圆柱状骰子的几何特征与运动特征

高 艺，郭志荣，侯 娟，史 芹

(石河子大学 理学院物理系，新疆 石河子 832003)

国际青年物理学家竞标赛(IYPT)第35届(2022年)赛题[1]第七题“Three-Sided Dice：To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence.What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?”(三面骰子：在抛硬币时，硬币能够竖着立起来的情况是罕见的。如果一个圆柱状骰子侧面立地和两底面立地的概率相等，那么这个骰子应当具备什么样的物理和几何特征？)。

骰子是具有某种“对称性”的物体，有质量分布和几何形状两个要素。最简单的是两要素非耦合的骰子，即质量分布均匀的规则体。另外，投掷过程中受作用(如落地撞击等)而变形也会影响某种概率。本文不讨论变形情况，即质量分布均匀刚体圆柱状骰子。

1 几何特征

满足赛题要求的圆柱状骰子的几何特征主要是高H和底面半径R的关系决定。联想到投掷球状物体时，球面上任意点立地的概率相等，设想在柱体外接一球面，如图1所示，侧面和两底映射到球面上面积相等时，可确定骰子的几何特征。不难得到

图1

(1)

这与文献[2]用计算机模拟得到结果有甚微相差，这个差异是由棱先着地，然后翻向底面或侧面的概率不同引起的。

接下来圆柱状骰子棱上某点触地会导致概率不均，这也是下文运动特征讨论的重点。

2 运动特征

棱触地后，骰子最终哪面立地，是由触地初态和环境(重力、阻尼)作用下的动力学过程决定，讨论简单，下面在不考虑阻力的情况下，分析柱体状骰子的稳定转动，然后由转速与章动角的函数单调性定性地给出因为运动而导致的概率差异。

2.1 绕体对角线自旋

2.1.1 动力学方程

如图2所示，建立固定坐标系O-XYZ和本体坐标系o-xyz。触地点为O点，O与o重合，旋转轴作为oz。不计阻力，并且节线与X轴重合时计时，柱体状骰子的运动学方程为[3]。

图2 绕对角线自旋

(2)

2.1.2 自旋与进动

采用前文的几何特征，设柱体绕x，y，z轴的转动惯量分别是Ix，Iy，Iz。柱体平动动能T1和转动动能T2分别为

(3)

(4)

取XOY面为零势面，系势能为

V=mgHcosθ.

(5)

则圆柱状骰子运动的拉格朗日方程[4]为

(6)

其中

f(θ)=(mH2+Iy-Iz)cosθ.

(7)

拉氏函数中不显含φ和ψ，由φ和ψ循环坐标可以得到两个初值决定的积分常数如下。

(8)

(9)

式(7)可求得进动角速度

(10)

2.1.3 章动

设体系总能量E(初始条件确定)。定义新的能量和有效势能[5]并对能量式简化。

(11)

其中

(12)

(13)

由(11)式知V′≤E′，如图3所示，可得θ1<θ<θ2，这里

图3 章动角范围

(14)

2.1.4 概率分析

2.2 绕柱对称轴自旋

(15)

3 结 语

本文讨论了国际青年物理学家竞标赛(IYPT)第35届(2022年)赛题的第七题，圆柱形骰子的几何参数和运动特征。在均质刚体圆柱形骰子的假设下，本文认为骰子立地概率主要由几何特征决定，而运动导致概率变化主要是柱体棱边着地的时候才出现，因此在不考虑阻力的情况下，就柱棱触地时能稳定不倒的情况进行了转动运动的分析。结果显示，棱点触地后且要满足很严格的运动(转动)状态才能保持稳定不倒。在对稳定转动时由角速度与章动角的函数关系的单调性分析，能获得转动角速度小时章动角的变化趋势可定性地得出立地面的概率差异。当然，更严谨的讨论应该是直接在建模时就考虑阻力的情况下进行的运动分析，理论分析会复杂很多。