一道课后习题的多解与反思——对数比较大小问题

俞文锐

(福建省福清华侨中学 350300)

对数比较大小问题是每年高考的热点题型，题型杂方法多，重点考查数形结合思想、化归转化思想，以及数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，那么对于底数不同、真数也不同的对数比较大小，究竟要应用什么方法予以解决呢？本文以人教A版必修第一册一道习题为例对该问题进行探究.

1 试题呈现

例1(人教A版数学必修第一册P141拓广探索第13题)比较log23，log34，log45的大小

2 解法探究

我们先比较log34，log45的大小.

解法1(运用作差法+基本不等式比较大小)

解法2(运用换底公式+糖水不等式比较大小)

解法3(运用析整显微法+指数式比较大小)

所以31+x=4，41+y=5.

即3x>4y.

两边取对数得xln3>yln4，

所以x>y.

即log34>log45.

图1

解法4(运用析整显微法+图象法比较大小)

解法5(运用析整显微法+放缩法比较大小)

所以log34>log45.

解法6(运用减数法+分析法比较大小)

所以log34>log45.

解法7(构造函数比较大小)

设函数f(x)=logx(x+1)(x>1) ，即

而函数g(x)=xlnx在 (1,+∞) 上单调递增，

所以g(x)-g(x+1)<0, 即f′(x)<0.

所以f(x) 在 (1,+∞) 上单调递减.

所以f(3)>f(4).

即 log34>log45.

评析通过构造函数，研究函数的单调性，利用单调性比较大小，也是我们常用的一种策略，解题教学中要给予充分的关注.

3 解题反思

本题中两个对数的底数和真数具有规律性，我们可以将它推广到一般性结论.

性质1当a>1 时，loga(a+1)>log(a+1)(a+2).

证明由解法7已知结论成立可知命题成立.

性质2当11 时, logab>logambm,

所以logab>logambm.

性质3设b>a>1,n>0,m≥1, 则有

logam+n(bm+n)

则lnb-lna>ln(bm+n)-ln(am+n).

又因为0

因此logam+n(bm+n)

性质4若10,则

logab>log(a+n)(b+n)

证明性质3中当m=1时，可得性质4.

利用性质1、性质3、性质4我们可以轻松获得log23>log34>log45，对于底数、真数呈现以上规律的对数我们可以快速比较大小，那么对于任意的底数不同、真数也不同的对数比较大小问题，我们能否获得一般性的结论呢.通过引例的证明方法，我们可以得到以下几条性质.

证明logax-logby=logax-1-(logby-1)

所以①成立.

证明logax-logby=logax-N-(logby-N)

所以①成立.

性质7若b>a>1,x,y>0则

logax0⟺bn-m>1

4 高考真题链接

例2(2013 年全国Ⅱ卷第8题) 设a=log36,b=log510,c=log714, 则( ).

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

例3(2020年全国Ⅲ卷理科第12 题)已知55<84，134<83. 设a=log53,b=log85,c=log138, 比较a,b,c的大小.

由已知可得

5ln5<4ln8,4ln13<5ln8,

所以a

所以a

比较大小问题是经典的题型，教材中蕴含有多种解题方法，如作差法、构造法、单调性法、基本不等式法、不等式性质法、分析法、中间量法、图象法等，充分挖掘教材中的解题方法，通过一题多解教学，培养学生的数学运算能力，促进数学思维的发展，培养学生发散思维能力，同时也让学生进一步体会到不同知识之间的紧密联系.通过对习题的拓展，学生依据从特殊到一般的推理，从特殊的命题log34>log45出发，得到一般性的命题：若b>a>1,n>0,m≥1, 则有logam+n(bm+n)