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方程组有解问题转化为方程有解问题的思考*

2022-11-14俞杏明

中学数学 2022年3期
关键词:等价方程组结论

俞杏明

(江苏省兴化中学 225700)

数学问题解决过程中,经常需要把方程组有解问题,转化为方程有解问题,这必须考虑转化是否等价.

1 解答质疑引发思考

例1

已知椭圆

C

的方程为直线

l

的方程为

y

=

x

+

m.

若直线

l

与椭圆

C

有公共点,求实数

m

的取值范围.

联立整理得7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0(*). 因为椭圆

C

与直线

l

有公共点,所以(*)式有解,所以所以实数

m

的取值范围为

一次教研活动中有教师指出,上述解答中只能保证(*)式在(-∞,+∞)上有解,而题意的要求是(*)式在[-2,2]上有解.

2 溯源而上挖掘隐含

把(*)式7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0溯源至再将变形为因为所以所以-2≤

x

≤2.所以方程7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0若有解,则解一定在[-2,2]内.

3 提炼升华生成结论

刚才探究的实质是:方程组有解问题与方程有解问题是否等价.

下面探究一般的情形:方程组有解问题,与方程有解问题是否等价?

由得所以

x

∈[-

a

,

a

].因此方程组有解问题,与方程=1有解问题等价.

注意到代入消元没有改变被代入方程的结构,因而对于一般的二元方程组有如下结论:

结论1

方程组有解问题,与

F

(

x

,

kx

+

m

)=0有解问题等价.

同理有:

结论2

方程组有解问题,与

F

(

py

+

q

,

y

)=0有解问题等价.

例2

若2

x

-2

xy

+

y

=1,求

x

+2

y

的最小值与最大值.分析 令

x

+2

y

=

t

,则有解,所以2(

t

-2

y

)-2(

t

-2

y

)

y

+

y

=1即13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在

y

R

上有解.此时无需限定13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在上有解(在2

x

-2

xy

+

y

=1中,有略解 因为13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在

y

R

上有解,所以

Δ

=100

t

-4×13×(2

t

-1)≥0,解得所以

x

+2

y

的最小值为最大值为既然代入消元没有改变被代入方程的结构,因此在更一般的

y

=

f

(

x

)(

x

D

)与

F

(

x

,

y

)=0组成的方程组中有如下结论:

结论3

方程组有解问题,与

F

(

x

,

f

(

x

))=0在

x

D

上有解问题等价.

类似地,

结论4

方程组有解问题,与

F

(

g

(

y

),

y

)=0在

y

E

上有解问题等价.

例3

已知正数

x

,

y

满足求

xy

的取值范围.

xy

=

t

,则有解.所以即在(0,+∞)上有解.令因为

f

(

x

)的对称轴且

f

(0)=3

t

+2>0,要使在

x

∈(0,+∞)有解,则解得所以

xy

的取值范围为

4 隐含对应一一兼顾

方程组有解问题转化为方程有解问题时,有时会出现意想不到的错误.

例4

若曲线

C

y

=2

x

与曲线

C

:(

x

-

m

)+

y

=2有交点,求

m

的取值范围.错解 因为两曲线有交点,所以有解,所以

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0有解,所以

Δ

=4(

m

-1)-4(

m

-2)≥0,解得所以

m

的取值范围为这个答案显然是错误的,当

m

取较小负数时,两曲线处于相离状态,没有交点.那么,错误的根源是什么?如何避免这样的错误?下面先从简单事例入手进行探讨.在

x

+

y

=3与

y

=2

x

组成的方程组**)中,把

y

=2

x

代入

x

+

y

=3,得

x

+2

x

=3.解方程

x

+2

x

=3,得

x

=1或

x

=-3.可其中

x

=-3不满足方程组**)比较

x

+2

x

=3与

x

+

y

=3会发现,方程

x

+2

x

=3中缺失方程组**)隐含的制约2

x

=

y

≥0.对方程

x

+2

x

=3加上制约

x

≥0,则既保持着方程组(**)中

x

+

y

=3的结构,又保留了

y

=2

x

隐含的对

x

的制约.同时还发现,的解

x

=1,对应着**)中两组解或

对刚才的例子进行一般化,有如下结论:

结论5

y

=

f

(

x

)中隐含的

x

取值范围为

D

y

=

f

(

x

)代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程为

u

(

x

)=0,则是否有解与

u

(

x

)=0在

x

D

上是否有解等价,且的解的组数等于

u

(

x

)=0(

x

D

)每一个解代入得到的解组数之和.

同理有:

结论6

x

=

f

(

y

)中隐含的

y

取值范围为

E

x

=

f

(

y

)代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程为

v

(

y

)=0,则是否有解与

v

(

y

)=0在

y

E

上是否有解等价,且解的组数等于

v

(

y

)=0(

y

E

)每一个解代入得到的解组数之和.

更一般地,有以下结论:

结论7

A

(

x

,

y

)=0中隐含的

x

取值范围为

D

A

(

x

,

y

)=0代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程为

u

(

x

)=0,则是否有解与

u

(

x

)=0在

x

D

上是否有解等价,且解的组数等于

u

(

x

)=0(

x

D

)每一个解代入得到的解组数之和.

结论8

A

(

x

,

y

)=0中隐含的

y

取值范围为

E

A

(

x

,

y

)=0代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程为

v

(

y

)=0,则是否有解与

v

(

y

)=0在

y

E

上是否有解等价,且解的组数等于

v

(

y

)=0(

y

E

)每一个解代入得到的解组数之和.

下面我们重新求解例4.

正解

因为两曲线有交点,所以有解,由结论5知(

x

-

m

)+2

x

=2即

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上有解.令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2,则

f

(0)=

m

-2≤0,或解得所以

m

的取值范围为

把例4改编为下面两道例题,体现推导出的结论的效力.

例5

若曲线

C

y

=2

x

与曲线

C

:(

x

-

m

)+

y

=2有四个交点,求

m

的取值范围.分析 方程

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上每一个正解,对应着中两组解.要使有四组解,则

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上有且仅有两个不同的正解.略解 令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2,则解得所以

m

的取值范围为

例6

已知曲线

C

y

+4

y

=2

x

与曲线

C

:(

x

-

m

)+

y

+4

y

=2有且仅有两个公共点,求

m

的取值范围.分析 由结论7知,方程组有且仅有两解等价于(

x

-

m

)+2

x

=2即

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈(-2,+∞)上有且仅有一解.(由

y

+4

y

=2

x

⟹(

y

+2)=2

x

+4≥0⟹

x

≥-2,但

x

=-2时(

y

+2)=0,不符题意中两个公共点的要求.)略解 令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2,则

f

(-2)=

m

+4

m

-2<0或解得或所以

m

的取值范围为

5 一点说明

代入消元法是处理方程组最基本、最常用的办法.有些方程组尽管需要特殊技巧整理,但最终仍回归到代入消元法轨道上.至于更多元(二元以上)的方程组,可以在文中理念下等价转化为二元方程组,进而用文中结论求解.

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