两有限热源间的不可逆磁Ericsson制冷循环的优化分析

叶兴梅，张丽敏，方玉宏，陈景东

(闽南师范大学物理与信息工程学院，福建 漳州 363000)

0 引言

磁制冷是一种先进制冷技术，具有高效节能、绿色环保和结构紧凑等优越特性[1-2]，因而关于磁制冷的研究成为低温技术领域非常活跃的一个课题。磁Ericsson制冷循环因其制冷温区宽、易控制等优点备受青睐。一些学者应用有限时间热力学理论对其进行研究，得到一些有意义的结论。例如，严子浚和杨惠山[3-4]研究热阻、非理想回热和回热时间对磁Ericsson制冷机性能的影响，导出Ericsson制冷循环的基本优化关系。张燕燕[5]研究了一般传热规律下的磁Ericsson制冷机的优化性能，探讨热阻和非理想回热对一类磁Ericsson制冷机的影响。袁都奇[6]建立了受热漏、热阻及回热损失等主要不可逆因素影响的顺磁质Ericsson 制冷循环模型，分析各种不可逆性对Ericsson制冷循环性能影响的本质差异。庄小玲等[7]应用Langevin函数的近似式以及热力学分析方法，揭示有限速率热传导、不平衡回热、回热器效率及热漏等对铁磁Ericsson制冷循环性能的影响。徐志超等[8]据朗之万理论导出铁磁材料的磁化强度和熵表式，揭示有限热源、回热器效率、外磁场强度等参量对磁Ericsson制冷循环热经济及相应的热力学性能的定量影响。XIA等[9]探讨了热阻、非理想回热、回热器损失、热漏及工质内部不可逆耗散等对磁Ericsson制冷循环性能的影响。YE等[10]建立了受外部热源有限热容、热阻、固有回热损失、附加回热损失和工质内不可逆等影响的磁Ericsson 制冷循环模型，导出制冷率和制冷系数及制冷率与输入功率间的优化关系。在磁Ericsson制冷循环的进一步研究中，有必要更全面地考虑各种不可逆因素对制冷机性能的影响。为此，本文建立以满足居里定律的顺磁质为工质的Ericsson制冷循环新模型，综合考虑热源热容量有限、热阻、非理想回热、回热器损失、热漏及工质内不可逆性等不可逆因素，分析各种不可逆因素对制冷循环制冷率和制冷系数的影响。

1 顺磁材料的主要热力学性质

理想顺磁质的磁化强度M可用布里渊函数BJ(x)表示，即

M=ngμBJBJ(x),x=gμBJH/(kT)，

(1)

其中，n为单位体积顺磁质的原子或离子数，g为朗德因子，μB为玻尔磁子，J为角动量量子数，H为磁场强度，k为玻耳兹曼常数，T为绝对温度。

当x≪1时，布里渊函数为

(2)

在这种情况下，(1)式可简化为

(3)

(3)式就是熟知的居里定律，其中，C为居里常数。

根据(3)式并忽略顺磁质的体积变化，应用顺磁质的热力学基本方程可推出满足居里定律的顺磁质的熵为

(4)

其中，S0(T)仅是温度的函数，μ0为真空磁导率。

再由(4)式可得，顺磁盐的等磁化强度热容CM仅是温度的函数，而等磁场强度热容

(5)

不仅是温度T的函数，还与磁场强度H相关。

许多顺磁盐在温度低于1 K时居里定律还相当准确，甚至有些在0.01 K以下时仍可适用[3]，而磁Ericsson制冷循环大多用于20 K以上的温区。所以本文基于居里定律对顺磁质Ericsson制冷循环进行优化分析，所得到的结论具有较大的适用范围。

2 不可逆磁Ericsson制冷循环

不可逆磁Ericsson制冷循环模型如图1所示，工质进行两个等温和两个等磁场强度过程。

图1 不可逆磁Ericsson制冷循环T-H图

在图1中，过程a→b表示温度为T1的等温磁化过程，磁场强度由H1升到H2，同时工质放出热量Q1致使变温高温热源的温度从TH1上升到TH2；过程b→c表示H=H2的等磁场强度过程，温度由T1降至T2，并向回热器放出热量Qbc；过程c→d表示温度为T2的等温去磁过程，磁场强度由H2降至H1，在此过程工质吸收热量Q2使得变温低温热源的温度从TL1下降到TL2；过程d→a表示H=H1的等磁场强度过程，温度由T2升到T1，并从回热器吸收热量Qda。根据对数平均温差法[10-11]，则有

(6)

(7)

本文的磁Ericsson制冷循环以遵从居里定律的顺磁盐为工质，则由(4)(5)式得到的工质与高、低温热源及回热器交换的热量可分别表示为

(8)

(9)

(10)

(11)

由于H2>H1，从(10)(11)式可知，Qbc>Qda，即回热器吸收的热量大于从回热器放出的热量，因此以单一顺磁盐为工质的Ericsson制冷循环不具有理想回热的条件[3]。由于回热器经一循环后要恢复原状，否则无法维持正常的工作。因此，回热器中多余的热量

(12)

必须及时地释放到低温热源去，这样就造成了非理想回热。

由于有限速率热交换，回热器的回热损失不能忽视，假设由此引起的附加回热损失正比于非理想回热Qr，即可表示为

ΔQr=(1-ηr)Qr,

(13)

其中，ηr为回热器的回热效率，ηr≤1。

回热过程也需要一定的时间，设两个等磁场过程进行的时间为[10]

(14)

其中，γ为与温度无关的常数。

考虑到高低温热源之间存在热漏，假设每循环从高温热源到低温热源的热漏损失为[6]

QL=qlτ,

(15)

其中，ql为热漏率；τ为循环周期，τ=t1+t2+t3+t4。

进一步，考虑到磁工质在制冷循环过程中不可避免地存在涡流等耗散，使得工质内部存在不可逆性，为了定量描述这种内不可逆性，引入内不可逆因子：

(16)

3 制冷率和制冷系数的数学表达式

联立(6)至(16)式，可求得每循环的净放热量和净制冷量为

QH=Q1-ΔQr-QL,

(17)

QC=Q2I-1-ΔQr-Qr-QL.

(18)

进而得到制冷率和制冷系数表达式分别为

(19)

(20)

其中，y为两等温过程的温度比，

将(19)式代入极值条件∂R/∂T2=0可求得

T2=(bTH1+TL1)/(1+by),

(21)

再将(21)式代入(19)(20)式，可得到制冷率和制冷系数数学表达式分别为

R=kHTL1(yI-1-A1(y-1))((1+by)2/(y-TH1/TL1)+B(y-1))-1-ql,

(22)

(23)

其中，B=kHA2TL1。

利用(22)(23)式，可进一步定量分析回热效率、内不可逆因子、磁场强度、热漏率以及高、低温端热交换因子对不可逆磁Ericsson制冷循环性能参数的影响。

4 讨论

4.1 优化的工作区域

I=1.05；ηr=0.95；εH=εL=0.9；ql/(CLTL1)=0.000 5；B=10。图2 温度比对制冷率和制冷系数的影响

4.2 高、低温端热交换器有效因子对循环性能的影响

I=1.05；ηr=0.95；ql/(CLTL1)=0.000 5；B=10。图3 高、低温端热交换有效因子对R*～ε曲线的影响

表1 高、低温端热交换有效因子对制冷机4个重要性能参数的影响

4.3 内不可逆因子和回热器效率对循环性能的影响

εH=εL=0.9；ql/(CLTL1)=0.000 5；B=10。图4 内不可逆因子和回热器效率对R*～ε曲线的影响

表2 内不可逆因子和回热器效率对制冷机4个重要性能参数的影响

4.4 热漏对循环性能的影响

εH=εL=0.9；I=1.05；ηr=0.95；B=10。图5 热漏对R*～ε曲线的影响

4.5 磁场强度比对循环性能的影响

εH=εL=0.9；I=1.05；ηr=0.95；ql/(CLTL1)=0.000 5；4μ0γkHTL1/C=120 T2；μ0H1=2 T。图6 磁场强度比对R*～ε曲线的影响

4.6 特例

当外部热源的热容量为无限大，且忽略内不可逆性和热漏时，即当CH,CL→∞，I=1，ql=0，由(22)(23)可得：

(24)

5 结语

本文建立了包含有限热源、热阻、非理想回热、回热器损失、工质内不可逆性和热漏等不可逆因素在内的磁Ericsson制冷循环，应用对数平均温差法和最优控制理论，导出了制冷率和制冷系数的具体表达式。通过数值算例和图形详细分析了高、低温端热交换器的有效因子、内不可逆性和回热器效率、热漏率和磁场强度比对磁Ericsson制冷循环性能的影响。研究结果表明，磁Ericsson制冷循环的制冷率和制冷系数随着高、低温端热交换器有效因子的增大而增大，制冷率的增幅大于制冷系数；当内不可逆因子增大或回热器效率降低时，制冷率和制冷系数都显著减小；当热漏不为零时，制冷率与制冷系数之间的优化关系曲线为扭叶形，热漏增大，最大制冷系数所对应的无量纲制冷率增大，而其他三个性能参数随之减小；当磁场强度H1给定，磁场强度比越大，循环优化区域越宽。综上所述，尽可能提高回热器效率和磁场强度比以及高、低温热交换有效因子，减小内不可逆因子和热漏对不可逆磁Ericsson循环性能是大有益处的。