对一道力学竞赛题解析的商榷

曾小江

（重庆两江新区西南大学附属中学校，重庆 401123）

1 竞赛试题和解析再现

2021年第38届全国中学生物理竞赛预赛试题第12题是一道关于均匀金属杆在竖直平面内的平面平行运动问题.试题.如图1，长度为L、质量为m的均匀金属杆两端靠在垂直于水平面的直角绝缘导轨上，导轨的两臂分别沿水平与竖直方向.初始时刻金属杆静止，与竖直导轨成30°角.不计一切摩擦.

图1

（1）试求当杆下滑到与竖直导轨成60°角时杆的质心的速度；

（2）假设存在垂直于导轨所在平面（纸面）向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，求当杆下滑到与竖直导轨成60°角时杆两端的感应电动势.

试题的参考答案解析如下：

（1）由能量守恒得

（2）整个杆在恒磁场的横截面内运动，且可视为杆以其质心C的速度vC平动与以角速度ω绕其质心C的转动，后者对感应电动势的贡献相互抵消.因此仅考虑杆的平动即可.取直角绝缘导轨的交点为原点，水平与竖直方向的导轨分别为x轴和y轴.杆的质心的坐标为

2 试题解析探讨

对于本题参考答案的解析，笔者认为存在不完善的地方.题中所述“均匀金属杆两端靠在垂直于水平面的直角绝缘导轨上”，并未限定金属杆只能沿着竖直导轨运动.实际上，也可能存在金属杆沿竖直导轨下滑到一定角度后脱离导轨的情况.若原解析认为杆下滑到与竖直导轨成60°角的过程始终未脱离竖直导轨，则原解析思路是正确的.问题是，在杆下滑到与竖直导轨成60°角的过程中，杆一定不会脱离竖直导轨吗？ 实际上，这是需要进行判定的.分析杆刚好脱离竖直导轨时的临界状态及其与竖直导轨所成的临界角，判定杆下滑到与竖直导轨成60°角时，其是否已脱离竖直导轨是求解本题的重要步骤，也是求解本题的关键所在.

本题的解答需分为以下3个步骤：

（1）分析杆刚好脱离竖直导轨时的临界状态，判定杆是否已脱离竖直导轨.

以直角绝缘导轨的交点为原点，水平与竖直方向的导轨分别为x轴 和y轴.设杆刚好脱离竖直导轨时与竖直导轨所成的夹角为θ1，此时杆质心C的速度为vC1，杆绕其质心C的转动角速 度 为ω1（图2 所示）.由能量守恒得

图2

杆脱离竖直导轨后的自由下滑阶段，杆不受水平外力，质心在水平方向做匀速直线运动，质心的水平分速度不变为vC1x.杆始终受到水平导轨竖直向上的支持力作用，不会脱离水平导轨.［1］当杆与竖直导轨成夹角θ时（图3所示），质心的竖直坐标为

图3

（3）求杆下滑到与竖直导轨成60°角时杆两端的感应电动势.

杆在恒磁场横截面内的运动，可视为杆以其质心C的速度平动与以角速度ω绕其质心C的转动，后者对感应电动势的贡献相互抵消.因此仅考虑杆的平动即可.如图4所示，当杆下滑到与竖直导轨成60°角时，质心速度在垂直于杆方向的分速度为

图4

3 结语

基于物理情境求解问题时，需要对研究对象的运动过程和状态进行详尽地分析.对于有变化或转折的运动过程和状态，要先找出“从量的渐变到质的突变”的临界状态及其临界值.［2］在临界状态前后研究对象往往会以不同的规律运动或变化，因此，要先判定待求值与临界值的关系再求解问题.试题解析没有分析金属杆刚好脱离竖直导轨的临界状态，也没有判定试题要求解杆的运动状态与临界状态的关系，最终导致了原解析的不完善.