积累活动经验 感悟数学思想——“找次品”教学案例与分析

安徽宿州市第十二小学（234000）张文莉

数学课程标准在“实施建议”中指出：数学教学应根据具体的教学内容，设计形式多样的数学活动，引导学生通过实践、思考、探索、交流等获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。在实际教学中，挖掘教材中蕴含的数学思想和方法并不是件容易的事，更别提在课堂教学中不着痕迹地渗透数学思想和方法了。那么，如何挖掘？如何运用？又如何渗透才能使学生体会到基本的数学思想和方法？笔者在观摩了杨宏老师执教的“找次品”示范课后深受启发，感悟颇深。

【案例赏析】

一、引出问题

师（出示图1）：世界著名的微软公司在招聘时曾出了这样一道题。

图1

师：最少称几次？你打算怎么称？保证能找到吗？

生1：10次。

生2：6次。

……

师：看来大家有不同的看法。如何才能做到“保证找到”，又能知道“最少称几次”？这就是今天我们要研究的问题。

【分析：教师在教学伊始没有过多的论述，而是语言简练，直奔主题。这样既激起了学生探究新知的好奇心，又提高了课堂效率。】

二、探究解决问题的策略

活动1：从2个小球中找次品

师：这道题中有81个小球，数量太多了。遇到比较大的数，一时难以解决，我们可以怎样入手？（简单的数据）那从2个小球中找次品，最少要称几次呢？

生1：1次。

（教师用天平演示，板书：最少称1次）

活动2：从3个小球中找次品

师：如果是3个小球呢？

生2：1次。

生3：2次。

（学生操作：先取2个小球放在天平的两端。如果天平平衡，那么次品就是没有放在天平上的小球；如果不平衡，那么次品就是向上倾斜的那一端的小球）

（板书：最少称1次）

【分析：“天下难事始于易。”对于比较大的数“81”，学生感到茫然，教师引导学生从“小的数”开始研究，就是渗透了“化繁为简”的数学思想。这是解决数学问题的一种重要策略。】

活动3：从4个小球中找次品

师：有4个小球，最少要称几次？（学生上台演示，教师画图表示学生称的过程）

称法1：把4个小球平均分成2份，先是2个2个地称1次，再将轻的这2个小球称1次，总共称了2次。

板书：

称法2：随意称2个小球，如果平衡了，就称剩下的2个小球。保证能找到需要称2次。

板书：

图3

师：要保证找到，就要从最不利的情况考虑。4个小球至少称2次，才能保证找到次品。

活动4：从8个、9个小球中找次品

师：如果有8个、9个小球，最少称几次才能找到次品？用棋子代表小球在纸上摆一摆，摆好后将你们想到的称法清楚、简洁地记录下来。

（学生合作探究，用统一的符号记录）

（1）出示学生的记录表：

表1

称法1：把小球先分成2份，4个4个地称，叫作二分法。

称法2：把小球分成3份，先把3个与3个进行比较，叫作三分法。最不利的情况是次品在3个中，还要再称1次，一共称2次。

称法3：把小球分成4份，2个2个地称，叫作四分法。最不利的情况是第1次称，天平是平衡的，那么次品在外面的4个小球中，还要称2次，一共要称3次。

（学生比较后发现：称法2只需要称2次就能找到次品）

师：如果第一次称时天平不平衡，第二次就从较轻的3个里面找，称的方法与前面称3个的一样，只要再称1次，总共称2次；如果天平平衡，第二次就从2个里面找，称的方法与前面称2个的方法一样，也只要再称1次，总共也是称2次。

师：为什么三分法只需要称2次，其他2种称法都比三分法称的次数多呢？

生4：采用三分法，称1次后，次品只要从3个或者2个里面找；采用二分法，次品要从4个里面找……

师：采用二分法，称1次之后，要从轻的4个里面找；采用三分法，称1次后，从最不利的情况考虑，只需要从3个里面找……你发现了什么？

生5：剩下的球越少，称的次数就越少。

生6：分成3份比较好。

师：我们接着看有9个小球的情况下如何找1个次品吧。

（2）出示学生的记录表：

表2

师：研究9个很有意思。同样分成3组，为什么第四种方法称的次数最少呢？

生7：要从最不利的情况考虑，（4，4，1）就要从4个里面找，（1，1，7）要从7个里面找，（2，2，5）要从5个里面找。

师（用红笔圈出4、7、5）：比较一下，你发现了什么？

生8：剩下的小球个数要尽可能少。

生9：采用第4种方法，称1次之后只要从3个里面找，而其他方法称1次之后剩下的都不止3个。

师：你有什么好的建议？

生9：3个数相差得越小，称的次数就可能越少。

师：就是要尽可能平均分。（板书：平均分3份）

活动5：验证最优策略

师：这样的猜想是否正确呢？我们来验证一下。有26个小球的情况下怎么称才能找到1个次品？请在练习本上画一画。

师：26个小球不能平均分成3份，怎么办呢？

生10：尽量平均分，分成（9，9，8）。

师：从最不利的情况考虑，称1次后要从几个里去找呀？

生11：9个和9个小球如果相等的话，那么只剩下8个小球，我们已经求出8个小球只要称2次，那称（1+2）次就可以了。9个和9个小球如果不相等，就从轻的9个小球里找，也只称（1+2）次就够了。

师：这位同学说得很好！我们用图形来验证。

（用多媒体演示“从1个1个地称到9个9个地称”，寻找最佳策略）

三、解决问题

师：回头想想看，微软公司出的题目你会做了吗？有81个小球，需要称几次才能找到次品？

生：只要4次就够了。

师：没想到吧？刚才大家说最少需要10次、6次，实际上只需要4次就够了。

四、发现规律

师：现在请同学们任意选自己喜欢的两个数挑战一下，想一想，算一算，看看各要称几次才能找出次品。

师（把在2～81个小球中找1个次品的表内数据依次补充完整，表略）：仔细观察表格，你发现了什么？

生：有2个或3个小球的时候只需要称1次，有4～9个小球的时候要称2次，有10～81个小球的时候要称3次。

师：2～3是1次，4～9是2次，10～81是3次，那么82到某个数是4次吗？有兴趣的同学下课后可以继续研究。

五、小结（略）

【分析与感悟】

数学课程标准强调，在课堂教学中要落实“四基”，而“找次品”这类课型的教学重点就是让学生在学习过程中领悟数学思想。杨老师在本课中十分重视数学思想的渗透与运用，注重让学生在知识学习和活动操作中领悟相关的数学思想，并用学到的数学思想解决更多的数学问题。

一、化繁为简思想

课始，杨老师设计了一个“找次品”的问题，让学生猜想答案，然后适时介入，提醒学生要解决这个难题，可以先从较小的数开始研究；接着分别带领学生研究2个、3个、4个小球的情况，逐步寻找“找次品”的规律和方法；在学生发现“平均分成3份来称，所需的次数最少，而且保证能找到”后，要求学生用三分法来解决从26个、81个小球中找次品的问题。在探究过程中，学生感受到了化繁为简思想的魅力。

二、化归思想

在验证平均分成3份是最优策略时，学生自主探索从26个小球中找次品，杨老师提示“并非都要称，可以利用从8个、9个小球中找次品的结论。比如，先把27平均分成3份（9，9，9），接下去的9个球就不用再称了，可以直接通过计算得到“（1+2）次”。把新问题转化到已有的知识经验中，学生从中就体会到了化归思想。

三、猜想与验证

弗赖登塔尔曾说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”在本课教学活动中，杨老师让学生经历了“猜想→验证→运用”的过程：首先对比从8个小球中找次品的几种方法，从中发现三分法所需的次数最少，再通过从9个球中找次品，感悟到要“平均分”，由此引发学生猜想“无论在多少个物品中找1个次品，三分法所用的次数都是最少的”。为了验证这一猜想，又让学生自主选择一个数去验证，然后归纳得出结论。学生在“猜想→验证”的数学活动过程中，不仅积累了活动经验，获得了数学结论，更重要的是逐步掌握了数学思想，提高了主动探索、获取知识的能力，增强了学好数学的信心。

四、优化思想

杨老师首先给学生充分的自主探究空间，让学生主动参与数学学习活动，获得自己独特的体验和发现，掌握多种解决问题的方法和策略；接着，通过有效的交流，让学生明确称1次后“要从哪里找”是关键，要使称的次数少，就要“剩下”的少，由此认识到“尽可能平均分”的优越性，从而感受到优化的数学思想。

综上，教师只有挖掘出隐含在教材中的数学思想和方法，设计适时的数学活动，才能将数学思想有机地融合在数学知识中，使教材呈现的知识技能这条明线与教材隐含的思想方法这条暗线同时延展，进而帮助学生积累活动经验，感悟思想方法。唯此，才能真正落实数学课程标准要求的“四基”。