新课程标准下的高中数学建模教学实践研究

彭介顾 （安徽省萧县中学，安徽 萧县 235200）

引 言

在《普通高中数学课程标准》当中的内容标准板块，要求将数学建模渗透到每个环节的教学当中去，将学生数学建模素养的培养落到实处.但是在当前的高中数学教学中，由于教师对数学建模教学的理解不够透彻，忽视了数学建模教学对学生终身发展的重要价值，导致学生在建模思想的应用方面严重匮乏，很难直接参与到数学建模活动中来.因此，教师应当形成科学的教育观念，深入解读新课程标准的精神，积极探索应用数学建模思想开展日常教学的有效方法，让学生不仅可以掌握数学知识的表层含义，同时也能够领会到数学知识的本质，达到融会贯通.教师要对数学建模教学存在的不足之处进行深入分析，建立贴合实际的数学建模流程，引导学生掌握有价值的数学建模方法，循序地提升学生的数学建模素养.

一、高中数学建模教学的现状

1.学生基础较差

很多学生没有养成良好的学习意识，虽然学生已经学过了很多的数学知识，但是对于自己已经获得的知识，学生的记忆大多停留在“学过”这一层面上.但是对于自己是怎么学的，很少有学生会有意识地进行反思，导致学生看似掌握了很多的知识，但是基础并不牢固，无法自主完成数学模型的建立.

2.学生信息抽取能力差

很多学生从小开始接受应试教育，对教师的依赖性很强，在学习数学的过程中经常会出现“听得懂，但是不会做题”的问题，导致学生无法独立地从数学问题当中抽离出数学建模所必需的信息.同时，由于数学知识的抽象性，导致学生对数学应用问题也普遍存在畏难的情绪，在审题的过程中会因此而出现思维混乱的情况，尤其是在阅读一些文字信息比较多的问题时，学生很难运用技巧和自己的逻辑思维从中找到关键的信息，从而影响了学生参与数学建模活动的质量.

3.教师忽视对建模过程的完整教学

随着新课程改革教育思想的不断渗透，越来越多的教师开始重视在数学教学中渗透数学建模的思想，进而发展学生的数学核心素养.但是由于并没有专门的教材来指导教师开展数学建模教学，导致教师很难去带领学生经历完整的数学建模过程，影响了学生数学建模素养的有效发展.

二、新课程标准下的高中数学建模教学实施途径

数学建模虽然没有固定的步骤，但是基本上包含几个必要的阶段，分别是：明确数学问题、提出合理假设、搭建数学模型、求解数学模型、分析和检验数学模型、解释数学模型.而结合学生学习的一般规律，可以将这几个阶段整合成四个步骤，引导学生经历完整的数学建模过程.下面将以“函数的单调性和最值”当中函数单调性模型的建构过程为例，对建模教学的四个步骤展开一番叙述.

1.创设情景，引导假设

数学模型的本质是从实际问题当中抽象出数学知识，而要想让学生参与到数学抽象的活动中来，则需要学生形成深入细致的思考问题的态度以及积极的探索兴趣，进而使学生可以从已有的生活经验出发来探索数学问题的本质，为学生的数学建模打造一个良好的起点.因此教师要善于通过情景创设的方式来激活学生的思维，使学生在好奇心的驱动下产生各种具有个性化的假设，在头脑中构建出对数学知识的内在驱动力.教师在创设情景的过程中要对学生兴趣、能力、数学学习能力等方面的差异进行分析，从而让每一个学生都能够参与到情景探究活动中来.

在函数的单调性模型教学中，在课堂的一开始，笔者使用了开篇点题的教学方法，让学生有意识地进入到建模教学中来.笔者首先对学生说道：“函数是我们从初中就开始学习的一种数学知识，借助函数可以让我们更好地了解事物变化的规律，而今天我们要研究的同样也是函数的一种性质.”接着使用电子白板给学生展示了一张图像，上面呈现了当地某一天的温度变化情况，再向学生提出问题：“你认为这张图像上的曲线可以代表一个函数吗？”在笔者提出了问题之后，有的学生说可以，有的学生说不可以，紧接着让学生都说一说自己判定的理由.通过讨论的方式，学生回顾了函数的定义，发现在教师提供的图像当中，对于任意的一个时间，都有一个确定的温度与之对应，因此这个图像当中的曲线可以表示一个函数.这样通过创设出学生熟悉的气温变化问题，能够有效地激发学生的探索兴趣，并让学生回忆起函数的基本观点.

2.验证猜想，建立模型

在学生完成了明确问题、提出猜想这两个活动之后，教师要针对学生提出的各种猜想，及时引导学生对猜想进行验证，让学生建立基本的数学模型.在这个环节当中，教师要强调学生的自主性，给学生充足的机会让学生交流讨论，发表自己的意见.教师要注重发挥自身的引导功能，让学生尽可能地使用数学语言来进行交流表达，从而使学生更好地提炼出数学问题的本质，归纳出基本的数学模型.

在学生借助生活中的案例回忆起函数的基本概念之后，笔者再引导学生去认真观察图像，让学生看看零点到三点、三点到十四点这两个时间段内，温度是怎样变化的.针对这个问题，要求学生以小组的方式讨论出结果.在给学生充足的时间进行合作讨论之后，笔者让学生分享讨论的成果.学生大多提出了这样的观点：在零点到三点这个时间段内，气温是在不断降低的，在三点到十四点这个时间段内，气温是在不断上升的.针对学生的描述，笔者再次向学生强调了函数的概念，让学生用“气温随着时间不断上升”这种更加准确的描述方式进行描述.紧接着，笔者再对学生说：“在刚才的探究中，我们得到了在不同的时间段内，气温会随着时间的变化而出现上升或下降的情况，这种情况反映出了函数的一种基本性质，就是单调性.”在引出了单调性的概念之后，笔者让学生自己在纸上画一画，随意画出来几个函数图像，并使用刚才的描述方式来简单描述自己画出来的图像.在学生练习之后，再让学生思考问题：“我们怎样通过规范的数学语言来描述函数这种上升或者下降的趋势呢？”这个问题同样需要学生以合作的方式来进行探讨.过了一段时间之后，有学生发现可以使用对比的方式，也就是“在零点到三点这个时间段内任意选出两个时间点，对这两个时间点对应的气温进行比较”，针对学生的这种描述，笔者回应道：“这位学生的思路非常好，大家可以接着按照他的这种思路，使用规范的数学语言来进行描述吗？”接着，笔者让学生继续合作讨论，试着让学生自己建立起增函数和减函数的模型.经过合作探索，学生可以比较好地运用“在……范围内”“任意取”“如果都有”等关键词来建立增函数和减函数的基本模型.这样通过让学生在分析生活实例的过程中学会从数学的角度、用数学的语言去描述问题、分析问题以及解决问题，可以使学生懂得如何从实际问题当中抽象出数学模型，有助于学生数学建模素养的发展.

3.总结内化，理解模型

学生在上一环节中建立出的数学模型是根据某一个问题提炼出的，可以让学生感受数学问题的本质.接下来，教师要顺应数学建模的基本原则，引导学生针对建立出的基本模型，对其进行形式化的定义，让学生通过对模型的凝练表达来理解模型，使学生体会数学模型的价值，进而让学生将模型融入自己已有的认知结构中，形成对数学模型更完善的认识.

在学生建立起了增函数和减函数的基本模型之后，笔者将两种函数性质的教材描述展示在电子白板上，让学生根据这两种定义来思考自己在解释函数的增减性时应注意哪些问题.经过一番讨论之后，有学生说道：“当两个自变量满足＜时，有（）＜（），那么这样的函数就是增函数；而当两个自变量满足＜时，有（）＞（），那么这样的函数就是减函数.”在听了这个学生的表达之后，又有学生接着说道：“我们还应当注意，要想判断一个函数的单调性，必须要确保选择的两个自变量都在函数的定义域内，并且要强调任意这两个字，如果有一种情况不符合这个描述，那么就不能称之为增函数或者减函数.”经过学生讨论和陈述，笔者再引导学生进行知识的迁移：“我们今天学习了函数单调性的知识，之后，我们会学习指数函数、幂函数等特殊的函数，这些函数是不是也会表现出单调性呢？”这样，通过让学生对建立的数学模型进行总结，可以让学生将函数的单调性模型融入自身的函数知识体系中，有助于培养学生良好的数学学习思维.

4.拓展推广，应用模型

数学建模能够为学生解决生活中的实际问题搭建起桥梁，学生经过自主建立模型，能够使学生对数学模型产生更加深刻的理解.因此为了让学生可以感受到数学建模中蕴含的乐趣，使学生收获建模的成就感，教师要在学生完成了数学建模之后，及时引导学生有意识地将数学建模应用到现实生活中去，让学生将知识进行拓展和深化，从而使学生在实际的体验当中对建立出的模型产生感性的理解，落实对学生数学建模素养的培养目标.

为了让学生进一步感受到函数单调性模型建立的重要性，笔者在学生建立了模型之后，在课堂上引入了交叉学科的思想，让学生在合作中探索两个问题，问题1：在物理学中有一个概念称之为波义耳定律，内容为＝（是常数），这个概念的含义为对于一定量的气体，当体积减小时，压强会增加.试着从数学的角度证明这个定律；问题2：小明针对某一天的气温获得了如下的信息，从早上八点到中午十二点，天气变得越来越暖和.十二点到下午一点，下起了大雨.在雨过之后，温度又开始上升了，一直到下午六点太阳落山.请你根据小明记录的情况，画出这一天早上八点到下午六点气温的大概图像，并说出其中的单调区间.这样通过引入生活中的问题来引导学生进行模型的拓展应用，可以更好地调动学生的积极性，让学生认识到数学模型的应用价值.

三、新课程标准下的高中数学建模教学反思

1.深入挖掘教材，探索建模思想

现阶段，我国的整体教育机制正在实现从应试教育到素质教育的转变，新一版的高中数学课程标准同样强调了数学教育要将培养学生的数学应用思想作为主要的目标之一，使学生懂得数学学习的价值.因此为了落实课程标准的要求，教师应当要有积极备课的意识，在教学准备的过程中对教材中的模型思想进行深入的挖掘，明确教材当中知识的来源，从而在教学的过程中更好地建立起基础数学模型.

同时，在确定教学目标的过程中，教师也要将模型的理解作为重要的教学内容，使学生找到数学知识和数学建模思想的交叉点.比如，在引导学生建立指数函数的模型时，教师可以引入生物方面的知识，让学生去回忆细胞分裂的过程，让学生可以从生物现象中抽象出数学概念.总之，教师要对教材展开充分的研读，结合课程标准对学生应用能力提出要求，挖掘出教材当中蕴含的数学建模思想，实现用教材而不是教教材.

2.关注已有模型，促进自主发现

数学建模是一种思想，通过引导学生反复经历数学建模的过程，使学生逐渐掌握数学建模的有效方法，进而让学生懂得如何从现实生活问题当中抽象出数学模型.而在高中数学教学中，由于学生的数学建模基础普遍比较薄弱，因此在刚开始展开数学建模教学时，教师要减少学生自主建立模型的过程，要积极引导学生从已经建立好的模型来理解数学建模的内涵，避免学生因过早地展开自主建模而对数学建模活动产生误解，出现基础不牢固的情况.

在高中数学建模教学中，教师要对学生已经获得的数学模型进行充分的挖掘，让学生可以构建出基本的数学认知框架，从而为学生自主发现生活中的数学模型做好准备.教师要对学生学到的数学概念、定理、公式等知识进行充分的探索，积极引导学生去分析这些知识形成的过程，让学生可以开展有意义的数学探究活动.同时，教师也要注重引导学生将自己新获得的知识和自己已经获得的知识经验联系在一起，使学生从中发现数学建模的规律，落实对学生数学建模素养的培养.

3.加强课堂练习，渗透建模思想

在建模教学中，让学生运用数学模型去解决实际问题是一个十分重要的环节，能够使学生自然而然地实现对数学建模过程的反思，让学生巩固学到的方法、概念和定理.在实际的教学中，经常会看到学生明明对基础知识的掌握十分牢固，但是在解题的过程中却会出现很多的错误，这是因为学生没有及时巩固自己的知识，缺乏实际应用的经验.因此在高中数学建模教学中，教师要向学生展示基于数学建模思想的解题方式，让学生可以按照自己建立数学模型的步骤来解决问题，用逻辑思维去找到问题的答案，从而让学生对数学知识融会贯通.

同时，教师也要在学生解决问题的过程中鼓励学生从不同的角度去思考问题.针对同一问题，有时可以建立出不同的数学模型，让学生去寻找多种解题方法，可以使学生形成灵活的问题思考方式，使学生的归纳能力、探究能力、分析能力等获得提升，培养更加灵活的数学建模思想.

结 语

当前，高中数学教学中建模思想的渗透还存在很多的不足，因此教师应当深入贯彻新课程标准的精神，加强对高中数学课程标准中教学内容的解读，总结出行之有效的数学建模教学方法，使学生的数学建模能力获得实质的提升，为学生以后高效应用数学知识解决问题奠定良好的基础.教师要结合数学建模的一般方式，使用合适的方法将建模的思想融入教学中来，帮助学生建立适合自己的数学建模体系，改善高中数学建模教学的质量.