基于范希尔理论的2021年浙江省中考数学几何试题分析*

李柏翰 唐恒钧

(浙江师范大学教师教育学院 321004)

中考是义务教育阶段的终结性考试，是全面衡量初中学生在学科学习方面是否达到初中学业水平的考试.几何学是研究空间结构及其关系的一门学科，在认识现实世界、培养逻辑推理能力、空间想象力等方面发挥着不可忽视的作用，同时有研究表明：中国的初中阶段教材比较重视“图形与几何”，图形与几何是中学数学知识体系中的重要内容；而国内对于几何试题的研究主要聚焦在几何试题的解题研究以及高中阶段的解析几何与立体几何，对于义务教育阶段几何试题的研究却相对较少.另外，对于试题的研究比较多集中在难度、知识维度、知识广度等一系列客观层面，很少涉及学生的思维发展层面.教育部在《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中指出试题命制要注重考查思维过程，因此有必要对中考数学中的几何试题进行思维水平的分析，明确中考几何试题要求的几何思维水平，为中学数学教学提供良好的导向.

中考数学几何试题的考查反映了教育行政部门和课程标准对于初中学生几何思维水平的要求.本文基于范希尔几何思维水平理论，研究2021年浙江中考数学几何试题，探讨几何试题背后的思维水平处于哪一层次、每一思维水平的试题是如何考的、有什么样的特点.

1 范希尔几何思维水平理论与相关研究

范希尔几何思维水平理论是范希尔夫妇通过长期教学实践总结的理论成果，该理论最早发表在他们共同完成的博士论文之中.而后，范希尔理论得到苏联、美国等国的广泛关注，成为刻画几何思维的重要理论基础.本文引用文[4]中关于范希尔理论的描述，几何思维分为5个水平：视觉、分析、非形式化的演绎、形式化的演绎和严密性.这些不同的水平之间具有顺序性，即学生思维水平的发展是从低到高的，学生必须到达前一个水平才能通过教育跨越进入后一个水平.

国外对于范希尔理论的研究起步比较早，如Whitman基于范希尔理论对日美两国几何教材进行比较分析，Fuys对美国三套数学教材进行比较研究，Usiskin编制了测量中学生几何思维水平的测试题.而国内对范希尔理论的研究相对较少，且比较集中在课程教材比较分析和评价学生思维水平，如文[6]对137位在职教师的几何思维水平进行了测试，文[7]对中美几何教材中的“相似”内容进行比较研究.

中考几何试题的编制是以义务教育课程标准为依据，反映了义务教育课程标准对于学生几何思维发展的要求.有研究表明：范希尔理论虽然产生于西方，但是在东方文化下范希尔理论仍然有效.因此，可以将范希尔理论作为本文研究的理论依据.

2 研究方法

本研究对浙江省2021年11个地级市的10份中考数学试题(其中嘉兴舟山同卷)中的几何内容进行分析与讨论，涉及内容包括《义务教育数学课程标准(2011年版)》中第三学段“图形与几何”的图形的性质、图形的变化以及图形与坐标.这里，我们将范希尔几何思维的5个水平(视觉、分析、非形式化的演绎、形式化的演绎和严密性)分别记为水平1～5.本文将范希尔理论具体化，给出中考几何试题的范希尔几何思维水平量化表.具体如表1所示.

表1 范希尔几何思维水平量化表

几何思维水平对于学生的要求水平1能够识别基本的图形,了解构成图形的基本要素,能够画基本的图形和模仿画图水平2能够分析图形的基本特征,了解图形的定义,分析图形之间的异同,能进行简单的图形数量计算水平3能够理解图形性质之间的关联,有能力运用图形的性质解决相关几何问题水平4能够用演绎推理的形式证明几何问题,能够解决需要较强推理能力和计算能力的几何问题,有能力根据已有的知识对陌生或情况多样的几何问题进行分析水平5能够在新定义的几何试题背景下,严谨地证明或解决数学问题

本文对浙江省10套中考数学试卷中的几何试题进行统计分析，统计几何知识考查的比重，(试卷中几何试题的分值占试卷总分的比值)、各个思维水平所占的分值以及各个思维水平分值占几何试题分值的比重.值得说明的是，如果某些试题(如解答题)的设置是一题多问的，则该试题按照小题进行统计，相应的分值参考教育部门发布的中考数学参考答案中分配的分值.

在上述统计结果的基础上，本文依据义务教育数学课程标准将几何试题的知识领域分为点线面角、相交线与平行线、三角形、四边形、圆、尺规作图、定义命题定理、图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移、图形的相似、图形的投影、坐标与图形位置、坐标与图形运动这14个知识领域.对每一层思维水平的几何试题所涉及的知识领域进行统计，并统计每一层思维水平下每一知识领域在全省10份试卷中的覆盖率.

3 研究结果与分析

3.1 试题的几何思维水平

表2给出了浙江省2021年各地区中考数学几何试题5个思维水平的比重.统计各地区几何思维比重的平均值可以发现，浙江省2021年中考数学几何试题的思维水平考查最多的是水平3(54.9%)，其次是水平4(23.6%).水平2的试题分值比重达到21.5%，没有考查水平1和水平5的试题.这说明浙江省各地区的中考数学几何试题更多是考查水平3和水平4的试题，尤其是水平3，这可能是因为义务教育课程标准指出：在数学课程中，应当注重发展学生的几何直观和推理能力.

表2 浙江省各地区几何试题5个思维水平比重

各水平比重/%杭州宁波温州绍兴湖州嘉兴舟山金华衢州台州丽水平均水平100000000000水平219.62517.35.312.126.530.921.833.323.421.5水平366.140.6526456.94750.9605457.454.9水平414.334.430.730.73126.518.218.212.719.223.6水平500000000000

3.2 几何试题的知识领域

基于上述分析，笔者将从水平2、水平3、水平4分别对几何试题的知识领域进行分析，具体分析结果如下.

(1)思维水平2

从表3可以看出思维水平2的试题所考查的知识领域包括相交线与平行线、三角形、矩形、圆、尺规作图、图形的旋转、图形的相似以及图形的投影.其中“图形的投影”覆盖率最高(70%)，考查的具体内容主要为“判断简单物体的视图”，并以选择题的形式出现.“图形的相似”覆盖率达到30%，考查的具体内容主要是“认识锐角三角函数”，考查学生是否掌握“锐角三角函数的定义”.“尺规作图”“图形的旋转”覆盖率均为20%，考查的具体内容主要是“了解中心对称图形的概念”，并以选择题和作图题的形式出现.另外，剩余的主要通过选择题的形式考查相关的定义.总体来看，思维水平2的试题考查形式最多的是选择题，考查内容最多的是物体的三视图，试题的设置主要考查学生对相关定义的掌握程度.

表3 思维水平2试题各知识领域覆盖率

知识领域相交线与平行线三角形圆尺规作图图形的旋转图形的相似图形的投影覆盖率/%10406020203070

(2)思维水平3

表4给出了思维水平3的试题所考查知识领域的情况，考查最多的为相交线与平行线、三角形、四边形和圆，覆盖率分别为90%,100%,90%和80%，在选择题、填空题、解答题中均有涉及.相交线与平行线知识领域主要考查平行线的判定与性质；三角形知识领域考查的具体内容主要包括全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质与勾股定理以及三角形三线的性质；四边形知识领域考查的具体内容主要包括平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定与性质以及三角形中位线定理；圆知识领域考查的具体内容主要包括圆周角定理及其推论以及垂径定理.图形的相似覆盖率为60%，考查的内容主要为相似三角形的判定与性质.另外，图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移经常作为题目的载体，例如某某图形沿着某条边翻折.从以上分析可以看出，思维水平3的试题更侧重考查一些特殊图形(平行线、特殊三角形、特殊四边形、圆)的判定与性质.

表4 思维水平3试题各知识领域覆盖率

知识领域相交线与平行线三角形四边形圆尺规作图图形的轴对称覆盖率/%9010090804020知识领域图形的旋转图形的平移图形的相似坐标与图形位置坐标与图形运动覆盖率/%1020604010

(3)思维水平4

表5给出了思维水平4及以上试题所考查知识领域的情况.思维水平4及以上的试题通常出现在选择题、填空题和解答题的压轴题，考查最多的为三角形、四边形和图形的相似，覆盖率均为100%.三角形知识领域考查的具体内容主要包括全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质与勾股定理以及三角形三线的性质；四边形知识领域考查的具体内容主要包括平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定与性质以及三角形中位线定理；图形的相似知识领域考查的具体内容主要包括相似三角形的判定与性质.图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移也同样作为题目的载体.思维水平4及以上的试题更侧重考查一些特殊的图形(特殊三角形、特殊四边形、相似三角形)的判定与性质，这些题目的解决有些需要作辅助线，有些需要多次使用特殊图形的判定与性质，具有一定的难度.

表5 思维水平4及以上试题思维水平各知识领域覆盖率

知识领域相交线与平行线三角形四边形圆图形的轴对称覆盖率/%501001006060知识领域图形的旋转图形的平移图形的相似坐标与图形位置坐标与图形运动覆盖率/%20101001010

4 启示

分析了2021年浙江地区中考数学几何试题发现，浙江各地区都比较重视对几何知识的考查，并且考查的几何试题的思维水平主要在水平3，其次是水平4.水平2的试题主要考查学生对相关定义的掌握程度，水平3的试题更侧重考查一些特殊图形(平行线、特殊三角形、特殊四边形、圆)的判定与性质，水平4的试题更侧重考查一些特殊图形(特殊三角形、特殊四边形、相似三角形)的判定与性质.基于上述研究分析，教师在教学中应该特别关注以下两个方面.

一方面需要注重学生思维过程的经历.浙江2021年中考数学几何试题水平3及以上的分值比重接近80%，这需要教师在教学过程中关注学生的思维过程，而不是停留在“知其然而不知其所以然”“填鸭式教育”的阶段.教师需要正确认识学生的学习状态，对缺乏思考的环节进行追问，对思考不正确的环节进行诘问，帮助学生形成完善、清晰的思维图式.

举例而言，在“探索勾股定理”这一节教学中，学生在方格纸上验证直角三角形三边的平方有什么关系.直角三角形的两条直角边记为

a

和

b

，斜边为

c

，大部分学生都能想到以直角三角形的三边向外作三个正方形，分别记为

A

,

B

,

C

.对于正方形

A

和

B

的面积，学生是比较容易求的，但是正方形

C

的面积是需要学生思考的.部分学生可能已经预习过这一节的内容，很快用割补法或填充法计算出正方形

C

的面积，其实这里学生的思维过程是不够完整的.教师需要对学生进行追问：“为什么你能想到这个方法？”或者“这个方法可行吗？理由是什么?”经过教师的提问，学生会对自己的思维过程进行反思，会意识到通过割补或者填充可以把正方形

C

的面积转化成求1个正方形和4个直角三角形的面积，而求1个正方形和4个直角三角形的面积是在学生的知识容量之内.同时也会意识到割补法或填充法可行的理由是4个直角三角形是全等的.经过以上教学过程，学生对勾股定理的认识自然就更加深刻了.

另一方面，设计有效题组练习加以支撑.学生学习的过程是学科知识的建构以及思维水平的提高，在这个过程中不仅仅需要教师精心准备新课的教学，还需要有效的题组练习.教师在例题和习题的选择上要精心地设计题组练习，为学生的思维发展创造条件.题组练习的设置可以考虑多题一用、多题一解、一题多解、一题多变等形式.多题一用可以让学生理解题目的本质，培养思维的准确性；多题一解可以让学生揭开看似不同试题的“外表”，培养思维的深刻性；一题多解可以让学生从不同的思维角度去思考问题，有效地避免题海战术，培养思维的发散性；一题多变可以针对一个核心问题变换题目的条件、结论和表达形式以得到一系列题目，学生可以在一题多变的练习中培养思维的广阔性.

总之，分析2021年浙江省中考数学几何试题，可以发现浙江省比较重视几何试题的考查，考查的思维水平更偏向较高的思维水平.同时水平3及以上思维水平的试题更侧重考查学生对一些特殊图形的判定与性质的掌握情况.教师需要在教学实践中关注学生的思维过程，通过合理的方式促进学生几何思维水平的发展.