利用函数思想比较大小

李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.利用函数思想解题指的是一种意识，一种解题时的思维习惯，具体说就是用变量和函数的观点来思考问题.对于比较大小问题，我们利用函数思想去思考，往往可以起到简化的作用.

1 把字母看作变量或把代数式看作函数

由于a>b>0，故b-a<0.

因此函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

故f(x)>f(0).

例2 设实数a,b,c满足a>b>1，c>1，则下列不等式不成立的是( ).

由a>b>1知，函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.

本题答案为D.

点评例1虽然用不等式的性质也很容易证明，但是利用函数的思想求解则是从另外一个角度看问题，这在例2中其优点就很明显，例2若是用不等式的知识求解就比较困难.

2 利用函数的性质比较大小

例3设a,b,c>0，且a2+b2=c2，n∈N*，且n≥3，试判断an+bn与cn的大小.

从而f(n)

即an+bn

3 根据结构构造函数比较大小

例4(多选题) 若a>b>0，则下列不等式中一定成立的有 ( ).

故f(a)>f(b).

本题答案为AC.

点评本题构造函数的方法称为同构法，同构法是目前高考比较热门的比较大小的方法.数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的两个表达式.许多比较大小的问题，通过等价变形，可以转化为同构式，然后构造函数，利用函数的单调性求解.

例5(多选题)下列不等关系正确的有( ).

故本题答案为ACD.

A.c

C.a

解析令x=0.01，则x∈(0,1).

<0.

故f(x)在(0,1)上单调递减.

于是f(x)

>0.

故g(x)在(0,1)上单调递增.

于是g(x)>g(0)=0.即a>c.

综上,b

点评本题中a,b,c非常接近，又涉及到对数和根式的运算，直接很难比较，三个数中的1.01,1.02,1.04非常接近，因此引入x=0.01构造函数来比较大小，比较巧妙！

4 数形结合

例7(多选题)已知a>b>0，下列选项中正确的为( ).

B.若a2-b2=1，则a-b<1

C.若2a-2b=1，则a-b<1

D.若log2a-log2b=1，则a-b<1

解法1 (特值法)取a=4,b=1可知A错误；取a=4,b=2可知D错误，故本题选BC.

对于C选项，由2a-2b=1⟹2a-b=1+2-b<2，得a-b<1，故C正确；

或设2a=x,2b=y，则

a=log2x,b=log2y，且x-y=1，

对于D选项，由log2a-log2b=1可知a=2b，故a-b=b不一定小于1，故D错误；故本题选BC.

令f(x)=x2，则f(a)-f(b)=1，注意到f(1)-f(0)=1，而f′(x)=2x，f″(x)=2>0，可见f(x)的增长速度越来越快，故a-b<1；

令f(x)=2x，则f(a)-f(b)=1，注意到f(1)-f(0)=1，而f′(x)=2xln2，f″(x)=2xln22>0，可见f(x)的增长速度越来越快，故a-b<1；

图1 图2

图3 图4

由图象易知本题选BC.

点评本题四种解法，解法1仅仅是作为选择题的解题策略，其对于BC的正确性并没有真正证明；解法2的解法极大地依赖代数变形，不同的选项其变形方式不一样；解法3和解法4则是从函数这个统一的角度去思考问题，解法3借助函数增长速度(二阶导函数的符号)，解法4从数形结合的角度思考.

例8 已知实数a,b满足关系式a2=b2-b+1，则下列结论正确的是( ).

点评本题实数a,b满足关系式a2=b2-b+1虽然不是函数关系式，但是借助函数的思想(变化的观点)利用数形结合就很容易得到答案D,若是用不等式的知识则很难得出正确的答案.