一道IMO42不等式试题的探讨
2022-11-14冯光文云南省昭通市第一中学657000
冯光文 (云南省昭通市第一中学 657000)
本文从一道IMO42不等式试题说起，谈谈如何运用多种方法进行证明，并通过迁移和变通解决新问题，看清问题的源与流．
问题1
(2001年IMO42试题)对所有的正实数a
,b
,c
，证明：分析 观察待证不等式的结构：该不等式一是分式型并且带有根号，二是轮换对称，三是分子的次数高于分母的次数．由于不等式右边是具体的常数，这说明需要对左边含有a
,b
,c
的式子的分子与分母进行约分．约去何种数式？这需要对左边的式子进行合理的处理．文[1]采用待定系数法证明类似地证明另外两个式子，三个不等式相加即可证明．本文利用柯西不等式和权方和不等式给出另两种证法.
证法1
首先由柯西不等式易得再由柯西不等式得于是从而只要证(a
+b
+c
)≥a
+b
+c
+24abc
．(*)因为所以(*)式成立，从而原不等式成立．
评注
证法1两次运用柯西不等式，通过不等式的放缩进行转化，利用差值比较法以及n
元均值不等式实现证明．证法2
将待证不等式左边变形为即利用权方和不等式可得下同证法1．还有其他的变形方法，留给读者思考．
评注
证法2中的思想是通过将原不等式的分子分母分别同乘从而构造权方和不等式的模型，利用权方和不等式及n
元均值不等式证明．问题2
(《数学通报》2003年第5期1435号问题)已知a
,b
>0，求证：≥1． ①与问题1相比，待证式中字母变少了，但所证结构却一样，属于问题1的同源题．注意到所以可采用问题1中的方法2来证明：
评注
本题也可用待定系数法或柯西不等式来证，读者不妨一试．由于问题2结构简单，因此还可通过去分母来处理：两边平方整理得故原不等式成立．《数学通讯》2011年第11、12期78题：已知a
,b
为正实数，求证：②与问题2如出一辙，可用问题2的方法对其进行证明．文[3]中对②式用了五种方法证明，其本质上还是待定系数、去分母转化等．有些资料中有如下的问题：
已知a
,b
为正实数，求证：③；④．通过对比观察发现：不等式①与不等式③④根号中系数不同，因而结果是不同的，一个是不等式的下界，一个是不等式的上界，不同的系数导致其结论不同．抓住这个特性，文[4]将之推广为“已知a
,b
为正实数，λ
≥3，求证：并用较为繁琐的方法对其进行了证明，实则用权方和不等式证明更容易．对于不等式的上界与下界，文[5]中有如下的问题：设a
,b
>0，求证：此不等式可以构造函数利用导数证明，还可以去分母，通过等价变形进行证明．问题3
(2007年台湾地区竞赛题)设a
,b
,c
为正实数，证明：分析 与问题1对比发现，其结构一样，只不过分母根号内的系数由8变为9，这导致了两个不等式的下界不同．问题1有多种思考策略，本题亦如此，当然可以利用权方和不等式来证．
证明
即证由均值不等式可得a
+b
+c
+30(a
b
+ab
+a
c
+ac
+b
c
+bc
)-183abc
≥3abc
+30·6abc
-183abc
=0(上述所有不等式均在a
=b
=c
时取等号)，所以原不等式成立．2013年《数学通讯》第1、2期问题征解125题：设a
,b
,c
为正实数，且a
+b
+c
=1，求证：不难发现与问题1不同的是增设了一个条件a
+b
+c
=1，其他是一样的，可沿用问题1的方法解决，留给读者思考．我们还可以将上面的问题推广到下面的问题4．问题4
设a
,b
,c
为正实数，λ
≥8，求证：证明
即证+b
+c
+3λabc
)⟺(λ
-8)(a
+b
+c
)+3(1+λ
)(a
b
+ab
+a
c
+ac
+b
c
+bc
)+(6-21λ
)abc
≥0(** )．由均值不等式知a
+b
+c
≥3abc
，a
b
+ab
+a
c
+ac
+b
c
+bc
≥6abc
，从而(** )式左端≥3(λ
-8)abc
+18(1+λ
)abc
+(6-21λ
)abc
=0，且上述不等式均在a
=b
=c
时取等号，从而原不等式成立．问题5
(2004年波兰数学奥林匹克试题)设a
,b
,c
,d
是正实数，证明：分析 显然该不等式是对上面所讨论不等式的拓展，其结构与问题1～4类似，在文[1]中还是利用待定系数法对其进行证明．我们仍用权方和不等式进行证明．
证明
原不等式左边即证因为(a
+b
+c
+d
)=[(a
+b
+c
+d
)]=(a
+b
+c
+d
)+2(a
+b
+c
+d
)(2ab
+2ac
+2ad
+2bc
+2bd
+2cd
)+(2ab
+2ac
+2ad
+ 2bc
+2bd
+2cd
)，且+2ac
+2ad
+2bc
+2bd
+2cd
)，于是有(a
+b
+c
+d
)≥且上述不等式均在a
=b
=c
=d
时取等号，故原不等式成立．问题1～5探讨了同源问题的来龙去脉，利用权方和不等式统一证明了这一系列的问题，同时还对其进行推广，获得了相应的结论．数学解题的核心素养就在于学会“观、思、变、论、推、创”，这样才学得灵活，学得透彻，学得富有新意．
