傅里叶变换光谱仪角镜二面角误差分析研究

胡景森，黄 旻，高 寒

（1.中国科学院 空天信息创新研究院 计算光学成像技术重点实验室，北京 100094；2.中国科学院大学 光电学院，北京 101408）

引言

光谱仪是获取物质光谱的仪器，可以对物质结构和组分进行高精度分析，是目前科学研究中重要的检测和分析手段。光谱仪以其分析精度高、测试速度快、无损检测等优点，在化工、环境、食品、遥测等领域得到了广泛的应用[1-4]。其中，时间调制型傅里叶变换红外光谱仪(Fourier transform infrared spectrometer，FTIRS)，因其光谱分辨率高、光通量大等显著优点[5]，逐渐成为目前光谱分析的主流仪器。传统的时间调制型FTIRS 中干涉仪部分采用经典的迈克尔逊干涉仪结构，由平面动镜、定镜和分束器等部分构成。在实际应用中，由于装调误差，可能会导致平面动镜或平面定镜倾斜，使光束偏转，影响光谱复原质量[6-8]。常用解决办法是使用动态准直系统[9-10]，但是动态准直系统必须先检测到误差，再进行校准，导致调整过程总是滞后。虽然可用角反射镜[11-12]和猫眼反射镜[13]代替平面定镜和平面动镜来解决光束偏转问题，但是这两类光谱仪动镜安装的位置可能发生横移，或在运动过程中可能偏离理想的运动方向，对干涉质量造成影响[14-15]。目前，主流的高性能时间调制型FTIRS 多采用旋转方式产生光程差，角镜摆臂型FTIRS[16]即为其中一种。相较于其他类型光谱仪，角镜摆臂型FTIRS 消除了剪切问题[17]，具有结构紧凑、对元件倾斜不敏感等特点[18]，现已广泛用于光谱仪设计中[19-20]。

由于存在装调误差，角镜摆臂型FTIRS 中角反射镜的3 个反射面之间不一定严格垂直。角反射镜的二面角装调精度将影响光线的准直情况，最终影响光谱质量。为实现FTIRS 具有较高的分辨率，讨论角反射镜的二面角公差很有必要。本文将结合理论推导和光学软件模拟的方法来探讨角反射镜的二面角公差，为后续光谱仪设计和装调提供参考。

1 基本理论

角镜摆臂型FTIRS 结构如图1所示。光源射出的光经过分束器被分为透射光和反射光，o1、o2分别为分束器和转动平面的中心，在零光程差位置时，转动平面垂直于分束器平面。根据图1所示，分别建立全局坐标系x1y1z1、转动平面坐标系x2y2z2和角反射镜坐标系x3y3z3。根据三者之间的空间位置关系，利用坐标变换矩阵和光线追迹方法可以求得相干光束之间的夹角，进而求出干涉强度的数学表达式。

图1 角镜摆臂傅里叶变换光谱仪原理Fig.1 Oscillating Fourier transform spectrometer with corner-cube reflectors

1.1 坐标系变换

角反射镜坐标系的具体示意图如图2所示。其中坐标原点o3为反射镜M1 的一个顶点，反射镜M1 与M3 相交的棱边为x3轴，反射镜M1 与M2 相交的棱边为y3轴，反射镜M1 的法线方向为z3轴，为角反射镜的光轴方向。当角反射镜不存在二面角误差时，出射光与入射光平行。如果角反射镜存在二面角误差，则出射光线与入射光线不再平行，将产生夹角[21]，引入额外光程差，使调制度下降。

图2 角反射镜坐标系Fig.2 Coordinate system of corner-cube reflectors

根据文献[12]可知，在光束不超出角反射镜有效反射面的情况下，角反射镜绕光轴的偏转不会影响干涉质量。因此，角反射镜和转动平面的空间位置关系有很多种。假设转动平面坐标系可由角反射镜坐标系绕过原点o3，单位方向向量为的旋转轴旋转 θ得到，那么，由角反射镜坐标系变换至转动平面坐标系的变换矩阵Tcp可以表示为

为了计算和建模方便，选取其中一种情况进行讨论。令：

在这种情况下，角反射镜的光轴方向noc垂直于转动平面。虽然变换后的角反射镜坐标系与转动平面坐标系的原点不重合，但是并不影响变换后向量的方向。

由于转动平面在零光程差位置时与分束器平面垂直，为了将转动平面坐标系变换到全局坐标系，需要知道分束器平面与x1o1y1平面的夹角。假设分束器平面与x1o1y1平面的夹角为α，转动平面绕x2轴正方向顺时针摆动β度，则全局坐标系可以看作是转动平面坐标系绕x2轴正方向顺时针转动γ=90°-α+β。坐标系变换矩阵Tpg为

同理，虽然变换后的坐标系原点不重合，但是并不影响变换后向量的方向和后续光线偏转角的求解。

1.2 干涉强度与调制度推导

首先对角反射镜坐标系进行分析。假设反射镜M1 与M2之间的二面角误差为 δa，反 射镜M1 与M3 的二面角误差为 δb，反射镜M2 与M3 的二面角误差为 δc，那么M1 与M2、M1 与M3、M2 与M3 之间的夹角可以分别表示为 π/2+δa，π/2+δb，π/2+δc。根据所建立的坐标系，可以令反射面M1、M2 和M3 的单位法线向量为

又有：

由于 δa，δb，δc均为很小的值，所以有 c os(δk)=1，sin(δk)=δk。联立(4)式～(6)式可得：

那么，全局坐标系下反射镜面的法线向量为

式中，i=1、2、3，分别表示反射面1、反射面2、反射面3。后文出现i表示的意义相同。

根据矩阵形式的反射定律，全局坐标系下3 个反射面的反射矩阵可以写成：

根据入射光方向，存在6 种反射情况[21]，6 种情况相似，选取其中一种分析即可。假定全局坐标系下，透射光路射入角反射镜的单位方向向量为分别经反射面1、反射面2 和反射面3 反射，那么出射光线可表示为

同理，可以求得反射光路中出射光线的方向向量O′，那么两束光之间的夹角为

根据上述推导可以发现，相干光束间夹角不仅受到二面角误差的影响，还受到摆角的影响，因此需要确定摆角的范围。当选择了矩形窗切趾函数时，角镜摆臂型FTIRS 摆角与光谱分辨率的关系为[22]

式中：R为摆臂长；Δσ为光谱分辨率。根据光谱分辨率即可确定摆角范围。

将光路展开后，等效光路如图3所示。干涉坐标系x4y4z4以探测器中心o4为坐标原点，且探测器足够大，能接收所有光束。图3 中CCR1 和CCR2分别对应2 个角反射镜，L表示零光程差位置时角反射镜与探测器间的距离，l表示角反射镜摆动的机械距离，φ表示相干光束的夹角，D表示入射光线的孔径大小。在分析角反射镜误差导致的光束偏转时，可以将角反射镜视为倾斜平面镜，使用倾斜平面动镜的误差分析方法，计算额外光程差[23]。2 个角反射镜均可视为绕自身几何中心发生偏转的平面镜，并且导致相干光束产生的夹角为 φ。

图3 等效光路图Fig.3 Equivalent optical path diagram

实际情况下夹角 φ很小，两路相干光束均不会偏离正常光束位置太远。因此，光路可以近似为图3（b）的情况，这种情况下，假设其中一路光束是无误差的正常光束，另一路光束是有误差的偏转光束，两束光的夹角仍为 φ。那么角反射镜二面角误差引入的额外光程差可以分为以下2 个部分：

1）光束偏转导致的恒定光程差，可表示为

2）沿y4轴不同位置的入射光线导致的偏移光程差，可表示为

当入射光束为D×D的正方形孔径光束时，由于光线偏转，探测器接收的正方形孔径光束被拉伸成矩形孔径。同理，由于偏转角通常较小，探测器接收到的光束孔径仍然可以看作D×D的正方形孔径。探测器平面接收干涉光束示意图如图4所示。图4 中d为两束干涉光中心的偏离量，d的值取决于两束光的夹角 φ以及2 个角反射镜到探测器平面的距离L+l和L-l。当L+l和L-l不是非常大时，干涉区域可以近似看成D×D的正方形孔径光束，如图4（b）所示。此时干涉强度值在探测器平面上是变化的，需要对整个干涉区域求积分。那么干涉函数可以写为

图4 干涉光束积分区域Fig.4 Integral region of interference beams

化简后可得：

式中 σ表示入射光的波数。从（15）式可以得到干涉图的调制度为

2 仿真与分析

利用Zemax 的非序列功能建立角镜摆臂型FTIRS，如图5所示。其中入射光波长 λ=632.8 nm，光束孔径D=2 mm，摆臂长R=45 mm，摆臂平面中心距离分束器平面中心d1=70 mm,平面反射镜中心距离分束器平面中心d2=52 mm，探测器平面中心点o4到分束器平面的距离d3=10 mm。分束器平面绕x1轴逆时针旋转30°，那么γ=60°+β，平面反射镜与分束器的夹角为60°。根据几何关系，可以得到零光程差位置时角反射镜到探测器平面的距离L≈140 mm。分束器A 面和D 面分别镀半透半反膜，B 面和C 面分别镀增透膜，该结构的光谱仪不需要补偿器。当光谱分辨率 Δσ=0.25 cm-1时，由(12)式求得摆角范围为 γ ∈[0,6.379°]。

图5 Zemax 非序列建立的角镜摆臂型FTIRS 示意图Fig.5 Schematic diagram of Zemax no-sequential mode

2.1 理论模型合理性验证

为了给后续多个二面角误差分析打下基础，先分析一个二面角误差，对所建立的模型是否合理进行验证。假设只有透射光路角反射镜存在二面角误差，且 δb= δc=0 时，（7）式可简化为

图6 调制度函数图像Fig.6 Diagram of modulation depth function

再利用Zemax 进行模拟，摆角由0°摆动至0.000 35°。根据调制度定义，求出不同误差角下干涉信号的调制度，并进行拟合，拟合得到的调制度函数如图7所示。当调制度M=0.9 时，得到二面角公差为 δa=0.002 58°=9.288″，与理论值相比，误差为0.792″。

图7 Zeamx 模拟得到的调制度函数Fig.7 Modulation depth function simulated by Zemax

图8 为摆角在0°附近时根据理论数值计算得到的调制度曲线和Zemax 模拟得到的调制度曲线。从图8 可以看出，两者在主峰匹配较好，证明本文理论模型是合理的。

图8 摆角为0 时理论曲线与模拟曲线对比Fig.8 Comparison of theoretical curve and simulated curve with oscillating angle of 0

2.2 角反射镜二面角公差分析

为探究角反射镜二面角公差，需要分析不同二面角误差对调制度的影响。上述2.1 节证明了本文所提出理论模型的合理性，因此使用该模型进行分析。根据该模型，分别绘制调制度随 δa、δb和δc的变化曲线，如图9所示。从图9 可以看出，3 个曲线完全重合，可以证明同一个角反射镜的3 个二面角误差对调制度的影响是相同的。

图9 同一角反射镜中不同二面角误差对调制度的影响Fig.9 Effects of different dihedral angle errors on modulation depth in same corner-cube reflector

根据上述分析，假设同一个角反射镜中3 个二面角产生的误差是相同的，那么其中一个二面角到达允许的最大误差角时，另外2 个二面角也到达了允许的最大误差角。因此，透射光路角反射镜产生的二面角误差为 δa=δb=δc=δ。由于透射光路和反射光路在理想情况下是完全对称的，当反射光路的角反射镜二面角误差为δ′a=δ′b=δ′c=-δ时，相干光束O与O′间夹角是最大的，此时干涉图调制度受到的影响最大。当误差角 δ的变化范围为[-0.005 °,0.005 °]时，绘制得到的理论曲线和模拟曲线如图10所示。由图10 可知，为满足调制度判据，得到的理论二面角公差为2.52″，模拟得到的二面角公差为2.38″，两者误差为0.14″，属于可接受范围。

图10 理论曲线与模拟曲线对比Fig.10 Comparison of theoretical curve and simulated curve

3 结论

本文根据光线追迹理论和平面镜倾斜误差分析方法，讨论了角镜摆臂傅里叶变换光谱仪中角反射镜二面角的装调误差。将有误差的角反射镜视为倾斜平面镜，计算额外光程差，并根据双光束干涉理论求出干涉强度和调制度函数。根据理论推导，得到的角反射镜二面角公差为2.52″，利用Zemax 模拟得到的反射镜二面角公差为2.38″，两者误差为0.14″，符合较好。模拟结果表明，该理论可用于分析摆臂角镜FTIRS 的角反射镜二面角误差。以目前的工艺水平，角反射镜的综合角偏差通常可以控制在1″以内[25]，因此本文求出的二面角公差在实际的装调中是可以实现的，为后续的生产和设计提供了参考。