审度时宜 虑定而定

郑笑容 杨恩彬

函数与导数是高考重点考查的内容之一．依托函数与导数的考查，高考数学能够有效检测学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等核心素养及逻辑思维、运算求解、数学建模和创新等关键能力的发展水平，在甄别学生水平方面起着关键的作用，正因如此，在高三复习阶段，函数与导数始终被置顶重视，然而，教学实践和相关考试结果都表明，学生对函数与导数问题（尤其是解答题）有着近乎本能的惧怕，绝大部分的第一反应就是直接求导后放弃，这种现象的出现固然与试题的所在题序有关，但深究之下，更主要的原因应该是这类试题的解题入口隐蔽、思路变化多端、难以与平时机械刷题所获得的解题经验轻易对接，

那么，函数与导数解答题真的如此之难吗？笔者分析了近十年全国高考数学卷及新高考全国模拟演练卷中函数与导数解答题的解法，认为，这类试题的求解策略可以一言以蔽之：“审度时宜，虑定而定”．本文拟阐释笔者的认识与实践．

1 审度时宜

面对函数与导数解答题，“审度时宜”指的是解题前应仔细阅读题意，观察函数解析式的特征，判断问题的参数个数及其之间的关系，确定各小问之间的联系，为寻求解题思路作好准备．

1.1“审”解析式

函数的解析式是函数与导数解答题的重要载体，解题前应仔细审视解析式的结构特征，主要的审视方向包括：组成的基本初等函数类别、组成方式、定义域及特殊值等．

审题分析本题为对数函数与分式型函数相减的组合函数，首先关注函数定义域（0，1）U（1，+∞）．第（I）问的单调性讨论直接求导即可；在证明厂（x）有且仅有两个零点的过程中，由于x=1无法代入到解析式中，由单调性，此时应猜想这两个零点应恰好位于（0，1）和（1，+∞）两个区间，因此解题的第一个方案是分别在两个区间利用零点存在性定理取

评 注求解函数与导数问题的第一步就是研究函数的解析式，只有明晰解析式的特征，挖掘隐含的性质，作出正确的函数图象，才能形成有效的解题方向．

1.2“审”参数

试题中除常规的自变量x和因变量y外，还常带有其它的参数．审题时应观察参数的个数，每个参数的作用，多个参数还需思考之间是否有联系，

评注多变量是函数与导数问题中常见的形式之一，消元是常规的思路，解题时应厘清变量之间的关系，若它们之间有等量关系，可借助该关系将多个变量消元为一个变量；若没有等量关系，则需观察相应的式子，考虑对变量进行组合等方式转化为一个变量，最终构造函数解决问题．

1.3“审”联系

函数与导数解答题通常有两个小问，在第（I）问求解后通常需思考两小问之间是否有关联．如若一时看不出来，可考虑是否需要适当的变形处理判断是否有联系．

评注求解函数与导数试题时，通常要思考多个小问之间是否有联系？是否需要对相应的代数式或等式进行同解变形？如若有关联，则往往是下一小问求解的台阶，具有启发思路的作用．

2 虑定而定

审题不应怕浪费时间，将试题审明白，是得到正确求解思路的关键，“虑定而定”即为通过审题，得到明确的解题思路后进行具体操作，或考虑将解析式进行适当的变形处理寻找联系，或代入关键值缩小参数的范围，或直接构造、或根据数学模型适当变形后进行构造，最终求解问题．

2.1“定”变形

许多学生对试题所给的代数式、方程或不等式有“敬畏”心理，至多進行参数分离，不敢作其余的任何变形．事实上，如若对相应的代数式、方程或不等式作恰当的变形处理，常可使问题变得简单，易于解决，

评注 对代数式或方程、不等式的变形处理应在仔细观察、分析的基础上进行，平时要善于总结、归纳，熟练掌握常见的函数模型，求解时思路自然水到渠成．

2.2“定”构造

构造相应的函数是求解函数问题重要的途径之一，特别是对函数解析式变形处理的基础上进行构造，更能考查学生分析问题和解决问题的能力．

求解思路分析本题是证明不等式恒成立问题，由于解析式中指、对数是乘积式，直接求导会发现导函数非常的复杂，因此这种方法显然不可取，如若注意到式子中ex出现了两次，因此不等式两边同除以ex，但此时同样发现求导后无法判断导函数的单调性，也就无法求出原函数的极值，因此后续也就无法再完成．故而正确的做法是：在观察解析式结构特征的基础上，通过分析法先将指、对数式分离，先同除以ex后再同乘以x，即证明

评注对于较复杂的函数与导数解答题，通过观察、思考、演算的探究是解题的必备过程，构造的函数必须为所求服务，此时，平时学习过程中的积累往往是解题灵感的源泉．

2.3“定”特例

求解时可通过代入某些特殊值，例如指数型（或对数型）函数经常找使得指数为0（或对数值为1）的自变量的值，从而观察函数或导函数的值的变化，以确定临界位置，寻找解决问题的突破口，

评注 特殊点的选择需根据函数式的特征，特别是要选取使得等式或不等式取临界位置时的点，这需要敏锐的观察能力和平时的训练．

2.4“定”范围

取值范围问题有两类题型，一是给定不等式求参数的取值范围，此时可考虑代入符合条件的特殊值缩小参数的取值范围，从而得到参数取值范围的必要条件；二是给参数范围证明等式或不等式，此时可利用范围及不等式基本性质将参数用临界值代入，从而减小参数的个数．

求解思路分析本题第（Ⅱ）问为给定不等式求参数取值范围的问题，通过将恰当的x值代入不等式，例如取x=1，即可求出参数a的一个范围，这个结果是不等式成立的必要条件，进而在此条件下去寻找不等式成立的充分性，

评注 对给定不等式求参数取值范围的问题，常通过代入满足题意的自变量的值，求出参数取值范围的必要条件，再利用该条件寻找参数取值范围的充分条件，这种解题策略可简化讨论，降低难度，

求解思路分析本题为结构不良试题，第（Ⅱ）问的两个条件均给定了参数a，b的范围．无论选择哪个条件，恰是第（I）问单调性讨论时参数a的两种不同分类的情况，求解时除利用常规单调性判断及代入特殊点之外，还需利用参数b的范围，借助不等式的性质转化为关于a的代数式判断符号． 评注对给定参数范围证明不等式或等式的试题，求解时应善于利用所给的范围通过放缩减少参数的个数，从而降低思维的难度．当然放缩必须根据不等式的性质或函数的单调性进行，做到有理有据，放缩有度．

总之，教师在教学的过程中应教给学生审题和分析问题的方法，不仅是函数与导数试题，在其它知识模块上也同样可以贯彻这种解题策略；不仅在高三复习教学中，在学生高一入学时就应始终灌输求解问题的思维过程，如是，才能让学生从题海之中解脱出来，学会思考分析问题，才能真正培养学生的数学核心素养，提高学生的思维品质，提升学生的关键能力及分析问题和解决问题的能力．