频率捷变雷达跟踪海面低空目标的频点自适应优化技术

王娜 张劲东 徐婧 柏磊

（1.南京航空航天大学电子信息工程学院，江苏南京 211106；2.中船重工第八研究院，江苏扬州 225000）

1 引言

跟踪海面低空目标时，雷达的发射信号经过海面的反射，形成不同路径的反射信号返回雷达天线，在雷达接收机中，不同路径的回波矢量叠加会出现干涉现象，产生多径效应［1］。雷达跟踪精度由于多径效应会明显降低甚至失效，如何解决多径干扰问题是低空目标检测的重要研究课题之一。

近几十年来，国内外学者从未停止对低仰角测量技术的研究，大量的文献对多径效应做了深入地探讨和研究。文献［2］建立了多径回波的统计模型，同时对此模型的特征进行了分析；文献［3］对粗糙表面的特性进行了研究。目前，超分辨率技术和频率分集技术被广泛用于抑制多径效应。文献［4-6］从提高距离分辨率入手，降低距离单元的杂波，从而提高检测概率；文献［7］采用脉冲频率步进信号实现高分辨率；文献［8］在时域上采用自相关检测的方法区分镜像目标和真实目标。如文献［9］使用正交频分多路复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）体制，针对低空目标检测问题提出了一种利用信号相关性实现频率分集的方法，但仅仅在拥有较多的频率正交信号时，才能获得较好的检测结果；文献［10-14］对低空目标检测采用基于正交频分多路复用多输入多输出（OFDMMIMO）体制，这种体制的优点是可同时获得频率维度和空间维度的增益，大大提高多径目标检测性能。上述学者的研究工作表明，对于低空目标检测，超分辨技术能提高雷达检测性能，可以较好地分离多径信号。通过频率分集技术［15-17］对雷达的角度分辨力和测角精度都有所提高，多径干扰的影响有所减少。后来有学者提出采用频率捷变信号来减小目标与多径之间的相关性。

频率捷变相参雷达［18］（Frequency Agile Coherent Radar，FACR）作为一种新体制雷达，其各脉冲载频在整个捷变带宽内能够实现快速随机切换，实现了频率捷变信号距离—速度解耦合，具有更高的距离—速度联合分辨力［19］。文献［20］采用加入地球曲率的多径模型，计算出雷达多路径传输因子进而推导出捷变可以在一定程度上使多径信号与回波信号去相关。文献［21］采用频率捷变技术对多径效应抵消回波情况加以改善，从而提高检测概率。但上述方法没能解决不同场合下多径效应以及频点优化的问题。

本文提出了一种自适应频率捷变优化的改善低角测量误差方法，针对不同距离、高度和海情产生的多径效应，建立了海面多径反射、频率捷变系统和仰角误差测量模型，制定了自适应优化频点算法来减小多径效应，通过雷达自适应频率捷变对抗多径的策略。仿真结果表明，该方法能够有效降低仰角测量误差，可根据不同场合多径效应自适应优化频点，减小多径效应对目标仰角测量的影响。

2 频率捷变雷达的多径效应模型

2.1 海面信号反射多径效应模型

本文主要考虑雷达探测近程低空海面目标，地球曲率的问题可不考虑，通过平面几何模型来加以研究。如图1所示，在海面上，低空飞行的目标由于雷达信号经过海面反射，构成一个镜像目标。接收信号是目标直接反射的信号和经过海面反射的信号（包括镜面反射信号和漫反射信号）的矢量和，这些矢量叠加形成干涉，从而产生雷达对低角跟踪不稳定的多径效应。

图1 海面信号反射多径效应几何模型Fig.1 Geometric model of multipath effect

其中，R0为雷达到目标的直线距离，R1为海面反射点到雷达的直线距离，R2为海面反射点到目标的直线距离，r为雷达到目标的水平距离，ht为目标距海面垂直高度，hr为雷达距海面垂直高度，θd为目标仰角，β为擦地角，且θr=β。

本文采用单脉冲比幅测角雷达，发射频率捷变信号，多径情况下接收和、差信号回波第n个脉冲模型分别为：

其中，GΣ(θd)、GΔ(θd)为目标反射波的和、差信号的方向图增益［1］；GΣ(θr)、GΔ(θr)为多径反射波和、差信号的方向图增益；yd(n)和yr(n)分别为目标反射回波和多径反射回波。

多径反射回波yr(n)与路径差引起的相移α和海面多径反射系数ρ有关，表达式如下：

其中，α是多径反射信号相对于目标反射信号的总相移，设波长为λ，则表达式为：

多径反射系数ρ是由漫反射系数ρd和镜面反射系数ρs组成［22］，表达式如下：

1）镜面反射系数ρs

镜面反射系数ρs由镜面散射因子rs、扩散因子D和Fresnel反射系数ρ0构成［23］：

Fresnel 反射系数ρ0主要是雷达波长、极化方式、海水参数和擦地角等决定，本文选择雷达工作在垂直极化方式，其中，ε为复相对海水介电常数，β为擦地角。由于本文主要考虑近程目标的探测，故忽略地球曲率，在本文算法仿真中，取扩散因子D≈1。

镜面因子表达式为：

其中，g0是粗糙度因子，表示为：g0=σhsinβ/λ，σh为有效浪高，可查表［23］获得。

2）漫反射系数ρd

粗糙表面的大量散射元反射时构成漫反射过程，故漫反射系数可用随机变量来描述［24］。由于目标回波信号与漫反射回波信号之间是非相干的，在[-π，π]上漫反射系数相位变化服从均匀分布，其幅值的计算方式如下［25］：

其中，ρ0是Fresnel反射系数；rd为漫反射因子。

2.2 频率捷变系统模型

本文采用频率捷变雷达发射信号，设初始脉冲频率为fc，第n个脉冲的频率为fn=fc+dnΔf，n=0，1，…，N-1，其中n表示第n个脉冲序列号，N为脉冲数量，dn为随机跳变的整数，Δf为跳频间隔。发射信号的第n个脉冲表示为：

其中，a(·)为基带信号，t为慢时间，Tr为雷达脉冲重复周期。

假设雷达频率捷变时的基带信号为线性调频信号，则有表达式：

其中，Tp为脉冲宽度，k=B/Tp是信号调频斜率，rect(·)为标准矩形脉冲函数。为了保证每个脉冲调频带宽为Δf，则调频斜率，于是雷达合成带宽为B=MΔf。

那么对于距离为R，速度为v的目标回波可表示为：

本文将线性调频信号作为基带信号，故需要对回波信号进行脉压。解调后的目标回波信号写成：

其中，C(R，v)为目标后向散射幅度，由目标速度和距离决定。上式亦可表示为：

由式（14）可以看出，C′(R，v)是与目标散射系数相关，与脉冲序列无关，可以看作常数；指数项第一个相位项p(R)含有目标距离信息R，称为距离相位因子；第二个相位项q(v)则是由于目标速度引起的相位，称为速度相位因子。

测量捷变相参雷达目标距离—速度(R，v)值可转化为距离—多普勒平面对回波的匹配问题，目标的不同脉冲都需进行相位补偿以实现相参积累。由式（13）可得补偿相位为：

2.3 频率捷变雷达多径效应仰角误差模型

分别得到多径效应模型和频率捷变系统模型之后，将目标带入模型中求解频率捷变雷达的仰角误差模型。假设有一目标相对雷达的距离为R0，速度为v0（靠近雷达方向为正），目标高度为ht，多径路径距离和为Rr=R0+R1+R2。为了得到目标的距离速度信息，分别对目标回波和多径回波的不同脉冲进行匹配滤波和相参处理，得到第n个脉冲直达回波信号和多径反射回波信号的表达式：

其中，(·)*为共轭计算。

在(R0，v0)这一目标点上，第n个脉冲目标回波和多径回波分别为：

求解出目标距离速度信息后，根据单脉冲比幅测角原理［26］计算仰角测量误差。利用雷达天线方向图和偏置角，可根据和差信号比rΔ/rΣ得到目标偏离天线视轴方向角度θt的函数关系。产生多径效应时，代入频率捷变雷达目标信号和多径信号回波的幅度和差比。

目标的仰角测量误差表达式为：

式中，θd通过计算得到则通过单脉冲测角原理计算得到。θd为真实值为测量值。

其中，K为比例因子，不同频点下K近似相同，反射系数ρ(fc)以脉冲载频fc为自变量。

将式（18）和（19）代入式（21），可得第n个脉冲和差信号比为：

其中，αn(fn，R0，ht)表示多径反射信号与目标直达信号的相位差，这里指路径差引起的相移：

由式（24）可知，和差信号比由频点fn，目标位置R0，目标高度ht和脉冲数n决定，在目标参数不变的情况下，第n个脉冲和差信号比则由频点fn决定。

当发射信号为固定频时，f1=…=fn=fc，角度测量估计值为：

其中，直达信号和反射信号之间相关性较强，容易发生信号相干对消，导致测角不准确。

当发射信号为频率捷变信号时，N个脉冲的和差信号比为：

将式（26）代入式（21），可得仰角测量误差表达式为：

由式（27）可得，仰角测量误差以目标距离R0，目标高度ht和脉冲频率fn为函数变量，当目标参数一定时，利用频率捷变，即从一个脉冲到另一个脉冲载波频率频点范围内随机跳变，可以去除直达信号和反射信号的相关性，减少了由于直达信号和反射信号相位不同而引起的严重的信号对消。因此采用频率捷变可以降低仰角误差。当捷变频频点选择一定时，可以通过中心频点的选取控制仰角测量误差范围。

3 自适应频率捷变策略

3.1 中心频点选取策略

雷达工作频率、天线高度、海面海情、目标高度和目标距离等因素都会导致多路径引起的低仰角测量误差的变化，分析起来有一定难度。由式（27）可知，当目标距离R0，目标高度ht一定时，脉冲频率fn为函数变量，e-jαn(fn，R0，ht)的大小可决定仰角测量误差，故可选取中心频点来决定仰角测量误差。为了让不同距离上的仰角误差都在±θe范围内，中心频点的选择至关重要。且将目标高度上下Δh高度的仰角误差也考虑在内。

中心频点的选择问题本质上是较为复杂且无导数，优化效率低下的混合整数模型。针对这种模型，遗传算法等优化算法收敛速度相对较慢，优化效率较低。无导数优化算法具有收敛速度快，算法简单的优点［27］。典型的无导数优化算法包括广义模式搜索算法和网格自适应直接搜索算法（MADS）［28-30］。MADS［31］是广义模式搜索算法的进一步发展，是用于解决非光滑约束规划问题的一种无导数优化算法。与广义模式搜索算法相比，它的优势在非光滑应用中非常明显。因此为了选择合适的中心频点，本文利用MADS的频点优化算法，选取中心频点来改善仰角误差，形成了自适应频率捷变的策略。

把雷达工作频段均分为M个频点，频点间隔Δf。频率捷变信号发射N个脉冲，选取一个频点为中心频点，分别取中心频点附近N个点为频率捷变点。通过频率捷变下的多径模型仿真M个频点下的仰角误差，选择中心频点，控制仰角误差在±θe内。

中心频点选取策略流程图如图2所示。

图2 中心频点选取策略流程图Fig.2 Flow chart of center frequency selection strategy

中心频点选取的策略如下：

1）当不同中心频点仰角误差都在±θe内时，选取某频点作为固定频；

2）带宽内不同中心频点仰角误差存在大于±θe时，选取仰角误差最小的频点作为中心频点，其中选取频点的算法可以选择遍历频点法或3.2 节MADS的频点优化算法；

3）如果上一个距离的中心频点在下一个距离上的仰角误差也在±θe内，则中心频点不变；如果不在±θe内，再选取一个仰角误差最小的频点作为下一个中心频点。

约束条件为：

1）频点不超过工作波段（fminGHz～fmaxGHz），当频率捷变点小于fminGHz 或者大于fmaxGHz 时，频点超过范围，选择范围内最边界的N个频点；

2）目标高度上下Δh的仰角测量误差也要低于±θe。

3.2 基于MADS的频点优化算法

为了找出合适的频点，本文采用网格自适应直接搜索算法（MADS）搜索最优频点，来提高运行效率。目标函数为仰角测量误差：

式中离散变量x为待优化的中心频点，x∈Ω ⊆Zn，Ω为x所在的可行域；Λ为R0所在的可行域；Π为ht所在的可行域。

MADS 优化过程分为搜索步和探测步［32］，搜索步和探测步的主要目标是产生改进网格点。搜索步在网格上选取有限试验点，计算这些网格点的fΩ，通过与初始点函数值fΩ(x)比较，确立改进的网格点。当产生改进网格点后，MADS 迭代将停止，否则，进入探测步。探测步在框架上寻找改进网格点，按照探测方向进行局部搜索。如果在第k次搜索步或探测步中，在可行域Ω 中产生了改进的网格点xk+1，满足fΩ(xk+1)＜fΩ(xk)，迭代成功，下次迭代时网格参数可以保持不变或增大；反之，减小。网格参数更新规则如下：

综上所述，MADS的基本流程如表1所示。

表1 基于MADS的频点优化算法Tab.1 Frequency point optimization algorithm based on MADS

此算法终止条件为：

1）网格大小小于网格的限定值；

2）迭代次数达到最大；

3）第k+1 次迭代的目标函数值|fΩ(x) -fΩ(xk+1)|＜1 × 10-5。

利用上述算法对频点优化时，返回xk+1的值为最优解，fΩ(xk+1)为最小仰角测量误差。

4 仿真结果及分析

为验证所提算法有效性，下面分别仿真分析在不同距离、不同高度、不同海情和不同频点情况下产生多径效应的大小和对仰角误差的影响，并对比基于遍历法、MDAS和遗传算法的优化结果。

4.1 不同参数对仰角误差的影响

设雷达波束宽度θB为2°。相参频率捷变雷达信号设置为：脉冲数N=16，X波段（8 GHz～12 GHz）共均分为200个频点，每一个频点对应一个频率，调频间隔为Δf=20 MHz，设置仰角测量精度约为1/20波束宽度θe=2 mrad，符合目前工程可实现测量精度。且将目标高度上下0.1 m 高度的仰角误差也考虑在内。

当海情s=1，天线架高hr=20 m，目标垂直高度ht=5 m，中心频点为8 GHz，在1 km～10 km 距离范围内仰角误差变化如图3所示。图3（a）为捷变频同一频点下不同距离仰角误差图；图3（b）为步进频信号和捷变频信号仰角误差对比图。由图3（a）可知仰角误差随目标距离变化，在1 km～6 km 距离范围内变化较大，6 km～10 km 范围内变化平缓。当其他条件不变时，改变目标距离，目标直达信号与多径反射信号产生干涉对消的距离段也会改变，因此仰角误差变化范围较大。由图3（b）可知捷变频信号仰角误差比步进频信号小，因此本文选择捷变频信号。

图3 同一频点下不同距离目标仰角测量误差Fig.3 Elevation measurement errors of targets at different distances at the same frequency point

当海情s=1 时，天线架高hr=20 m，目标垂直高度分别为4 m，5 m 和6 m。图4（a）为中心频点为8 GHz 下不同距离的仰角误差，图4（b）为距离2 km时不同中心频点的仰角误差。从图中可知，目标的高度影响着仰角误差，随着目标高度的增加，仰角误差会大致向左平移，说明高度对仰角误差影响较大，因此在选择频点时很有必要考虑目标高度的变化。

图4 不同目标高度仰角测量误差Fig.4 Measurement errors of elevation at different target heights

当海情s=1 时，天线架高hr=20 m，目标垂直高度ht=5 m。图5给出了以中心频率为变量，仿真目标在不同中心频点上的仰角测量误差，图5（a）和（b）目标距离分别为2 km 和5 km，从图中可以看出，仰角误差随频点变化而变化，且每一个距离上的变化趋势不同，故可以根据距离选择低仰角误差的频点。

图5 不同距离每个频点的仰角测量误差Fig.5 Measurement error of elevation angle of each frequency point at different distances

当海情s分别为1，2 和3 时，天线架高hr=20 m，目标垂直高度ht=5 m，中心频点为8 GHz。图6 给出了目标在不同海情下的仰角测量误差的变化曲线，海情越高，海面粗糙度越大，镜面反射回波受海面影响越大，杂波变强，镜面反射分量变弱，高速飞行的目标可以跟杂波分开，受多径影响减弱。

图6 不同海情仰角测量误差Fig.6 Measurement errors of elevation Angle under different sea conditions

由上述仿真结果可知，目标的距离和高度、发射信号中心频点和海情都会影响仰角测角误差，在目标和海面参数不变时，我们可以通过选择中心频点来控制仰角测量误差。

4.2 自适应频点优化仿真

当海情s=1，天线架高hr=20 m，目标垂直高度ht=5 m。图7 给出了根据频点选取策略优化频点结果图，1 km～10 km 距离范围内每个频点的仰角误差曲线，图7（a）中黑色曲线是选取频点之后的仰角误差曲线，其他曲线为200 个频点的仰角误差。图7（b）是选取的中心频点分布图，图7（c）为中心频点细化图，图中可看出1 km～1.6 km 范围内总体比较分散，超过1.6 km 的中心频点相同个数较多。仿真结果表明根据频点选取准则优化的中心频点，能控制回波仰角误差在±2 mrad 内，且一定距离范围内频点可保持一致。

图7 频点优化结果图Fig.7 Optimization results of frequency points

根据遍历法选取频点可以很好的降低仰角误差，但是运行时间太长，为了提高运行速度，这里采用网格自适应直接搜索算法（MADS）搜索最优频点。图8 为1 km～3 km 距离范围内遍历频点和用MADS 选出的频点和仰角误差绝对值的结果对比图。图8（a）中黑色曲线与蓝色曲线分别为遍历频点法和MADS 选出的频点和频点对应的仰角误差绝对值，其他曲线为200个频点的仰角误差绝对值。对比遍历算法，MADS 选出来的中心频点相同个数较多。仿真结果表明，虽然MADS 的仰角误差比遍历法的仰角误差偏大，但是遍历法和MADS 优化频点算法都能控制仰角误差在一定范围内。

图8 遍历和MADS频点优化结果对比图Fig.8 Comparison of frequency point optimization results of traversal and MADS

为了更加清晰的了解MADS在运算性能方面的优势，下面以目标距离2 km～10 km 为例，分别用遍历频点法、MADS和遗传算法优化频点，仿真结果用平均每个距离点的迭代次数、CPU 计算时间和仰角误差来评估三种算法的运算性能，结果对比如表2所示。

表2 不同算法运算性能对比Tab.2 Comparison of operation performance of different algorithms

从表中数据可以看出，在这段距离平均每个点上，对比遍历频点法和遗传算法，MADS的迭代次数分别减少了20 倍和2 倍，CPU 计算时间分别缩短了近6 倍和2 倍，且优化过的仰角误差比遗传算法仰角误差低，能保持仰角误差在±2 mrad 内；因此用该算法来选择频点，可以使迭代次数减少，CPU 计算时间缩短，运行效率提高。

5 结论

本文建立了海面多径反射和频率捷变下低仰角测量误差测量模型，提出了一种基于自适应频率捷变优化的改善低角测量误差方法，形成了雷达自适应频率捷变对抗海面超低空目标多径的策略。仿真结果表明，宽带频率捷变能去除目标信号与多径信号的相关性，且该算法能根据不同距离、不同高度和不同海情产生多径效应的大小自动选择低误差频点，控制每一个距离的低角测量误差在±2 mrad 内；且相比于遗传算法，基于网格自适应直接搜索的频点优化算法也提高频点选择速度近两倍，表明了该优化算法的有效性。