随机分析课程的教学改革与实践

2022-11-08◎郑言

数学学习与研究 2022年22期

◎郑言

(国防科技大学文理学院，湖南长沙 410022)

随机分析是概率论的一个重要分支，它诞生于20世纪40年代，创始人伊藤清以此获得1987年沃尔夫数学奖.在其获奖评价中专家指出：随机分析可以看作随机王国中的牛顿定律.时至今日，它在金融、网络、监测、生物、医学和图像处理等方面仍有重要应用.2016年3月国家基金委八大学部郑重发布了“十三五”期间的“优先发展领域及其主要研究方向”.其中，数学学科仅遴选了四个研究领域，而“随机分析方法及其应用”赫然在列.基金委强调这是为了“通过支持我国优势学科和交叉学科的重要前沿方向，以及从国家重大需求中凝练可望取得重大原始创新的研究方向，进一步提升我国主要学科的国际地位，提高科学技术满足国家重大需求的能力.”

研究生作为科研工作的主体，需要熟练运用现代化的科学研究方法.因此，将随机分析课程纳入研究生培养计划，是提升研究生创新能力十分重要的环节.然而，我们的调研表明，国内很多高校并不具备开设这门课程的条件，即便开设了这一课程，也存在着种种问题.

随机分析实质上是一门“高端”的数学课程，以高等数学、概率论、随机过程等选修课为基础，不仅要求学生具备扎实的分析学功底，而且也要求学生具备相当的随机思维能力.对于很多研究生而言，“随机过程随机过”并不是一句玩笑话，那么在随机过程之上的随机分析就更是难以攀登的高峰了.

随机分析数理分析性强，学习周期长.大多研究生对基础性、理论性、抽象性强的数学课是抗拒的，而随机分析在这些方面还高于它的所有先修课程.学生要想入门这一课程，起码要学习随机积分的定义和相关性质，一般这就需要课程的一半学时了，而这部分内容十分不好理解，需要学生对微积分中的积分理论、概率论中的期望、条件期望与收敛，随机过程与布朗运动等知识点有一定的体会，在此基础上再细致琢磨随机积分的构建理论.可以说这部分教学内容是纯数学的，即便面向数学专业的研究生也颇有难度，更遑论其他专业的研究生了.

一门工科研究生需要选修的课程，应该具备应用要素，而随机分析的应用环节介入迟，理解难度高.这其实仍然与随机分析的学习周期有关，即便只是想要泛泛了解与课程相关的应用例子，也要学习随机微分方程和扩散的相关知识，这一般就要到课程的收尾阶段了.随机分析课程的尴尬之处就在于此，在前面的授课内容虽然可以点出多处数学上的闪光点，但是在应用上乏善可陈，这对大多研究生的意志品质是一个很大的考验，如何不被茫茫的数学理论消磨兴趣，坚持到最后领略应用的风景？

其实，随机分析课程在教学上所面临的挑战不止于此，还有课程建设滞后、师资队伍薄弱、课时紧张、教材不趁手等.为此我们提出以下几点应对措施.

一、明确教学对象，制定合理的教学目标和教学规划

随机分析的教学对象可以简单分为两类：一类是数学专业的学生，另一类是其他专业的学生.前者理论功底好，对应用的兴趣一般，更希望能深入地学习随机分析的理论知识,而后者大都是冲着随机分析的应用性选课的，他们的数学基础只是高数和概率论，一般没有学过随机过程.因此，有条件的学校应该至少开设两个班，将这些学生分流.学校如果不能做到这点，就要采用灵活细化的分层教学，根据学生的数学基础，针对学生的数学素质、个人意愿、专业方向等要素进行分层，在确保完成教学大纲基本任务的前提下，制定更细化的教学目标和配套的教学规划，在兼顾大多数学生的需求下，提升课程的深度和受众性，让不同基础的学生都能跟上课程进度，学有所得，学有所获，引导不同学生朝着自己的优势方向发展.在具体的实施方案上，教师应该用问卷调查等方式掌握选课学生的实际情况，尤其是把握他们的数学基础与选课预期之间的矛盾，以做到有的放矢，制定有明确指向性的教学目标；应该把握教学目标与教学规划的一致性，做到“一以贯之”，将教学规划细化为长期、中期、短期规划，试图在不同的学习阶段保持学生的学习激情；应该将知识体系结构化、教学内容模块化，以便灵活地实施新学期的教学规划；应该持续建设案例库和习题库，针对不同的教学目标配套不同的教学资源.

二、选择合适的教材

随机分析的讲义大致可以分为三类：一是面向数学专业的学生，无疑这是最难读的一类教材，一般以建立半鞅的积分理论为目标，而基本不涉及应用章节；二是面向非数学专业的一般学生，此类教材一般在理论部分希望能尽量简化，如只介绍最简单的布朗运动积分理论，而将大量篇幅放在应用上；三是面向金融专业的学生，此类教材在理论上的难度与第二类接近，不过在应用环节一般只举金融方面的例子，素材十分丰富.因此教材的遴选是一个非常慎重的问题，即便是撰写专门的讲义也不能很好地适应每年授课对象都在变化的现实，一般是要与当年的教学规划尽量契合，很多时候应该以一本教材为主，另择几本教材为辅，在课上适时地布置好阅读任务，让不同层次不同需求的学生制定不同的阅读策略.需要指出的是，做教材的比较研究是很有意义的事情，它不仅可以帮助教师找准教学目的与教材的对接点，而且可以丰富教学内容.如不同教材的定义和定理陈述会有所差别，在定理证明上、内容的处理上会体现更大差别，归根结底与作者的倾向性有关.出现分歧的地方教师要特别重视，因为这往往体现同一个内容在不同视角下的不同呈现.教师可以从中深挖细掘，寻觅合适的教学素材向学生讲授，加深他们的理解.如不同教材里随机积分的定义有多种，形式上与被积函数和积分值有关，但实质上与鞅论有千丝万缕的联系，这不是只接触一种随机积分理论就能知道的数学认识.

三、在教学设计上兼顾大局观与细节感，优选教学内容

教师首先将知识点模块化，区分为理论知识和应用知识两类；然后针对不同的学生群体将知识按照了解、识记、理解、掌握四个层次划分，以确定教学的主次；最后构建知识框图、标出知识点与知识点之间的联系，帮助学生梳理起脉络体系，形成完整的知识结构.简单而言，随机分析的核心基础理论知识是随机积分和随机微分方程，其他知识点如果不是为了它们的引入而做的必要准备，就是在它们基础上的拓展和应用.对于随机积分理论，最重要的是伊藤公式和伊藤等距的建立，关注于理论的学生重点是通过研究这两个公式的证明分析布朗运动(或者半鞅等其他过程)的哪些性质被利用，而关注于应用的学生重点是熟练掌握这两个公式的使用.因此教师除非不讲证明，讲证明就要点出其中的关键点.公式的学习不仅要辅以大量训练，而且教师要指出其应用的时机和小心避免的错误，以提升学生的学习效率.教师对每堂课的结构要有全局设计的意识，在起承转合中突出教学重点，分散教学难点.教师要恰当地确定学生独立探究、力所能及的最近发展区，精心考量，布置难度适当、有思考空间的典型问题，创设情境.教师扮演一个组织者的角色，始终做一个称职的引导者，适时介入，巧以点拨，诱导探究的方向；注重学生的自我发展和互相促进，让学生之间交流成果，对模糊认识及分歧处进行讨论，对照自己的思路深刻总结；努力为学生的合作、竞争搭建舞台，让他们只要有讨论的机会就可以放开手脚、相互质疑、相互探究、相互碰撞，从而相互融会、相互补充、迸发思维火花，促进创造思维的发展.经过这样的教学过程，发现式、发散式、启发式、研讨式等多样的教学方式会多元组合交叉作用发挥实效，这不仅打牢了学生的数学基础，而且培养了他们的创新思维能力及从事学术研究的品质.

四、注重随机数学思维的养成

如果说概率论与数理统计是大学随机系列数学课程的起点，那么随机分析就是终点.一个有意思的现象是即便是数学专业基础好的学生，在学习概率论与数理统计时也会感觉困难重重，那么可以想象他们在学习随机分析时会遭遇更大的挫折.造成这种问题的原因在于，随机系列课程与其他数学课程不同，需要学生具备特殊的随机数学思维.一般而言，我们在提到数学思维时想到的会是严密的逻辑思维能力、高度的抽象思维能力、丰富的(直观)想象能力、敏锐深刻的观察力和洞察力、创造性的思考能力和构建能力等，而随机数学思维其实也蕴含其中，只是需要我们深入地了解随机数学，洞察其中的精神和本质.比如样本空间其实是抽象的结合，数学期望是抽象的积分，关于鞅的收敛定理本质上是关于可测函数的收敛定理，只有理解了其中的随机背景才能更好地理解并应用.总之，教师既要注意指出随机分析中各个概念和定理的“分析内核”，又要点出如何在随机观点下审视它们，并提供丰富的指导性线索.这样，教师可以培养学生逐步形成随机数学思维，让他们举一反三，由老师牵着走变成自觉地探索和发现.随机数学思维的养成还应辅以习题训练，教师在总结解题规律和技巧的过程中，应引导学生具备正确的解题思路，使学生在此基础上提升到思维训练的层级，实践横行思维训练、逆向思维训练、多路思维训练、立体思维训练、侧向思维训练、组合思维训练等.教师可以将典型问题拓展，设置一些开放性的题目，设计多样性和多层次的关联问题，可以一式多变、一题多问、一题多思、一问多解，多题一解，引导学生从多角度、多层次改造问题、拓展问题、分析问题、解决问题.这样的习题训练可以帮助学生锻炼集中思维与扩散思维的结合、求同思维与求异思维的结合、正向思维与逆向思维的结合，最终形成确定思维与随机思维的结合.

五、适当引入数学史，提高数学审美

随机分析是一门很有魅力的学科，在它发展的历程上有很多闪光点，吸引了当时法国、日本、前苏联最顶尖的一批数学家.教师在教授这门课程的时候，应该点出其中的一些亮点，这样不仅可以提升学生的学习兴趣，也可以降低课程的难度.比如布朗运动的定义离不开爱因斯坦的洞见，这位伟大的科学家在这里的贡献是什么？他突破了前人的哪些局限，他为后人做好了哪些准备？伊藤清为什么要发明随机积分？他的原始动机是什么？为什么在鞅论后面人们又建立了上下鞅、拟鞅、局部鞅、半鞅等理论？-分解为什么十分重要？它们与随机积分的发展历程有怎样的关系？当时闭塞的苏联学术界独立创立了哪些理论？他们的哪些工作后来可以视为是与西方数学界英雄所见略同？学生一旦了解了其中的历史，就能够自然掌握很多知识点的学习脉络了，对重难点也会渐渐明晰.学习随机分析另外一个途径是让学生认识到其中的数学美，而不是单纯地把它当成一门由符号与公式堆砌的数学工具.罗素曾说过：“数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美……这种美没有绘画或是音乐那样华丽的装饰，它可以纯洁到崇高的程度，能够达到只有最伟大的艺术才能显示的完美境界.”黑格尔也说过，“理性的最高行动是一种审美行动，我深信，真和善只有在美中间才能水乳交融……一个人如果没有美感，做什么都无精打采”.因此，在随机分析非常多的数学定理与公式之下，依然凝聚着丰富的人文精神，寄托了人类对美的诉求.随机分析教学的一个高层次内容就是以知识为载体培养学生的数学审美，让学生感受数学文化的熏陶，重新认识和审视随机分析.如布朗运动的定义非常简单，直观很容易理解，但是它的数学构造非常烦琐，在一般的教科书中要用大概一节的内容讲授.其实，布朗运动的定义本身就体现了数学的简洁美、和谐美、对称美等多方面内容，而构造过程本身是将这些不同角度的美逐步呈现出来，宛如一幅徐徐展开的画卷，懂得欣赏的人自然会不厌其烦而乐在其中.

六、发挥教师的引领作用，让自主学习发挥实效

随机分析是一门十分前沿的课程，仅靠课堂机械地传授知识不仅枯燥，而且教学容量也会受限.教师要想实现高效的教学效能，必须激发学生的兴趣，让他们对学习产生自觉性和积极性.教师要处在科研一线，了解学术前沿动态，结合教学内容为学生适当引介最新的发展，提升学生的数学认识，指导学生在高观点下解读知识点和理解问题，让他们从单纯的题目训练中解脱出来，看到另一道风景.为此，教师应该努力建设课程的精品网站，链接相关知识和参考资料，引导学生进入一些教学或科研的调研课题，开拓学生的视野，让他们主动获取一些信息.教师还可以利用网络引入互动式教学模式，将教学平台从课堂拓展到互联网平台，这样教师不仅可以为学生答疑解惑，也可以成立小群组成不同的研讨小组，让不同程度不同兴趣的学生在课下得以分流，促进学生化被动学习为主动学习.如近年来随机分析领域最激动人心的发展就是粗糙路径理论和正则结构理论，它们与传统的随机积分理论迥异，说是改头换面也不为过.在课堂的有限学时内教师为学生系统讲解这一理论并不现实，但教师如果能让学有余力的学生对其提前了解，那么对于开发他们的学习潜能是十分有意义的.