让符号意识在“四学”中自然生成——以“‘重复’的奥妙”一课为例

四川成都高新区教育发展中心（610041）曾 亮

符号意识作为数学学科核心素养之一，主要是指能够感悟符号的数学功能。《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调：“无论在哪个学段，都应该鼓励学生用自己独特的方法表示具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号意识的决定因素。”符号意识的培养不是一蹴而就的。根据小学低年级学生的思维特点，笔者团队总结和提炼了五项培养策略。现以北师大版教材二年级下册“‘重复’的奥妙”为例，阐述符号意识是如何在“四学”中自然生成的。

教学片段一：表示灯笼的排列规律

1.明确任务

出示图1（教材图）：

图1

师：大家从照片里找到了那么多有趣的规律，可老师刚才听得太入迷，都忘记把这些规律记下来了，你们愿意帮帮我吗？

生（齐）：愿意。

2.开展“四学”

师：那我们就从灯笼的规律开始吧！

出示图2（教材图）：

图2

（1）首学：学生独立尝试用不同的方法来表示灯笼的规律，教师巡视。

（2）互学：学生在小组内交流怎么表示灯笼的规律。

（3）群学：教师拍照上传学生不同的表示方法（如图3-1、图3-2、图3-3、图3-4）。

图3 -1

图3 -2

图3 -3

图3 -4

师：大家同意哪种表示方法？为什么？选择其中的一幅图说说你的想法。

生1：我选图3-2。因为灯笼就是一个大一个小、一个大一个小……这样排列的，所以他写“大小大小大小大小”是对的。

师：大家同意生1的说法吗？

生（齐）：同意。

师：图3-2紧紧扣住了灯笼大小的排列规律，它是用什么表示的？

生2：它是用汉字表示的。

师：对，图3-2是用汉字表示灯笼一大一小的排列规律的。谁能像这样再介绍一下其他三幅图？

生3：图3-1用图画表示灯笼一大一小的排列规律。

生4：图3-3用圆表示灯笼一大一小的排列规律，大圆表示大灯笼，小圆表示小灯笼。

生5：图3-4用“√×”符号表示灯笼一大一小的排列规律，“√”表示大灯笼，“×”表示小灯笼。

师：我们问问这四幅图对应的四位小作者——同学们猜中你们的想法了吗？

（小作者们纷纷表示猜中了）

（4）共学：对比学习。

师：看来你们真是心有灵犀呀！不过好像有一幅图与其他三幅图有点不一样哦，谁发现了？

生6：图3-1和其他的不一样，它有省略号，其他的没有。

师：我们一起来读一读图，看看是不是这样的。图3-1，大灯笼小灯笼、大灯笼小灯笼、省略号；图3-2，大小、大小、大小、大小；图3-3，大圆小圆、大圆小圆、大圆小圆、大圆小圆；图3-4，√×、√×、√×、√×。

师：可以用省略号吗？省略号省略了什么呢？请与同桌交流。

生7：我们认为可以用省略号。因为前面已经画了2组“大灯笼小灯笼”，我们知道规律了，所以对于省略的部分，我们也能明白，省略的就是剩下的2组“大灯笼、小灯笼”。

师（问图3-1的小作者）：生7说得对吗？你怎么想到要用省略号的呢？

图3-1的小作者：说得对。我觉得画图有点麻烦，不想接着画了，所以就用了省略号。

师：真是个既诚实又会动脑筋想办法的孩子！画图太“麻烦”了，所以找来省略号帮忙，确实是个好办法。我们再来看看这四幅图，你最喜欢哪幅图呢？为什么？

生8：我喜欢图3-3，因为它简单，圆圈还能表示灯笼的形状和大小。

生9：我喜欢图3-2，一看汉字就知道是“大小”规律。

生10：我喜欢图3-4，它也很简单。

生11：我喜欢图3-1，虽然画图麻烦了些，但是遇到很长的一串图形时，用省略号很方便。

生12：写汉字、画圆、画“√×”后面都可以用省略号，没必要一定要画图。

生13：对，我也是这么想的。

师：每种记录方法都有它的优缺点，不管是画图、写汉字，还是用○、√、×等符号来记录，只要能正确表示图形的规律就是可行的。大家刚才提到了省略号，那表示几组重复的规律后用省略号合适呢？1组行吗？

生14：不行。

师：2组呢？

生15：我认为3组合适，因为太少了看不出规律，太多了又太麻烦。

师：大家认为呢？

生（齐）：同意。

师：那我们就约定，在表示3组重复的规律后可以使用省略号，好吗？

生（齐）：好。

【策略一】在“四学”中经历符号意识的产生

东北师范大学朱立明等人认为数学符号意识的构成要素为客观事物、符号表征、数学理解、思维结构、思想方法，并提出其要素结构网络图（如图4）。“首学”环节，学生紧密围绕最核心的思维结构，先通过观察发现灯笼的排列规律，并用最简洁的语言口述规律，再用符号来表征灯笼“一大一小”重复出现的本质属性，完成了第一次抽象。随后的“互学”“群学”环节，教师着重引导学生感悟数学符号与客观事物的对应性，如“一个大圆就表示一个大灯笼，一个小圆就表示一个小灯笼”等，从学生的表达中可以明显看到，符号表征能帮助学生更好地理解数学的本质。最后的“共学”环节，教师适时抛出问题，学生在对比中自我优化，获得具体的数学思想方法，进而解决问题。

图4

【策略二】在“自然”中完成符号意识的蕴伏

意识是个体的心理倾向，具有鲜明的主体性，这种主体性表现为学生为达到一定的学习目的而表现出来的自由、自主、主动、能动的特性。我们在此教学片段中看到“和而不同”：尽管学生都在表征灯笼“一大一小”重复出现的排列规律，但不同的学生选择的符号是不同的，是具有个人情感与认知的。数学教育家豪森指出：“没有必要引入任何符号或缩写，除非学生自己已经深深感到了这样做的必要性，以至于他们自己提出这方面的建议。或者至少，当教师提供给他们时，他们能够充分体会到它的优越性。”学生自主探索，经历规律发现、规律表征、对比反思等过程，从中加深了对符号表征规律和简洁性的认识。最典型的就是大部分学生都自主地选择了用符号来表征规律，即使是用图画“大灯笼小灯笼”来表示规律的学生，也在感觉到麻烦后主动用了省略号，其他的学生受其启发，均表示：因为是重复出现的规律，所以其他符号后面也可以使用省略号。随着学生主体性的充分发挥，符号意识的蕴伏也自然而然地完成了。

教学片段二：巩固与实践用符号表征规律

1.巩固练习，表征照片中的其他规律

（1）首学：请选择照片中的另一种规律，用你喜欢的方法表示出来。

（2）互学：与同桌说一说你所表示的规律。

（3）群学：展示并说明自己所表示的规律。

出示图5（教材图）：

图5

生1：花盆是按“两个绿盆、两个红盆”的规律重复出现的，我用“绿”字表示绿盆，“红”字表示红盆，所以规律是“绿绿红红绿绿红红绿绿红红……”

生2：我用“+”表示绿盆，“-”表示红盆，所以规律是“++--++--++--……”。

生3：我用“A”表示绿盆，“B”表示红盆，所以规律是“AABBAABBAABB……”。

生4：我用“○”表示绿盆，“●”表示红盆，所以规律是“○○●●○○●●○○●●……”。

生5：我用“1”表示绿盆，“2”表示红盆，所以规律是“112211221122……”。

……

（4）共学：讨论交流，了解规律表征。

师：我发现有一位同学是用数字符号来表示规律的——“112112112……”。猜猜这位同学表示的是谁的排列规律？“1”和“2”分别表示什么？

生6：他表示的是彩旗的规律，“1”表示红色彩旗，“2”表示蓝色彩旗，规律是“2面红色彩旗、1面蓝色彩旗重复出现”。

出示图6（教材图）：

图6

生7：我也认为他表示的是彩旗的规律，不过“1”表示长方形彩旗，“2”表示三角形彩旗，规律是“2面长方形彩旗、1面三角形彩旗重复出现”。（有学生点头赞同，有学生露出恍然大悟的表情）

生8：还有可能表示的是气球柱，“1”表示黄色气球，“2”表示红色气球，规律是“2圈黄色气球、1圈红色气球重复出现”。

出示图7（教材图）：

图7

师：有人观察横着的彩旗，有人观察竖着的气球柱，有人观察彩旗的颜色，有人观察彩旗的形状。也就是说，不同的事物，或是同一事物，从不同的观察角度出发，只要符合这样的规律，我们就都可以用“112112112……”来表示，是吗？

生（齐）：是的。

2.实践应用，用数学符号表征生活中的规律

播放微课：生活中的“重复”现象（一周七天、一年四季、生肖轮转、圆舞曲节拍……）。

（1）你能用数学符号来表示生活中的这些“重复”现象吗？

（2）生活中还有哪些“重复”现象？请你再举一些例子并用数学符号表示出来。

【策略三】在“生成”中促进符号意识的形成

马云鹏等人认为数学符号意识表现为“生”与“成”两个阶段。在教学片段一中，学生已基本完成“生”的阶段的学习，学生主观能动地参与灯笼规律的发现与表征、感悟与反思，初步形成对符号意识的科学认识，体现了符号意识的内隐性。教学片段二主要为“成”的阶段的学习，学生将前一阶段感悟到的符号意识进一步巩固及应用，用符号化思维来思考，选取恰当的符号表征规律，学生在“生成”中形成数学符号意识。

【策略四】在“转换”中提升符号意识的层次

在教学中可以清晰地看到，刚开始的时候，有的学生不能自主完成符号表征，有的学生只能用一种符号进行表征，有的学生能使用多种符号进行表征，这说明不同学生的符号意识的水平是不同的。符号意识的形成需要个体经历如下过程：“客观事物抽象形成符号表征，学习者借助符号表征对数学本质进行深刻理解，从而上升至数学思维。而数学思维形成后，学习者从数学符号化角度思考问题，寻求数学思想方法。”因此，要促进学生符号意识层次的提升，就需要为学生创设经历符号意识形成过程的活动。学生选择自己喜欢的方式表征照片中的其他规律这一环节的设置，不是简单的巩固练习，其实质是让学生不断经历符号意识各要素“转换”的过程，进而逐步提升学生符号意识的层次。

【策略五】在“理论”认识后强化符号意识的实践

符号意识的生成与实践密不可分，既需要教师在实践中检验学生符号意识的生成程度，看学生的思维成果是否正确，也需要学生在实践中反复体会符号意识的重要作用与价值，只有这样，符号意识才能真正内化为学生的素养。最后环节，教师设计了让学生用符号表征生活中“重复”现象的活动，从规定动作到完全开放，其目的就是要让学生在认识“理论”后，强化符号意识的运用，进一步提升数学素养。

通过长期的实践研究，我们认为在“四学”中经历符号意识的产生、在“自然”中完成符号意识的蕴伏、在“生成”中促进符号意识的形成、在“转换”中提升符号意识的层次、在“理论”认识后强化符号意识的实践等五项培养策略对于小学低年级学生符号意识的培养是有效的。我们也深知，学生符号意识的培养是一个漫长而艰辛的过程，只有长期的坚持与努力，才能收到成效。