶里程3 km内，起步费为10元；超过3 km，每1 km收费1.80元；超过5 km，单程加收50%空驶费．在调查研究的基础上，我们提出两个比较感兴趣的问题．

图1

问题1出租车收费与行驶里程间存在什么关系？

问题2乘客采用分乘两次的方法能降低乘坐出租车的费用吗？

3 分析问题

这是一个源于实际生活的问题.我们知道在现实生活中，出租车收费会受到各种因素影响，为了更好地开展问题探究，我们假设：(1)任意一辆出租车都按以上收费标准收费；(2)出租车匀速行驶； (3)行驶期间不堵车；(4)不考虑乘客主观乘车感受；(5)出租车驾驶员与乘客都认同收费标准； (6)不考虑行驶时间；(7)乘客单程乘坐出租车．

在作出以上假设之后，我们尝试用数学知识解决上面提出的两个问题．

4 建立模型

出租车收费是随着行驶里程的变化而变化的，不妨将行驶里程记为xkm，出租车收费记为y元，关于行驶里程，需根据实际情况进行分类．

(1)出租车收费标准中的“起步费10元(3 km内)”指的是行驶里程小于或等于3 km，实际上就是0

行驶里程0

(2)出租车收费标准中的“1.80/km”是指 3 km内起步费10元，超过3 km的里程部分按每1 km收1.80元的标准收费．此时行驶里程大于 3 km，考虑到标准中“超过5 km单程加收50%空驶费”，所以行驶里程应小于或等于5 km，即3

需要说明的是，当行驶里程不是整千米时，不足1 km的按1 km计算．根据以上分析，出租车收费应包括起步费和超过3 km部分的费用，用函数关系式表达为y=10+1.8(x-3)，即y=1.8x+4.6．此时出租车收费y元与行驶里程xkm之间是一次函数的关系．

行驶里程3

(3)出租车收费标准中的“超出5 km加收50%空驶费”指行驶里程大于5 km时，超出 5 km的里程加收50%的空驶费，就是在每1 km收1.80元的基础上再加收50%，即每1 km收2.70元．这样，出租车收费包括三个部分：起步费+1.80/km收费+2.70/km收费．用函数关系式表达为y=10+1.8×2+2.7(x-5)，即y=2.7x+0.1．此时出租车收费y元与行驶里程xkm之间也是一次函数的关系．

行驶里程x>5，收费y=2.7x+0.1．

综合以上三种可能的收费情况，得到出租车收费与行驶里程间的函数模型

5 解决问题

我们建立了出租车收费与行驶里程间的函数模型，只要确定乘客的租乘里程就可以求得需支付的费用，提出的问题1也得以解决．我们知道行驶里程超过5 km要加收50%的空驶费，对于乘客而言，当行驶里程不超过5 km时是比较划算的，但很多时候乘客要到达目的地的里程超过 5 km甚至远远超过5 km，这个时候我们会想到一个问题：乘客采用分乘两次的方法能降低乘坐出租车的费用吗？

6 研究结论

经过对实际问题的分析，建立数学模型并求解，我们获得结论：乘客采用分乘两次或多次的方法并不能降低租车的费用支出，在行驶里程较远的情况下，单次乘坐出租车仍然是相对最节省租车费用的方法．

教师点评将现实世界中的实际问题转化为数学问题，用数学知识、思想和方法解决问题的过程就是数学建模．张乐天、李沅骏两位同学能用数学的眼光观察生活，以出租车收费为研究对象，提出两个非常有价值的问题，用数学的语言呈现出清晰的数学问题，最后用数学的思维分析问题，建立函数模型并求解，完整体现了数学建模的活动过程，获得有价值的研究结论，非常值得大家学习借鉴．现实中的实际问题往往是错综复杂的、杂乱无序的、充满挑战性的，作为初中学生，敢于提出问题并用建立数学模型来求解，实属难得．希望更多的同学善于用数学的眼光观察生活，发现和提出有价值的问题，尝试建立数学模型求解，在问题的解决中体悟数学的应用价值．