二年级学生用除法解决问题的典型错误与对策

□汤飞梅

除法是重要的四则运算之一。二年级学生学习表内除法时，要体会除法运算的含义，并学习用除法运算解决简单的实际问题。从教材编排来看，“除法的初步认识”分为两个层次。一是通过“每份同样多”的实例和活动情境，帮助学生建立“平均分”的概念。教材通过让学生参与平均分的活动，认识平均分的两种不同情况：等分和包含。二是在建立“平均分”概念的基础上引出除法运算的含义。除法运算包括“等分除”和“包含除”两种情况。然而，由于二年级学生初学除法运算的含义，他们在用除法解决实际问题时，经常会出现“除法运算与其他运算混淆”“条件信息与问题混淆”“等分除与包含除混淆”等典型错误。可基于学生的这些错误，有针对性地提出相应的对策。

【错误类型一】思维定式，造成除法运算与其他运算混淆

图1是检测练习中的一组题目，解决问题中既有乘法，又有除法与减法。学生在一年级学习了加法和减法，二年级上册的学习内容主要是乘法，二年级下册的学习内容主要是除法。在解决问题中情境的相似性容易让学生产生思维定式，造成运算混乱。如图1中，学生解决第（4）题时就用了除法运算。这说明其对除法含义理解不透彻，对四则运算意义没能很好地进行辨析。

图1

【对策】由点到面，梳理四则运算之间的意义关系

教材中“除法”是通过“直观或操作—文字叙述—算式”的方式编排的。在实际教学中教师需要根据学情进行调整，让学生在理解除法含义的基础上，整体构建加减乘除四则运算之间的联系。如人教版教材二年级下册《用2～6的乘法口诀求商》例1，“12个桃，每只小猴分3个，可以分给几只小猴”。在教学时，很多学生已经能直接列算式12÷3=4。因此，教师要从“关注运算结果”调整为“呵护运算过程”，让学生用自己的方法来证明为什么是12÷3=4。当学生的答案中出现多种方法（如图2）后，要引导他们进行沟通与关联，呈现结构化表达（如图2），帮助学生构建四则运算之间的意义关系。

图2

加减乘除四则运算的意义本质上就是“分”与“合”。加法运算和乘法运算是“合”的过程，加法是不同加数的“合”，乘法是相同加数的“合”；减法运算和除法运算是“分”的过程，减法是从总数中分出一部分求另一部分，除法是把总数分成若干相同的数。教师教学除法运算时，可以有意识地让学生体会四则运算意义之间的关联性，从而实现运算的一致性（如图3）。如让学生先用乘法解决问题，“每4个苹果装一盘，有这样的三盘，一共有几个苹果”。然后将该题改编成除法应用问题，“有12个苹果，每4个装一盘，可以装几盘”。再用同样的“苹果装盘”情境，编写一道“12-4”的问题，“现有12个苹果，装成两盘，其中一盘有4个，另一盘有几个”。让学生在比较中体悟四则运算之间的关系，明白除法中的“每份数”与减法中的“部分数”不同。

图3

【错误类型二】审题不清，造成条件信息与问题的混淆

二年级学生对数学信息收集、挖掘、选择、加工的能力比较薄弱，在解决问题中对数学信息的辨析能力不强。如图4所示的题目中，左边的图式是8个桃子平均分成2份，求每份是几个，已知量是总数8和份数2。右边的图式中是8个桃子，每2个一份，求可以分成几份，已知量是总数8和每份数2。题目中的错误源于学生不能根据图式分析数量关系，搞不清题目中已知量是什么，未知量是什么，它们之间有怎样的关系。

图4

【对策】凸显数量关系，从理解意义到提炼结构

一、用透教材，突出数量关系

培养学生收集、辨析、选择信息的能力不是一蹴而就的，需要教师有意识地培养。其中，让学生联想信息之间的关系就是一种很好的培养方法。如人教版教材二年级下册《用2～6的乘法口诀求商》例2，教师可以挖掘教材中的学习材料，用好用透教材。根据例题图式，教师提供三个数学信息：①每屉装4个包子；②装了6屉；③一共有24个包子。让学生选择两个数学信息作为条件，另一个数学信息变成问题。教师可以启发学生利用三个数学信息编写简单的数学问题，并列式计算。

（1）条件信息：每屉装4个包子，装了6屉。

问题：一共有几个包子？

算式：6×4=24（个）。

（2）条件信息：一共有24个包子，装了6屉。

问题：每屉装几个包子？

算式：24÷6=4（个）。

（3）条件信息：一共有24个包子，每屉装4个包子。

问题：装了几屉？

算式：24÷4=6（个）。

上面三个数学问题都可以用乘法口诀四六二十四求出来。在沟通联系中，学生体会条件信息与问题之间的关系，理解数量关系。

二、提炼结构，分析数量关系

对二年级学生而言，把握隐含的“数量关系”有一定的难度。通常“数量关系”隐含在具体情境中，教师教学中要注重让学生在具体情境中感悟、体验“问题”结构。教师可以呈现上述错例，让学生“辨一辨、析一析”，在辨析过程中提炼显性结构“已知量相除等于未知量”（如图5）。在这个过程中，教师要指导学生分析已知数量之间、已知数量与未知数量之间的关系，再根据运算的意义来选择算法。如图4，教师可以围绕图式引导学生进行自我提问：“图中告诉我们哪些条件，要我们求什么问题？”“条件和问题有怎样的关系？”让学生学会分析数量关系从而解决问题。

图5

【错误类型三】理解偏差，造成等分除与包含除混淆

在图6中，左边一题“平均分成6份”，不是6个6个圈，而是要根据每份3颗来圈。右边一题“平均分成4份”，也不是4个4个圈，而是根据每份有2个西瓜来圈。不能根据“数字的先后呈现顺序”来判断“圈的个数”。

图6

【对策】立足关联，重视数学模型建立

一、解读除法含义的本质模型

在小学的第一学段，对除法概念本质的理解就是“平均分”。在“平均分”的教学中，既要引导学生关注平均分的过程和分的方法，也要关注平均分的结果——每份同样多。平均分物有两种情况：一种知道要分的总数和平均分的份数，求每份数是多少（等分除）；一种知道要分的总数和每份数，求平均分的份数（包含除）。等分除中，可借助几何直观，帮助学生体会“几份”的含义，如6份，可以用6个盘子、6个圈等表示。包含除中，可通过对一个盘里有几个、一个盒子里有几个、一个圈中有几个等的观察，体会“每份数”的含义。在对比辨析中，学生体会到两种不同情况的平均分活动。

二、实施数学化过程，构建算式模型

建模是一个过程，算式建模会经历以下过程。先从现实情境到直观模型，再从直观模型到抽象的算式模型，最后又从抽象的算式模型回到现实情境中进行检验（如图7）。这个过程既体现了从现实情境、直观模型到算式模型的数学化，又可以用算式模型来解释现实情境和直观模型。在这种“有来有回”的过程中，学生通过现实情境和直观模型理解除法的意义，同时也学会了用除法解决问题的能力。

图7

三、利用思维导图，丰富学生多元表征

由除法算式联想到的表征方式越丰富，学生对知识的理解也就越深刻。如教师出示除法算式24÷4，让学生联想不同的表征方式。这幅思维导图（如图8）是学生用“算式”“图式”“含义”和“解决问题”等方式表征“24÷4”的含义。在多元表征的基础上，教师要引导学生用数学语言来表达“总数、每份数、份数”之间的数量关系。在学生用数学语言表达的过程中，他们通过不断地对比，利用“总数、每份数、份数”之间的数量关系厘清“等分除”和“包含除”两种情况，从不同角度理解了“24÷4”的含义。

图8

通过以上一些策略的实施，学生会更加关注平均分的过程和结果。在解决问题时，学生能从已知信息与要解决的问题入手，正确分析数量关系；能用数学语言表达等分除和包含除的含义。教师要帮助学生体会除法运算的含义，使其学会用除法运算解决简单的实际问题。