基于复数求解点轨迹方程问题

黄雅萱 叶诗怡

1 研究背景

圓锥曲线是高中数学知识体系中必不可少的部分，是联系初等数学与高等数学的重要一环，在高考命题中占有相当的比重，且新课程标准强化了对知识的综合性、应用性及创新性的考查，因此研究圆锥曲线的题型与创新性解法具有重要意义．

对于圆锥曲线点轨迹问题，本文采用有别于常见的直接法、参数法等求解方法，创新地应用复数巧解点轨迹方程，该种解法充分利用了复数数形结合的优势，将代数、三角、几何等知识紧密联系在一起，为简化解析几何解题步骤，拓宽学生的知识面，提升学生数形结合的思想有着积极意义[1]．

2 复数在求解点轨迹问题中的具体应用

2.1 基于复数加、减法则求解点轨迹问题

例1如图1，已知平行四边形ABCD中，顶点A（O，0），B（4，-3）点P内分对角线AC所成的比为2，当点D在以A为圆心，3为半径的圆周上运动时，求点P的轨迹方程[2]．

分析推广1中运用复数求解只是进行了多一步的简单加减运算，而如果仍然采用向量或直线方程，由于A点坐标不为（0，0），运算将更加繁琐，推广2的轨迹是椭圆和双曲线，如果运用解析法求解，在求解过程中将会得到带有x，y两个变量的表达式，需要敏锐观察力并对表达式进行大量的简化运算才能得到轨迹方程．而运用复数省去了这方面的繁琐运算，直接得出了复数形式下轨迹的表达式，极大提高了解析几何点轨迹问题的解题效率．

2.2 基于复数乘、除法则求解与旋转有关的点轨迹问题

由于复数乘、除的几何意义就是把一个复数对应的向量旋转一定角度后再把其长度伸缩而得，因此，对于某些与旋转有关的轨迹问题，可以巧妙地通过复数的乘除而得到，

分析 在探索过程中利用复数的几何的意义，把握复数数与形的本质，将代数、三角、几何等知识紧密联系在一起，抓住利用复数求解此类旋转问题的方法要领，最终实现数形转化能力的发展．

3 总结

复数既具有代数形式，又可以用几何形式表示，可以与复平面的点建立一一对应关系，因此运用复数简化点轨迹问题的求解本质上是利用平面向量与解析几何中的方程、坐标等之间的关系，把点轨迹问题转化为求解复数的运算问题，为简化问题的解答提供了一种新的思路，

对复数解决点轨迹问题的研究使学生学会从各个不同的角度分析问题和解决问题，对培养逆向思维以及思维的深刻性、广泛性有极大的帮助，而且运用复数解答解析几何问题，渗透了化归与转化、数形结合等数学思想方法，多方面提升了学生的数学素养，加强学生融会贯通地解答数学问题的能力，

参考文献

[1]龚成．复数在解析几何中的应用一例[J]．数学教学，2006 （12）：37-38

[2]熊斌，陈双双．解题高手[M]．上海：华东师范大学出版社，2003

[3]杨心衡，复数在解析几何中的应用[Jl.广西右江民族师专学报，1995（01）：38-43