序数权重统一表示下的权重稳健性Hasse图分析

岳立柱, 陆 畅, 施光磊

(1.黄山学院 经济管理学院,安徽 黄山 245000; 2.辽宁工程技术大学 管理科学与工程研究院,辽宁 葫芦岛 125105)

0 引言

序数权重是比较特殊的一类权重，根据权重秩次通过一定的运算方式得到具体权值。在实际问题中，决策者的精力和信息处理能力有限，尤其是在复杂和不确定环境下，通常很难确定决策参数的准确值，可能只给出准则权重系数的区间，或者一个准则的权重大于另一个准则的权重等模糊信息[1]。此外，在群决策的过程中，决策者往往得不到精确的权重信息，只能给出模糊的语义顺序[2]。因此，在时间、精力和处理能力等受限的条件下序数权重具有独特的应用价值。

学者们研究开发了多种序数权重。典型的方法有ROC赋权法[3]、RE赋权法[4]、 RR赋权法、RS赋权法[5]和EW赋权法。不同的学者对这些方法进行了评估，得出的共同结论是：ROC方法不仅具有吸引人的理论基础，在精度表现方面似乎也优于其它方法。当决策者仅能提供序数信息时，推荐应用ROC法。不过，最近Pierre等[6]给出了有力证据，认为ROC并不是最优选择。选择哪种方法更为妥当，当前出现了分歧和争论。学者Kirkwood等[7]仿真研究表明，现实决策问题只利用序数权值往往无法确定最理想方案。

在多种序数权重方法中，到底哪种方法更优？或者说存在最为理想的赋权方法吗？权重可能是客观的、也可能是在互动中建构的，但均具有不确定性，如何提升略显“僵化”的序数权重应对不确定性的能力？为解决以上疑问，在以往研究的基础上，找到了序数权重的统一表达方式，即极值点的特殊线性组合。在极值点集统一表示的框架内构造偏序关系，将权重问题转换为偏序问题，通过Hasse图分析权重的稳健性。

1 研究基础

1.1 序数权重

通过权重秩次得到权值的方法称为序权法。假设有n个准则，遵从习惯约定最重要权重秩次赋值为1、次重要赋值为2，依次类推，最不重要权重秩次赋值为n。目前研究较多的序权法有5种，数学表达式及相关研究见表1。

表1 序数权重数学表达式及相关研究

1.2 权重空间与极值点

自始至终假定所有备选方案的准则取值都是精确已知的，且准则的重要性按从最重要到最不重要降序排列，令

WRO={(w1,…,wn)T}w1≥…≥wn,Σwj=1}

(1)

假设方案集A={a1,…,am}，准则集C={c1,…,cn}。vi=(vi1,…,vin)表示方案ai在准则集上的取值向量，vij表示方案ai在准则cj上的取值。简单线性加权函数和线性规划分别为:

(2)

Dij=min{f(ai)-f(aj)=viw-vjw|w∈WRO}

(3)

在权重空间WRO内，若存在w使得f(ai)-f(aj)的最小值大于等于零，则对∀w∈WRO都有f(ai)≥f(aj)。

根据式(3)文献[13]构建了占优矩阵D=(dij)m×m，在此基础上实施方案排序。对于式(3)文献[12,14]证明了该线性规划有n个极值点，极值点集为E={e1,e2,…,en}，各极值点对应展开式为:

e1=(1,0,0,…,0)T

(4)

…

由序数权重生成权重空间和极值点的详尽介绍可参见文献[15]。但现有文献没有明确，对任意权重是否可由极值点集表示及如何进行表示。

2 序权的极值点统一表示

2.1 权重的极值点表示定理

围绕线性规划研究权重的不确定性，已经成为了多准则决策中提升鲁棒性的强有力工具。线性模型通常以相对简单的方式捕捉现象，进而成为开启复杂之门的“钥匙”。通过线性规划的极值点，不难验证任意权重均可由极值点集表示。

定理1对∀w∈WRO，一定存在γ=(γ1,γ2,…,γn)，使得

w=γ1·e1+γ2·e2+…+γn·en

(5)

且，Σγi=1,γi≥0,i=1,2,…,n。

2.2 五种序权的极值点表示

定理1表明，给定任意权重w∈WRO，均可表示为极值点集的(加权)线性组合。表2给出如上五种序权的极值点表达式。

表2 五种序数权重的极值点表达式

通过上述五种权重的极值点表达式，可以归纳出任意序数权重均可由极值点集来生成，权重研究可以转换成极值点上的研究。哪种组合更为合适，取决于理想(真实)权重的变动特征。例如，若相邻权重之差相等(不为零)，选择RS法更为合适；若相邻权重之差构成了递减序列，采用ROC法或RR法更为妥当。因此，不同的权重有着不同的适用条件，不存在适用一切的最优的序数权重。

3 序权稳健性的Hasse图分析

由于信息获取制约和决策者认知局限，方案间的比较关系本质上是偏序关系，全序只是其特例。偏序关系最终可以通过Hasse图直观展示，能够体现出权重排序的稳健性和不确定性[16,17]。

3.1 由极值点构造偏序关系

根据式(5)可知，任何权重向量均可表示为极值点集的加权线性组合，即

w=[e1,e2,…,en]·γT

(6)

对各准则进行线性集结，由式(2)和式(6)得到方案评价值向量

(7)

为了方便分析，记上式右端子式

(8)

定理2若矩阵D第i行小于等于第j行，则对∀w∈WRO均有f(ai)≤f(aj)。

当矩阵D第i行小于等于第j行，式(8)等价于下式

viet≤vjet,t=1,2,…,n

(9)

根据式(9)知，构造偏序关系[18]

ai⪯aj⟺viet≤vjet,t=1,2,…,n

(10)

由上式右端可知，当满足矩阵D第i行小于等于第j行时，根据定理2可知f(ai)≤f(aj)，故由偏序关系可以得到ai⪯aj⟹f(ai)≤f(aj)。

3.2 由偏序关系获得Hasse图

对方案进行两两比较，建立偏序关系矩阵R=(rij)m×n，即∀ai,aj∈A，其中

(11)

若全序关系为特殊的偏序关系，则矩阵为可达矩阵R=(rij)m×n。不过偏序关系矩阵存在冗余信息，可将其简化为Hasse矩阵HR。文献[19]给出了二者的转换公式

HR=(R-I)-(R-I)*(R-I)

(12)

其中，I为单位矩阵，运算符*为布尔乘法。根据HR可以绘制Hasse图(二者是一一对应关系)。

3.3 权重排序的Hasse图分析

Hasse图作为一种深度可视化工具，有助于增强决策者对决策的理解和分析。心理学研究表明对信息的理解和决策过程都受到信息呈现方式的影响。决策反馈互动与流程透明度已经成为高质量决策的必要条件，交互式数据可视化的Hasse图可以促进实现这些目标。不仅如此，通过本文方法获得的Hasse图能够捕获如下关键信息：

(1)识别方案比较的稳健性。对于可比方案(Hasse图中路径连通的方案)只要权重秩次保持不变，无论权重怎样变动，原可比方案优劣关系不变。

(2)识别方案比较的不确定性。对于不可比方案(Hasse图中没有路径连通的方案)，序权法对其比较或排序，充满了不确定性，即随着权重的变动方案排序存在“翻转”可能，存在排序风险。

(3)通过Hasse图实施分层聚类。该分层方式属于无参数聚类方法，层内元素两两不可比，不同层之间至少存在一对可比元素。不难证明若指标取大为优，最优方案一定位于首层。

4 实例分析

4.1 获取砂轮选料Hasse图

砂轮是由结合剂将磨料固结成一定形状，具有一定强度的固结磨具。选择砂轮磨料有8个方案，7个准则，所有这些准则除了材料成本外，都是效益型的。砂轮磨料选择问题原始数据参见文[20,21]。

Step1根据文[21]提供的权重顺序w3≥w1≥w4≥w2≥w7≥w5≥w6，根据权重秩次信息，采用极差归一化方式得到调整后的评价矩阵V=(vij)8×7(见表4)。

Step2由表4得到矩阵D，即从左到右依次累加再均值化，得到表5。

表4 调整后的评价矩阵V

表5 矩阵D

图1 八种选料方案的Hasse图

Step3对表5各行两两进行比较，建立偏序关系矩阵R=(rij)m×n(略)。

Step4根据式(12)得到Hasse矩阵(略)，绘制Hasse图(图1)。

4.2 仿真模拟

为检验Hasse图的稳健性，应用Python 3.6编写仿真程序。随机生成10000个权重向量，权重向量乘以方案向量，得到10000行10列的模拟评价数据，对模拟评价数据进行两两列比较，最终模拟结果如表6。

表6 权重随机变动下的选料方案比较结果

表6中的数据表示10000次模拟中行方案综合值大于列方案综合值的次数。在Hasse图中，只要权重秩次不变，无论权重如何变动，可比方案的比较关系均不变，不可比方案存在翻转的可能，如A1和A4为不可比方案，在10000次模拟中出现了7897次A1优于A4的情况，揭示了有78.97%可能A1优于A4，而可比方案是100%完全优于。表格中还存在一些虽是不可比方案，在模拟结果中却100%优于的情况，说明方案翻转的可能性较小，但在模拟次数足够大时，还是会存在翻转的可能。

4.3 五种赋权方法排序结果

根据权重秩次顺序，得到RR法、ROC法、RS法、RE法和EW法等5种序权法的具体权重值(见表7)。应用如上5种序权法得到8种砂轮磨料的综合排名见表8。

表7 五种序数指标权重

表8 多种权重的方案排序

由表8可见5种赋权方法与文[21]排名(A5≥A3≥A2≥A6≥A4≥A1≥A7≥A8)结果几乎一致，且符合Hasse图分层结果，其中RR、ROC和RE三种方法与文[21]方案排名完全相同，RS和EW与其略有差异。通过Hasse图能够清晰看到产生差异的原因，在Hasse图中若两个元素不可比，那么不同序权方法就可能存在排序翻转的情况。若Hasse图中两个方案可比，那么无论用何种赋权方法，只要保证权重顺序不变，得到的排序结果就会相同，不存在方案翻转的情况。

4.4 结果分析

通过Hasse图(图1)直观展示了方案间的结构化信息，能够获得层集聚类、确定性和不确定性等三方面的信息：

(1) 尽管5种方法得到排名并不完全一致，但是对应的分层是完全一致的。虽然五种序数权重对应的方案排序不同，但均对应着相同的层级结构(表8末列)，这揭示了不同的序数权重实质上是在共同层级结构上实施全排序，可比方案的比较关系是完全一致的，差异在于不可比方案。

(2) 方案比较的稳健性分析。由Hasse图可以看出，本例中A3和A5均优于其它所有方案，在保持权重顺序不变的条件下，无论权重怎样变动，最佳方案候选集{A3,A5}不变。不仅对于给定的5种序数赋权方法，即使再增加新的赋权方法，最佳方案候选集依然为{A3,A5}。因此，结合Hasse图能够迅速“锁定”最优候选方案集。

(3)方案比较的不确定性分析。尽管5种赋权方法和文献[21]一致得到A5优于A3，但二者的优劣关系是不稳定的，因为在Hasse图中二者为不可比方案。例如，如果第三个指标上原料充足，A3可能为最佳；除此之外，选择A5更可能是最佳选择。因此，通过不确定分析能够识别出不考虑第三个指标变化而选择A5可能带来的风险。

5 结论

对任何序数权重均可以由线性规划极值点的加权线性组合来表示，这表明研究权重问题可等价转换为研究极值点问题，这为权重问题研究奠定了理论基础。本文方法解答了文初的三个疑惑：(1)不同序数权重适用条件不同，不存在适用一切的“最优”赋权方法；(2)在不完全信息条件下，由序数权重实施的排序具有不确定性，通过极值点构造偏序关系，最终由Hasse图捕获不确定性。(3)尽管不同序权法得到方案排序有差异，但都能得到同样的分层结构，意味着在实践应用中不必太纠结于方法的选择，因为无论选择哪个方法，当与Hasse图结合分析时都会得到类似的分析结果。Hasse图与序权法相结合不限于本文给定的范围，实际上可以和任意给定的序数权重和非序数权重相结合使用，因此可进一步研究不同类型的权重在应用效果上的差异，降低权重变动带来的决策风险。