高中数学“学科育人”的五个维度——以“导数在函数单调性中的应用”教学为例

广西南宁市第三中学（530021）王学建

教育部于2017 年8 月17 日发布的《中小学德育工作指南》，要求将育人目标细化落实到各学科课程的教学目标之中，渗透到教学全过程。数学学科具有高度抽象、逻辑严密、广泛应用的显著特点，对培养学生解决问题的态度、方法、能力有很大的帮助。数学教学有助于学生树立勇于创新、求真求实的思想品质。数学教学在学科育人中发挥着重要的作用。本文以“导数在函数单调性中的应用”的教学为例，从知识、技能、活动、思想、生活五个维度阐述高中数学“学科育人”的实施途径。

一、教学设计

（一）新课引入

师：在本章的前两节中，大家学习了导数的概念和运算，知道了导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化。大家能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？

师：观察视频中佩奇家汽车的灯光变化（如图1），你有什么发现？

图1

问题1：能不能从这个动画中看出数学问题？试抽象出数学模型。

分析：汽车灯光的方向在汽车行进过程中发生变化，引导学生利用这一常见的生活现象抽象出数学问题，即将行进路线抽象为函数的图像，将光线抽象为函数的切线，将山坡抽象为函数y=f(x)在某区间D上的图像，将汽车抽象为图像上一点，将汽车的灯光抽象的过这一点的切线（如图2）。

图2

问题2：当汽车在行进的过程中，灯光的变化对应的函数具有怎样的性质？

引导学生利用图表提取关键信息，将生活实际与数学问题对应，完成数学建模过程（如图3）。

图3

设计意图：这节课的教学难点在于将导数与函数的单调性联系起来，并抽象出两者的关系。借助生活中常见的实例，引导学生抽象出数学知识，不仅能顺利引出课题，激发学生的学习兴趣，培养学生的“数学抽象”核心素养，还能渗透数学建模的基本思想，体现“生活育人”的重要作用。

（二）概念形成

问题3：导数与函数的单调性有什么联系？

拖动点M，观察点M在增区间和减区间上运动时切线斜率的变化情况（如图4）。

图4

引导学生得出以下结论。

函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下关系：

在某个区间（a，b）上，如果f′(x)＞0，那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；

在某个区间（a，b）上，如果f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减。

设计意图：引导学生从实际可操作的“形”出发，着眼于导数与函数单调性之间的联系，历经实际观察、大胆猜想、细致归纳、严格证明等过程，体验数学知识的产生、发展过程，提炼出一般性结论，从而使学生真正成为“育人”对象。

（三）概念深化

问题4：将生活实际抽象为一个数学问题是了解数学知识的常用方法。刚才通过观察与分析，大家得出了结论。那么，这个结论是否具有一般性，如何探究结论是否正确？

分析：函数的单调性是“形”上的特性，要想验证结论最直接的方法是另外找几个函数来分析，更精确的方法是从“数”的角度，结合导数和函数单调性之间的联系来推导。

活动一：请同学们研究学过的函数，然后与小组同学讨论总结出导数与函数单调性之间的联系，验证前面的猜想，并填写表1。

表1

启示：从特殊到一般，再从一般到特殊，是认识事物的基本规律，也是重要的数学思想方法。

活动二：从导数和函数的单调性的定义出发，进行小组探究。

分析：函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增，等价于∀x1,x2∈(a,b),f(x)在x1与x2之间函数的平均变化率恒为正，即∀x1,x2∈(a,b)，恒有该式的几何意义是经过点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))的割线AB的斜率。

因为f(x)在区间（a，b）上处处有导数，所以函数y=f(x)的图像在区间（a，b）上处处有切线。∀x1,x2∈(a,b)，不妨设x1＜x2，当x在区间(x1,x2)上从左端点x1变化到右端点x2时，函数图像的切线也会随着变化。从直观上看，能找到一点T(x0,f(x0))，使函数y=f(x)的图像在点T处的切线与直线AB平行。因此，存在x0∈(x1,x2)，使得从而函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增。

问题5：如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性？

分析：如果在某个区间I上恒有f′(x)=0，那么对于区间I上任意一点x0，函数y=f(x)的图像在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为0，从而函数图像在该点处的切线平行于x轴，在(x0,f(x0))附近几乎没有升降。因为x0是区间I上任意一点，所以函数y=f(x)的图像在任意一点(x0,f(x0))，x0∈I附近几乎没有升降，从而函数y=f(x)在区间I上为常数函数，即f(x)=c（c为常数）。

设计意图：引导学生结合已学过的函数，验证猜想的正确性，加深对结论内涵的理解。利用函数单调性的定义给出严格的证明，既体现了数形结合思想，又突出了数学学科的严谨性。在这个环节中，合作探究是重要的教学手段，契合“活动育人”的要求。

（四）应用探索

［例1］利用导数判断下列函数的单调性。

（1）f(x)=x3+3x；

（2）f(x)=sinx-x,x∈(0,π)；

（3）f(x)=

（4）f(x)=ex-x。

活动：用几何画板画出这四个函数的图像，观察、验证得到的结论。

图5

图6

图7

图8

一般情况下，可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性。

第一步，确定函数的定义域。

第二步，求出导数f′(x)的零点。

第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性。

［例2］已知导函数f′(x)的下列信息。

当1＜x＜4时，f′(x)＞0；

当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；

当x=1或x=4时，f′(x)=0。

试画出函数f(x)图像的大致形状。

活动：在同一坐标系中同时画出f(x)与f′(x)的图像（如图9），并进行比较。

图9

设计意图：例1 利用导数法判断函数的单调性，并画出图像检验，规范了利用导数研究函数单调性的步骤。例2 结合图像展现原函数与导函数的关系，体现出用导数法研究函数单调性的优越性。这两个例题重点引导学生用导数法解决函数的单调性的问题，深化学生对结论的理解。

（五）归纳总结

问题6：通过本节课的学习，你有哪些感想？具体学到了什么？为什么有这样的结论？应该如何应用这些结论？

教师小结：

1.本节课从曲线切线斜率与函数单调性的联系入手，研究了导数与函数的单调性的关系。在某个区间（a，b）上，如果f′(x)＞0，那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；在某个区间（a，b）上，如果f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减。

2.可以通过导数f′(x)的正负判断函数f(x)的单调性以及确定其单调区间。

3.通过由“形”到“数”、由“数”到“形”的数学建模过程，展现“数形结合”这一重要数学思想。

设计意图：培养学生总结反思的良好习惯，升华本节课的教学内容；让学生通过自我评价来获得成就感，培养学习的兴趣与信心。

二、教学评析

“育人”是教育的最终目标，是教师的职责，也是课堂教学的价值所在。本节课的各个环节充分凸显了以提高学科核心素养为使命的育人取向。

（一）知识育人——传授学科知识，使学生形成学科语言

学科教学最基本的任务是传授学科知识，导数既是中学数学的重要知识，又是高等数学的基本概念，还是研究函数的重要工具，更是研究其他自然科学的法宝。

通过必修一的学习，学生了解了函数单调性的定义，能借助函数图像和函数单调性的定义来研究函数的单调性，同时发现某些较复杂的函数难以从图像和定义得到单调性。

本节课从生活实际出发，通过观察发现函数的单调性与函数图像的切线斜率有关，抽象出导数与函数的单调性有关。从生活实际问题中抽象出的“导数与函数的单调性有什么联系？”解决了“为什么要学习本节内容”的问题，激发了学生求知的主动性和自觉性。

本节课基于导数的定义和几何意义提出了新问题，以引导学生利用已掌握的知识来研究新的问题，并为后面教学函数的极值、最值做了铺垫。教师的安排让知识之间建立了联系，让学科知识有了前后依托，为学生形成学科语言提供了基础条件。

（二）技能育人——使学生习得技能，发展能力

整个教学过程，基本遵循研究数学问题的一般思路：实际问题—抽象建模—实例验证—证明结论—应用探索—回顾反思。通过本节课的学习，学生能了解研究的步骤和方法，明确解决一般新问题的思路，提升解决问题的能力。

解答例1 后，教师引导学生总结解题步骤，增强学生利用导数判断函数y=f(x)的单调性的能力。例2 要求学生依据导函数f′(x)的正负信息分析原函数f(x)的图像特征，并画出图像的大致形状，这相当于让学生从结论的反面入手研究问题，极大地提高了学生的解题技能。通过两个例题，差异化设置问题，让学生从多个角度理解导数与函数单调性的关系，使学生习得了技能，发展了能力。

（三）活动育人——开展实践活动，让学生体验学习过程

本节课中教师充分考虑学生的最近发展区，从学生的认识能力出发，创设合适的教学情境，鼓励学生积极参与课堂活动，让学生在小组合作中动手操作、总结经验、体会思想、体验过程。

在“概念形成”环节，教师通过演示几何画板，从一个实例发现问题，并通过猜想得出结论。在“概念深化”环节，教师根据认知规律及数学研究的思路设计了两个活动，以验证这一结论。

活动一：请同学们研究学过的函数，然后与小组同学讨论总结出导数与函数单调性之间的联系，验证前面的猜想，并填写表1。这一活动引导学生经历从特殊到一般的过程，符合学生的认识水平，强调合作学习，体现出一定的实践性、探究性和综合性。

活动二：从导数和函数单调性的定义出发研究导数与函数单调性之间的关系。这一活动以小组探究形式开展，致力于让学生体会“劳动”才能出“硕果”，让学生在与同伴的合作中懂得尊重别人和改变自己，实现“自我育人”。

（四）思想育人——重视思维培养，促进学生生命成长

本节课以实际情境引入，问题1 引导学生将生活实际问题抽象为数学问题的过程，体现了培养学生“数学建模”核心素养的数学课堂教学要求；利用图表精炼问题中的核心要素，建立导数与函数单调性之间的联系，体现了培养学生“数学抽象”核心素养的数学课堂教学要求。

在“概念深化”环节，问题4 强调由特例得出的结论不具有一般性，因此必须验证结论是否普遍适用。设置的两个活动，分别从“形”与“数”的角度深化问题研究，渗透数形结合思想，又从特殊化推演到一般性，契合数学学科严谨的特点，同时点明从特殊到一般，再从一般到特殊，既是认识事物的基本规律，又是重要的数学思想方法。

问题5 从概念的外延设问，如果不满足结论的条件，又将如何？这种质疑精神也是数学思维的独有特质。

例1 的4 个小题对应满足条件的不同情形，是结论一般化的体现。答题后，再通过图像验证结论，进一步体现了数形结合思想；例2 要求结合性质画出函数的大致图像，是一个开放性问题，核心仍然体现了数形结合思想。

通过典型例题的教学，多角度、多层次进行思维训练，学生在对比分析、归纳总结中，学习解题方法，领悟数学思想。

（五）生活育人——提炼生活经验，引导学生解决实际问题

数学知识除了来源于数学本身的逻辑推理，还有很大一部分来源于人们生活经验的积淀和提炼。教师通过教学，将数学知识、技能、思想转化为学生的生活经验，以达到引导学生解决实际问题的目的。

本节课的问题提出本身就是一个难点，学生难以将导数和函数的单调性这两个抽象的概念联系在一起。在新课引入环节，教师通过播放动画片《小猪佩奇》的片段，引导学生观察上下坡时汽车灯光的变化规律，既吸引了学生的注意力，又为实际问题的数学建模铺设了道路，激发了学生的求知欲。

教师在教学中注意提炼生活经验，在数学思想的指导下设计合理的活动，让学生掌握数学知识和技能，提升核心素养，在面对生活难题时有胆量、有办法，进而过上有意义、有品质的生活。这能实现数学学科育人的价值。