聚焦“待定系数法”的解题应用

朱 磊

(江苏省新海高级中学 222006)

众所周知，“待定系数法”是分析、解决有关代数问题的一种常用解题技巧.如果在解题中能够加以适时灵活运用，那么可帮助我们确定解题的思维方向，获得问题的简捷求解.基于此，本文拟通过归类举例的方式加以具体说明，旨在帮助同学们提升解题的技能技巧.

1 运用“待定系数法”，处理幂函数问题

解析由于f(x)是幂函数，可设f(x)=xα，从而根据f(4)=3f(2)得4a=3×2a，解得a=log23.

所以函数f(x)=xlog23.

评注一般地，如果题意给出f(x)是幂函数，那么可灵活运用“待定系数法”求解函数f(x)的解析式，此时应设f(x)=xα，这里α是一个待定量，可由其他已知条件求解.

2 运用“待定系数法”，处理复数问题

解析设复数z=a+bi(a,b∈R)，

因为z-i=a+(b-1)i，

解得a=b=1.故所求复数z=1+i.

评注一般地，求解有关复数问题时，如果已知条件中无具体的复数，那么解题时可先设出复数的代数形式，化抽象为具体，有利于活用复数的四则运算，进一步分析、解决问题.

3 运用“待定系数法”，求解数列的通项公式

例3在数列{an}中，a2=4,a5=22,a6=32，且通项公式an是二次函数，求数列{an}的通项公式.

解析因为{an}的通项公式an是二次函数，

所以可设an=an2+bn+c(a≠0).

因此，根据a2=4,a5=22,a6=32，可得

故所求数列{an}的通项公式为an=n2-n+2.

评注从函数的角度看，本题实际上研究的是根据二次函数图象上的三个不同的点，求解二次函数的解析式.结合本题，我们可进一步理解、认识：数列是一类特殊的函数.

4 运用“待定系数法”，求解圆的方程

例4若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是____.

解析设圆C的方程为

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，

则根据题意可得

评注运用“待定系数法”求解圆的方程时，可活用圆方程的标准式或一般式.具体问题求解的关键是先依据题设构建关于参数a,b,r(或D,E,F)的方程组，再求解该方程组.

5 运用“待定系数法”，求解直线的方程

例5已知点P(2,0)，圆C:x2+y2-6x+4y+4=0，若点P∈l，且圆心C到直线l的距离等于1，求直线l的方程.

解析若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x-2)，即kx-y-2k=0.

化简,得3x+4y-6=0.

若直线l的斜率不存在，则易知直线l的方程为x=2，所以圆心C(3,-2)到直线l的距离等于1，适合题意.

综上，所求直线l的方程为3x+4y-6=0，或者x=2.

评注运用“待定系数法”求直线的方程时，可灵活运用直线方程的几种不同形式.特别提醒：利用点斜式、斜截式时，若不明确直线的斜率是否存在，则应分情况加以讨论.

6 运用“待定系数法”，求解圆锥曲线的方程

解析设椭圆的方程为

则根据题意，得

7 运用“待定系数法”，求解函数的解析式

例7根据下列条件，求解函数f(x)的解析式：

(1)已知导函数f′(x)是一次函数，且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1；

(2)已知函数f(x)是三次函数，且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0.

解析(1)根据导函数f′(x)是一次函数，可知f(x)是一元二次函数，从而设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f′(x)=2ax+b.

从而，根据x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1，得

x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1.

化简，得(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.

又因为上式对∀x∈R恒成立，则有a=b,b=2c,c=1,解得a=2,b=2,c=1.

故f(x)=2x2+2x+1.

(2)由于f(x)是三次函数，因此可设函数

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，

则求导得f′(x)=3ax2+2bx+c.

于是，由题意可得

故f(x)=x3-3x2+3.

评注如果已知所给函数是一元二次函数(或一元三次函数)，那么活用“待定系数法”可巧求函数解析式，往往需要设为一元二次函数(或一元三次函数)的一般式或其他形式.

8 运用“待定系数法”，处理有关立体几何问题

图1 图2 图3

解析如图3所示，建立空间坐标系A-xyz，则点C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0).

根据图形，可设点F(a,0,0)，

设n=(x1,y1,z1)是平面DEF的法向量，

设m=(x2,y2,z2)是平面PCE的法向量，

令x2=1，则y2=1,z2=2，故取m=(1,1,2)．

因此，由平面DEF⊥平面PCE,得m·n=0

评注一般地，运用“待定系数法”可帮助我们顺利求解平面法向量的坐标.特别地，如果能够由图形直接确定直线与平面垂直，那么该平面的法向量的坐标易观察获得，此时就不需要利用“待定系数法”.

综上可知，灵活运用“待定系数法”能够帮助我们根据题意创设有利条件，迅速明确解题的方向，从而便于顺利求解目标问题.显然，只有在解题实践之后，不断进行归纳、总结，才能在具体解题时努力做到活用“待定系数法”迅速处理相关数学问题.