一类二元最值问题的解法探究

孟伟业

(江苏省扬州大学附属中学 225009)

二元最值问题是指含有两个变量、以求解最大值或最小值为目标的一类数学问题.本文对以为约束条件的二元最值问题进行探究，以两道具体的二元最值问题为例，寻求解决这类问题的方法.

1 问题呈现

问题1

(2018年南通密卷一第13题)已知则的最小值是

.

问题2

(2019届如皋2.5模第13题)已知正数

x

,

y

满足则的最小值为

.

2 分析求解

运用基本不等式求解多元最值的问题中，有一类重要的问题就是“已知

ax

+

by

=

c

，求的最小值(其中

a

,

b

,

c

,

m

,

n

均为正的常数)(*)”.考虑到

x

与与的相对性，这类问题也可以变形为：已知求

mx

+

ny

的最小值；已知求的最小值；已知求的最小值.对于这一类问题，我们常用“1”的代换，问题(*)可用乘“1”的方法加以解决，即当且仅当时，取“=”.

问题1的约束条件是这正是(*)中“条件”和“目标”的和式的结构，本题所求的目标出现在约束条件中，于是约束条件可以“重组”为而当且仅当时，取“=”.于是问题1的解答如下：

设则

a

+

b

=10.因为当且仅当时取“=”)，所以

a

(10-

a

)≥16，解得2≤

a

≤8，所以的最小值是2.

问题2的约束条件是目标是“求的最小值”，所求目标并未出现在条件中，即使“配凑”得到也无法借鉴问题1中的方法加以解决.但我们可以在目标中加上一个“0”，可以得到的结构，这样利用两次基本不等式也可以研究最值，于是问题2的解答如下：

当且仅当时取等号，且满足条件.

3 深入探究

问题2的解答让人感觉非常巧妙，一切很和谐.从结构上看，问题2和问题1差不多，约束条件均是的结构，前面我们得出问题1的答案是2.下面我们尝试用问题2的方法解答问题1，即有当且仅当时，取“=”.但此时故这一方法失效.但是也给我们启发，这里失效的原因是最后不能取等号，那么能否用待定系数法求出具体的系数，让等号能够取到呢？

下面用待定系数法尝试解答问题当且仅当时，取“=”.

要使得等号成立的

λ

是多少呢？“回代”到原来的条件，得即即由

λ

>0，解得即所以故的最小值为2.

4 揭示本质

在高等数学中，对于约束条件为

φ

(

x

,

y

)=0的二元函数

z

=

f

(

x

,

y

)求极值问题，可运用拉格朗日乘数法，先作拉格朗日函数

F

(

x

,

y

)=

f

(

x

,

y

)+

λφ

(

x

,

y

)，其中

λ

为拉格朗日常数，则由方程组解出

x

,

y

及

λ

，其中(

x

,

y

)就是函数

z

=

f

(

x

,

y

)在约束条件

φ

(

x

,

y

)=0下的可能极值点，进一步即可求出

z

=

f

(

x

,

y

)的最值.用待定系数法求解问题1，表面上加了“

λ

·0”，实际是构造了拉格朗日函数整理得根据结构特征，运用两次基本不等式，将取等的条件再代入约束条件

φ

(

x

,

y

)=0，求出进而求出的最小值为2.问题2实际是取

λ

=1，构造了拉格朗日函数整理得根据结构特征，运用两次基本不等式，取等的条件恰好满足条件

φ

(

x

,

y

)=0.根据上述的分析，虽然都是构造“拉格朗日函数”，但由于整理后为(

a

,

b

,

c

,

d

∈(0,+∞))”的形式，所以并未采用高等数学中的求偏导数的方法，而是运用基本不等式进行求解.

5 方法归纳

解决“约束条件为求或的最小值”这类问题时，若采用构造“拉格朗日函数”，在满足基本不等式成立的条件下(

a

,

b

,

c

,

d

,

m

,

n

不一定要全为正数)，运用基本不等式即可使得问题求解.但事实上，根据取等条件，反求待定的

λ

值不是一件容易的事情(常用观察法确定

λ

的值).但是根据前面的分析求解、深入探究以及揭示本质，我们可以进一步归纳这类问题的解法：①所求的目标在条件中出现时，可以利用求出

X

或

Y

的最值(如或等)；②在①的研究中，计算

XY

时，可能出现形如

xy

或等结构，我们可以由解得或的范围，类似地，也可以由解得

xy

的范围；

③所求的目标形如或时，无论是否出现在约束条件中，均可用构造“拉格朗日函数”的方法，在符合基本不等式应用的条件下，利用基本不等式求解.