从一道函数恒成立问题引发的教学思考

广西南宁市第三中学（530021）汪世杰

《礼记·学记》有云：“学然后知不足，教然后知困。”在十年的教学生涯中，笔者接触了大量思维能力不同的学生。他们的解题经验虽然不如笔者丰富，但是常常具有创造性思维，能不拘泥于常规，想到很多笔者想不到的“点”。笔者认为，在教书育人的过程中，一方面是笔者在传道授业，另一方面是学生的创造性思维加深了笔者对数学的认知，所谓教学相长也。可以毫不夸张地说，笔者很多时候是站在学生的肩膀上，从而让自己看得更远。

笔者现执教高三年级，学生的基础还不错，考完南宁市的摸底考后，笔者在课堂上评析其中的导数压轴题时，引起了学生的热烈讨论。现将整个课堂的实录整理如下。

题目的第（2）问：若ex-1+x(lnx-ax)≥0 恒成立，求a的取值范围。

一说到恒成立问题，很快就有学生赵某发言：“本题可以用分离参数的方法来求解。”笔者顺势请赵某上来板书解答的过程。过程如下：由ex-1+x(lnx-ax)≥0 恒成立，可得也恒成立。记，则g′(x)=显然g″(x)在(x0,+∞)单调递增且g″(1)=0，当(x0,+∞)时g″(x)＞0，当x∈(0,1)时g″(x)＜0，g′(x)在x∈(0,1)上单调递减，在x∈(x0,+∞)上单调递增。[g′(x)]min=g′(1)=0，g(x)在(x0,+∞)上单调递增且g(1)=0，当x∈(x0,+∞)时g(x)＞0，当x∈(0,1)时g(x)＜0，当x∈(x0,+∞)时f′(x)＞0，当x∈(0,1)时f′(x)＜0。

f(x)在x∈(0,1)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，[f(x)]min=f(1)=1，a≤1。

赵某的解答逻辑清晰，过程严密，赢得了全班同学的热烈掌声。此时，班上的学生李某提出了自己的解法，他使用的也是分离参数法，但是他认为可以通过放缩的技巧减少求导的次数。这里只展示他和赵某解答过程中不同的地方：注意到g′(x)=(x-1)ex-1-lnx，由切线放缩不等式x-1 ≥lnx（先证再用）可知，g′(x)≥(x-1)(ex-1-1)≥0恒成立。李某说：“通过放缩我们可以发现g′(x)≥0，这就避免了再次对g′(x)求导，可以有效节约解题的时间。”这个观点抛出来，大家立刻给予热烈的掌声，纷纷赞许李某观察仔细。

正当笔者准备讲下一道题时，学生王某提出一个问题：“本题能否不分离参数，而是直接研究原函数不等式恒成立？”笔者说道：“理论上来说是可以的，直接求解原函数的最值也是恒成立的一种常见方法。”王某说：“但是我试了这种方法，解到某一步就进行不下去了。”

笔者让王某将他的解法展示出来，过程如下：记g(x)=ex-1+x(lnx-ax)，∵g′(x)=ex-1+lnx+1-2ax，∴g″(x)=不难发现g‴(x)在(0,+∞)上单调递增且g‴(1)=0，当x∈(1,+∞)时g‴(x)＞0，当x∈(0,1)时g‴(x)＜0。g″(x)在(0,1)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，[g″(x)]min=2-2a。

接下来如何解答？王某表示应该对a进行分类 讨论。当a≤1时，g″(x)≥0恒成立，g′(x)在(0,+∞)上单调递增。g′(1)=2-2a≥0且当x→0时，g′(x)→-∞，g′(x)在(0,+∞)上有唯一的零点，记为x=x0，x0∈(]0,1，当x∈(x0,+∞)时g′(x)＞0，当x∈(0,x0)时g′(x)＜0，g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，[g(x)]min=“解到这我的思路就断了，感觉函数g(x)的最小值求不出来。”王某说。

“通过零点虚设代换可以证明当a≤1时，g(x)≥0 恒成立，但是当a＞1时，如何证明g(x)≥0不恒成立的方法我还没有找到。”赵某接着说道。

“既然是要证明当a＞1时，g(x)≥0 不恒成立，意味着我们是不是只要找到一个正数m，使得g(m)＜0就可以了？”笔者提醒道。

赵某马上反应过来，答道：“就取m=1，此时g(1)=1-a＜0，就可以说明当a＞1时，g(x)≥0 不恒成立了。”这时班上再次响起热烈的掌声，通过王某和赵某的合作，得出了本题的第二种解法。

“同学们，刚才我们得出的第二种解法，还有没有需要修改的地方？”笔者问道。发现学生一脸茫然，笔者便继续追问：“如何判断一个函数是否有零点？”这时马上有学生回答：“用零点存在定理判断。”如何用零点存在定理判断呢？下面让我们一起来回顾零点存在定理：对于[ ]a,b的连续函数f(x)，若f(a)f(b)≤0，则f(x)在[ ]a,b必有零点。你们发现第二种解法需要改进的地方了吗？平时很少发言的学生林某举起手，说道：“之前王某在判断g′(x)在(0,+∞)上有唯一的零点时，只说明了g′(1)=2-2a≥0，而没有找到一个正数m，使得g′(m)＜0，他用‘当x→0时，g′(x)→-∞’这种极限的技巧来代替‘找到一个正数m，使得g′(m)＜0’，确实很妙，但是超出了高中数学知识的范畴，在考试中可能会被扣分。”“你观察得很仔细，我们判断零点是否存在一定要严格依照零点存在定理来判断。下面让我们一起把第二种解法的补丁打上吧，即找到一个正数m，使得g′(m)＜0。”笔者说道。“这不是我们之前研究过的一个有关取点的技巧吗？从趋势上看，当x→0时，g′(x)=ex-1+lnx+1-2ax中的()

ex-1+1-2ax→常数，而lnx→-∞，我们只要适当放缩变形一下g′(x)就可以了。”学生马某说。“嗯，很不错，直接找一个正数m，使得g′(m)＜0 有点困难，那么我们如何对g′(x)进行变形呢？”笔者接着问道。平时擅长放缩变形的学生李某这时站出来展示他熟练的放缩技巧：

注意到g′(x)在(0,+∞)上单调递增且g′(1)=2-2a≥0，下面要找一个数m∈(0,1)，使得g′(m)＜0。g′(m)=em-1+lnm+1-2am＜lnm+2-2am=ln e2m-2am≤e2m-1-2am（这里用到切线放缩不等式x-1 ≥lnx）。若e2m-1-2am＜0，即m＜，则g′(m)＜0，因此取m=时，g′(m)＜0。

他精彩的放缩步骤赢得了同学们热烈的掌声。正当笔者准备讲评下一道题目时，李某再次举手表示他有一个新的简便方法来解决本题。方法如下：

要证ex-1+x(lnx-ax)≥0 恒成立，即证+(lnx-ax)≥0 恒成立，即证ex-1-lnx+(lnx-ax)≥0，由切线放缩不等式ex-1≥x可得ex-1-lnx+(lnx-ax)≥x-lnx+lnx-ax=(1-a)x。当a≤1时，即可得到ex-1-lnx+(lnx-ax)≥0 恒成立；当a＞1时，记g(x)=ex-1+x(lnx-ax)，则g(1)=1-a＜0，说明ex-1+x(lnx-ax)≥0不恒成立。故当a＞1时不符题意，因此a≤1。

这个方法既新颖又简便，出乎笔者意料，全班学生也对李某钦佩不已。笔者问道：“这么巧妙的方法你是怎么想到的？”李某谦虚地说：“我平时在刷题过程中，遇到过类似的问题，便想着这题是不是也可以这么解，结果还真解出来了。”他拿出平时积累的数学笔记和资料，找了一道类似本题的题目分享给大家，题目如下：

若x(e2x-a)≥1 +x+lnx在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围。

“同学们，学霸就是这么养成的，十年磨一剑，每天坚持不懈地学习和总结，才换来现在课堂上的精彩表现！我建议大家再给他一些热烈的掌声！”笔者怀着激动的心情说道。平时很少发言的张某在一旁飞速计算着李某分享的题目，他举起手并说道：“李某提供的方法确实妙，我们记h(x)=x(e2xa)-(1+x+lnx)=e2x+lnx-ax-(1+x+lnx)≥2x+lnx+1-ax-(1+x+lnx)=(1-a)x，当a≤1时，即可得h(x)≥0 恒成立。当a＞1时，则h(1)=e2-a-2，此时我们无法判断h(1)的正负，从而不能判断当a＞1时h(x)≥0 是否恒成立。”“其实当a＞1时是可以取到一个点x0，使得h(x0)＜0 的。不过这次的取点不像前一道题那样简单。本题要取一个这样的点x0，须满足2x0+lnx0=0，即=1。此时，h(x0)==(1-a)x0，由a＞1可知h(x0)＜0。”李某回应道。“你是怎么想到要取一个这样的点x0，使它满足2x0+lnx0=0 的呢？”笔者追问道。李某回答说：“这其实和我们所用的切线放缩不等式有关，我们知道ex≥x+1 当且仅当x=0时取等号，本题中，我们是用到了e2x+lnx≥2x+lnx+1这个形式的切线放缩，因此取等号条件变为当且仅当2x+lnx=0 了，我们只要取满足方程2x+lnx=0 的根x0即可。当a＞1时，将使得上述不等式的不等号变方向，即找到一个点x0，使得h(x0)＜0。”这番精彩的分析，立刻收到大家热烈的掌声。“这种方法具有普遍性吗？在什么情况下适用？”笔者接着追问道。“这种方法不是万能的，比如说：证明当x∈(0,+∞)时，x2ex＞lnx+1 恒成立，上述方法就不适用。因为x2ex=ex+2lnx≥x+2 lnx+1，但我们无法证明x+2 lnx+1＞lnx+1 也恒成立，所以这道题就不太适用此方法。”李某回答。“那么，这种方法在什么情况下适用？”笔者问道。过了一会儿，赵某举手回答：“我觉得可以逆向思考，本方法的实质是使用切线不等式ex≥x+1进行放缩，因此可以得出如下式子ealnx+bx+c≥alnx+bx+c+1，即满足xaebx+c≥alnx+bx+c+1 形式的式子可以使用此方法。”大家听完赵某的分析之后恍然大悟，其实这种方法的本质就是切线放缩的一种特殊形式，不过由于其变形方式独特，一直未被大家所发现和运用。就在此时，赵某再次提出一个问题：“刚才我们分析的‘若x(e2x-a)≥1 +x+lnx在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围。’这道题可以用分离参数法来解答吗？我在用这种方法分析的过程中遇到一个困难：原不等式等价于记f(x)=，则f′(x)=，显然g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)＞0，。g(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0，即，当x∈(x0,+∞)时g(x)＞0，即f′(x)＞0；当x∈(0,x0)时g(x)＜0，即f′(x)＜0，∴f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增。这时我发现f(x)的最小值似乎求不出来。”全班学生陷入沉思之中，一方面大家都认为f(x)的最小值是可以求出来的，但是既求不出x0，又无法将+lnx0=0这个式子整体代换到f(x)的最小值中消去x0。这时笔者不失时机地提醒+lnx0=0这个式子还可以化简吗？”“哦，好像可以构造同构式来化简。由前知等价于ln(-lnx0)，即ln(2x0)+lnx0+2x0=ln(-lnx0)，即ln(2x0)+2x0=ln(-lnx0)+(-lnx0)，由y=lnx+x单调递增可知，2x0=-lnx0，”赵某激动地说，“这样一来即a≤1。”赵某精彩的发言再次赢得了全班热烈的掌声。

波利亚曾经说过，当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再环顾四周，它们总是成群生长的。在数学课堂上如何引导和激发学生的学习和探究兴趣，如何启发学生的思维是教师需要深入思考的问题。如果只是单独解答一道题，学生很难从中有很大的收获，教师应该有意识地引导学生由此及彼，通过深入研究一道题，找到解决一类题的方法，或者是通过一题多解，开阔学生的视野，锻炼学生的思维能力。更重要的是，在探究的过程中，凸显问题的本质，揭示出知识之间的联系，从而使得课堂教学更加高效。