巧思维切入 妙技巧类比
——一道离心率的求解
2022-11-03廖昕
廖 昕
(甘肃省兰州市第三中学 730000)
涉及圆锥曲线离心率的求值或取值范围问题，变化多端，破解时往往思维多样、策略多变、技巧多样，解决问题时或一种策略独领风骚，或多种策略齐心协力，或另辟蹊径，合理转化，巧妙破解．
1 问题呈现
此题以双曲线为问题背景，通过双曲线的两个焦点与一个顶点，以及双曲线上的一个点，组成一个复合的三角形，利用相关内角之间的相等、倍数关系等合理构建，进而确定双曲线的离心率的值．
2 问题破解
解法1(三角函数定义+余弦定理法)
因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，
则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.
图1
结合双曲线的定义，可得
|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.
利用余弦定理有
由cos∠MAF2+cos∠MAF1=0，可得
整理,得c2-ac-4a2=0.
即e2-e-4=0.
解法2 (余弦定理法)
因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，
则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.
结合双曲线的定义，可得
|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.
利用余弦定理有
整理得(c-a)(c2-ac-4a2)=0.
即c2-ac-4a2=0.下同解法1.
解法3(相似三角形法)
图2
因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，
则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.
结合双曲线的定义，可得
|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.
如图2，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，过点A作AH⊥MF1，垂足为点H，则有
易得Rt△MF1N∽Rt△AF1H.
整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.
解法4(勾股定理法)
因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，
则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.
结合双曲线的定义，可得
|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.
过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，过点A作AH⊥MF1，垂足为点H，则有
利用勾股定理，在Rt△AMN中，可得
又在Rt△F1MN中，可得
整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.
解法5(二倍角公式法)
因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，
则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.
结合双曲线的定义，可得
|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.
过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，则有
而∠MF2A=2∠MF1A，结合二倍角公式可得
整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.
解法6(二倍角三角形性质法)
因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，
则有|AM|=|MF2|=|AF1|=c+a.
结合双曲线的定义，可得
|MF1|=2a+|MF2|=3a+c.
在△MF1F2中，∠MF2A=2∠MF1A，
结合二倍角三角形性质，可得
(3a+c)2=(c+a)(c+a+2c).
整理，得c2-ac-4a2=0.下同解法1.
3 变式拓展
探究1 保留题目创新情境，改变圆锥曲线的类型，将原来的双曲线问题类比到椭圆问题，保留相关条件以及角之间的关系，同样可以确定椭圆的离心率问题，得到以下相应的变式问题．
解析因为∠MF2A=∠MAF2=2∠MF1A，则有|AM|=|MF2|=|F1F2|=2c.
结合椭圆的定义，可得
|MF1|=2a-|MF2|=2a-2c.
在△MF1A中，∠MAF2=2∠MF1A，
结合二倍角三角形性质，可得
(2a-2c)2=2c(2c+a+c).
整理，得c2+5ac-2a2=0.
探究2保留题目的创新背景，改变题目部分条件，以等腰三角形以及对应的线段长度等为背景来创设，进而确定相应双曲线的离心率．
图3
解析结合双曲线的定义，可得
|MF1|=2a+|MF2|=5a，解得|MF2|=3a.
如图3，取AF2的中点N，由△F2MA是以∠AMF2为顶角的等腰三角形，可知MN⊥F1F2.
利用勾股定理，可得
整理，得c2+ca-8a2=0.
4 解后反思
4.1 思维发散，方法归纳
破解以双曲线为载体的圆锥曲线问题，利用圆锥曲线的定义确定相应的线段长度，利用条件中角之间的关系，可以考虑从解三角形思维、平面几何思维、三角函数思维、特殊三角形思维、解析几何思维以及圆锥曲线的定义思维等来切入，结合平面几何、余弦定理、三角函数以及距离公式等知识，归纳相应的方法来分析，达到解决问题的目的．
4.2 探究拓展，能力提升
涉及圆锥曲线的问题，可以在一定条件下加以合理类比，进而挖掘、探究，得到与之相关的其他问题，拓展思维，从而全面提升思维能力、解题能力，提升数学品质，提高数学能力，培养核心素养．
