不同先验下反向帕累托分布形状参数的估计
2022-11-04蓝海，徐宝
蓝 海， 徐 宝
(吉林师范大学 数学学院， 吉林 四平 136000)
0 引言
反向帕累托分布的密度函数和分布函数分别为
f(x;θ,α)=αθ-αxα-1,0
F(x;θ,α)=θ-αxα,0
其中α为形状参数,θ为位置参数，简记为RP(θ,α).目前关于反向帕累托分布的理论研究相对较少,实际应用偏多，如：文献[1]在研究帕累托种群时使用了反向帕累托分布；文献[2]首次提出将反向帕累托分布应用于城市人口分布的研究中；文献[3]使用RP(θ,α)分布拟合我国居民收入；文献[4]将RP(θ,α)分布与其它分布进行组合得到了形式更为灵活的组合分布模型.理论研究的仅有文献[5]反向帕累托分布参数估计及应用.
但文献[5]并没有讨论RP(θ,α)分布形状参数的E-Bayes估计，E-Bayes估计最早由文献[6]提出，目前该方法已经具有充分的发展，如：文献[7]使用E-Bayes估计研究超参数选择对先验的影响；文献[8]给出了逆威布尔分布参数E-Bayes估计的新公式；文献[9]认为Ⅱ型截尾数据下双参数浴缸型寿命分布参数的E-Bayes估计优于Bayes估计；文献[10]发现参数的E-Bayes估计更便于计算与应用；文献[11]运用E-Bayes估计得到了失效概率pi的点估计.因此本文将在不同先验信息下，使用加权p,q对称熵损失函数
(1)
在位置参数θ给定时,研究反向帕累托分布形状参数α的Bayes估计以及E-Bayes估计，并通过使用MCMC算法进行仿真模拟比较估计之间的性能，进而巩固反向帕累托分布的理论研究.
1 形状参数的Bayes估计
使用Bayes分析往往需要利用先验信息，当先验信息只有极少甚至没有先验信息时可以使用共轭先验以及Jeffreys无信息先验，因此本节分别在共轭先验与Jeffreys无信息先验下，使用损失函数(1)得出当位置参数θ已知时，RP(θ,α)分布形状参数α的Bayes估计的表达式.
定理1.1设X1,X2,…,Xn为来自RP(θ,α)分布的一组样本,记X=(X1,X2,…,Xn),在损失函数(1)下,对于任意的先验分布,形状参数α的Bayes估计为
证明任意选取一个参数α的估计量δ(X),在损失函数(1)下,δ(X)的Bayes风险为
推论1.1若RP(θ,α)分布的形状参数α的先验分布为Γ(β,γ),其中参数β、γ均为定值,则在损失函数(1)下，形状参数α的Bayes估计为
δB(X)=
证明由于形状参数α的先验分布为Γ(β,γ),于是有
又因为RP(θ,α)分布的密度函数为f(x;θ,α)=αθ-αxα-1;0
因此形状参数α的后验密度为
同理可得
由定理1.1易知,α的Bayes估计为
同理可得
E(α-q|X)=
由定理1.1易知,α的Bayes估计为
2 形状参数的E-Bayes估计
使用共轭先验推导Bayes估计时，出现了两个新的参数β、γ,为了简化计算在上一节中人为地将这两个参数设为已知量，这种方法可能会影响估计的仿真性，因此本节结合文献[12]给出了形状参数α的E-Bayes估计进而降低新参数对估计仿真性的影响.
定理2.1RP(θ,α)分布中的形状参数α在损失函数(1)下的E-Bayes估计为
δEB(X)=
证明由推论1.1可知参数α在损失函数(1)下的Bayes估计为
δB(X)=
δEB(X)=
3 随机模拟
由于所得的估计中含有常数p,q,c,为了更好地比较估计之间的性能，首先通过取Be(1,1)为提议分布，分别在θ=1以及α=(0.05,0.2,1.5,4)下运用R软件进行MCMC模拟，通过1000次的迭代其中Markov链如图1所示.
图1 θ=1时α=(0.05,0.2,1.5,4)的迭代图
由图1可以发现，当α=1.5时迭代效果较好.接下来为了使结果更具有一般性，在α=1.5的条件下选取θ=(5,10,100,1000)进行MCMC模拟，结果如图2所示.
图2 α=1.5时θ=(5,10,100,1000)的迭代图
由图2可以发现，参数θ对模拟结果影响较小，因此为了便于后续计算，选取θ=1并从该链生成的数据中截取第501到第600之间的数据作为容量n=100的样本，其次分别在p≠q与p=q以及β=0.5,γ=1条件下根据所得样本进行数值模拟，模拟结果如表1至表3所示，表中结果均为模拟结果的平均值，其中Bayes表示形状参数α的贝叶斯估计，MSE表示估计的均方误差，Abs表示偏差的绝对值.
表1 共轭先验下形状参数Bayes估计的模拟结果(θ=1,α=1.5,q=1,p>q)
表2 共轭先验下形状参数Bayes估计的模拟结果(θ=1,α=1.5,p=1,p 表3 共轭先验下形状参数Bayes估计的模拟结果(θ=1,α=1.5,p=q) 由表1至表3可以得出： (1)当参数p大于q时，随着p,q之间的值相差越来越大，形状参数α的Bayes估计和均方误差以及偏差的绝对值都有递增的趋势.当p小于q时，随着p,q之间的值相差越来越大，形状参数α的Bayes估计和均方误差以及偏差的绝对值都有递减的趋势，但是当p,q之间的值差达到某一峰值时，Bayes估计、MSE、Abs开始递增. (2)当参数p,q相等时，随着p,q的改变，形状参数α的Bayes估计的均分误差和偏差的绝对值波动较小相对稳定，因此在使用加权p,q对称熵损失函数对反向帕累托分布形状参数α进行更深入的研究与探讨时，若要求精度较高，对于参数p,q的选取应适当将q的值稍大于p的值，但是若不要求精度，可以将参数p,q取为相等的数，可以使得到的结果相对稳定. 最后根据上述结论，为了得到波动较少的稳定值，接下来在p=q=1以及c=(0.5,4,5,7,50)的条件下对E-Bayes估计进行仿真模拟.模拟结果如表4所示，其中EB表示形状参数α的E-Bayes估计 表4 形状参数E-Bayes估计的模拟结果(n=100,α=1.5,p=q=1,θ=1) 由表4可以发现c=(4,5,7)的稳健性较好，因此居中选取c=5时的结果与不同先验下Bayes估计的仿真结果进行比较，比较结果如表5所示. 表5 形状参数估计的模拟结果(n=100,α=1.5,p=q=1,θ=1,c=5) 由表5可以得出下述结论： (1)E-Bayes估计和MSE以及Abs的值相比Bayes估计具有较好的仿真性，因此可以得出E-Bayes估计能够有效地降低先验信息中所含新参数对结果的影响. (2)在共轭先验与Jeffreys无信息先验下的估计都与真值相差较小，从而进一步验证了无信息先验对Bayes分析的影响较小是可以接受的. 针对反向帕累托分布的参数估计体系还不够丰富，以及E-Bayes估计的广泛使用，本文通过Bayes分析，探讨了反向帕累托分布的形状参数α在不同先验信息下，使用加权p,q对称熵损失函数分别得到了相应的Bayes估计，通过并结合相关定义以及文献，给出了反向帕累托分布的形状参数α的E-Bayes估计.最后运用R软件使用MCMC算法进行仿真模拟，通过模拟结果验证了无信息先验是可以接受的以及E-Bayes估计的仿真性优于Bayes估计，从而完善了反向帕累托分布的参数估计体系.
4 结束语
