方程组有解问题转化为方程有解问题的思考*
2022-11-14俞杏明
俞杏明
(江苏省兴化中学 225700)
数学问题解决过程中,经常需要把方程组有解问题,转化为方程有解问题,这必须考虑转化是否等价.
1 解答质疑引发思考
例1
已知椭圆C
的方程为直线l
的方程为y
=x
+m.
若直线l
与椭圆C
有公共点,求实数m
的取值范围.解
联立整理得7x
+8mx
+4(m
-3)=0(*). 因为椭圆C
与直线l
有公共点,所以(*)式有解,所以所以实数m
的取值范围为一次教研活动中有教师指出,上述解答中只能保证(*)式在(-∞,+∞)上有解,而题意的要求是(*)式在[-2,2]上有解.
2 溯源而上挖掘隐含
把(*)式7x
+8mx
+4(m
-3)=0溯源至再将变形为因为所以所以-2≤x
≤2.所以方程7x
+8mx
+4(m
-3)=0若有解,则解一定在[-2,2]内.3 提炼升华生成结论
刚才探究的实质是:方程组有解问题与方程有解问题是否等价.
下面探究一般的情形:方程组有解问题,与方程有解问题是否等价?
由得所以x
∈[-a
,a
].因此方程组有解问题,与方程=1有解问题等价.注意到代入消元没有改变被代入方程的结构,因而对于一般的二元方程组有如下结论:
结论1
方程组有解问题,与F
(x
,kx
+m
)=0有解问题等价.同理有:
结论2
方程组有解问题,与F
(py
+q
,y
)=0有解问题等价.例2
若2x
-2xy
+y
=1,求x
+2y
的最小值与最大值.分析 令x
+2y
=t
,则有解,所以2(t
-2y
)-2(t
-2y
)y
+y
=1即13y
-10ty
+2t
-1=0在y
∈R
上有解.此时无需限定13y
-10ty
+2t
-1=0在上有解(在2x
-2xy
+y
=1中,有略解 因为13y
-10ty
+2t
-1=0在y
∈R
上有解,所以Δ
=100t
-4×13×(2t
-1)≥0,解得所以x
+2y
的最小值为最大值为既然代入消元没有改变被代入方程的结构,因此在更一般的y
=f
(x
)(x
∈D
)与F
(x
,y
)=0组成的方程组中有如下结论:结论3
方程组有解问题,与F
(x
,f
(x
))=0在x
∈D
上有解问题等价.类似地,
结论4
方程组有解问题,与F
(g
(y
),y
)=0在y
∈E
上有解问题等价.例3
已知正数x
,y
满足求xy
的取值范围.解
令xy
=t
,则有解.所以即在(0,+∞)上有解.令因为f
(x
)的对称轴且f
(0)=3t
+2>0,要使在x
∈(0,+∞)有解,则解得所以xy
的取值范围为4 隐含对应一一兼顾
方程组有解问题转化为方程有解问题时,有时会出现意想不到的错误.
例4
若曲线C
:y
=2x
与曲线C
:(x
-m
)+y
=2有交点,求m
的取值范围.错解 因为两曲线有交点,所以有解,所以x
-2(m
-1)x
+m
-2=0有解,所以Δ
=4(m
-1)-4(m
-2)≥0,解得所以m
的取值范围为这个答案显然是错误的,当m
取较小负数时,两曲线处于相离状态,没有交点.那么,错误的根源是什么?如何避免这样的错误?下面先从简单事例入手进行探讨.在x
+y
=3与y
=2x
组成的方程组**)中,把y
=2x
代入x
+y
=3,得x
+2x
=3.解方程x
+2x
=3,得x
=1或x
=-3.可其中x
=-3不满足方程组**)比较x
+2x
=3与x
+y
=3会发现,方程x
+2x
=3中缺失方程组**)隐含的制约2x
=y
≥0.对方程x
+2x
=3加上制约x
≥0,则既保持着方程组(**)中x
+y
=3的结构,又保留了y
=2x
隐含的对x
的制约.同时还发现,的解x
=1,对应着**)中两组解或对刚才的例子进行一般化,有如下结论:
结论5
设y
=f
(x
)中隐含的x
取值范围为D
,y
=f
(x
)代入F
(x
,y
)=0得到的方程为u
(x
)=0,则是否有解与u
(x
)=0在x
∈D
上是否有解等价,且的解的组数等于u
(x
)=0(x
∈D
)每一个解代入得到的解组数之和.同理有:
结论6
设x
=f
(y
)中隐含的y
取值范围为E
,x
=f
(y
)代入F
(x
,y
)=0得到的方程为v
(y
)=0,则是否有解与v
(y
)=0在y
∈E
上是否有解等价,且解的组数等于v
(y
)=0(y
∈E
)每一个解代入得到的解组数之和.更一般地,有以下结论:
结论7
设A
(x
,y
)=0中隐含的x
取值范围为D
,A
(x
,y
)=0代入F
(x
,y
)=0得到的方程为u
(x
)=0,则是否有解与u
(x
)=0在x
∈D
上是否有解等价,且解的组数等于u
(x
)=0(x
∈D
)每一个解代入得到的解组数之和.结论8
设A
(x
,y
)=0中隐含的y
取值范围为E
,A
(x
,y
)=0代入F
(x
,y
)=0得到的方程为v
(y
)=0,则是否有解与v
(y
)=0在y
∈E
上是否有解等价,且解的组数等于v
(y
)=0(y
∈E
)每一个解代入得到的解组数之和.下面我们重新求解例4.
正解
因为两曲线有交点,所以有解,由结论5知(x
-m
)+2x
=2即x
-2(m
-1)x
+m
-2=0在x
∈[0,+∞)上有解.令f
(x
)=x
-2(m
-1)x
+m
-2,则f
(0)=m
-2≤0,或解得所以m
的取值范围为把例4改编为下面两道例题,体现推导出的结论的效力.
例5
若曲线C
:y
=2x
与曲线C
:(x
-m
)+y
=2有四个交点,求m
的取值范围.分析 方程x
-2(m
-1)x
+m
-2=0在x
∈[0,+∞)上每一个正解,对应着中两组解.要使有四组解,则x
-2(m
-1)x
+m
-2=0在x
∈[0,+∞)上有且仅有两个不同的正解.略解 令f
(x
)=x
-2(m
-1)x
+m
-2,则解得所以m
的取值范围为例6
已知曲线C
:y
+4y
=2x
与曲线C
:(x
-m
)+y
+4y
=2有且仅有两个公共点,求m
的取值范围.分析 由结论7知,方程组有且仅有两解等价于(x
-m
)+2x
=2即x
-2(m
-1)x
+m
-2=0在x
∈(-2,+∞)上有且仅有一解.(由y
+4y
=2x
⟹(y
+2)=2x
+4≥0⟹x
≥-2,但x
=-2时(y
+2)=0,不符题意中两个公共点的要求.)略解 令f
(x
)=x
-2(m
-1)x
+m
-2,则f
(-2)=m
+4m
-2<0或解得或所以m
的取值范围为5 一点说明
代入消元法是处理方程组最基本、最常用的办法.有些方程组尽管需要特殊技巧整理,但最终仍回归到代入消元法轨道上.至于更多元(二元以上)的方程组,可以在文中理念下等价转化为二元方程组,进而用文中结论求解.