三线摆不同材质摆线对测量结果的影响

王帅坤，吉晓瑞，吕柳杏，牛俊翔，王兴云，祁遇时

(1.沈阳工程学院 自动化学院，辽宁 沈阳 110136；2.沈阳工程学院 基础部/美育中心，辽宁 沈阳 110136；3.沈阳工程学院 电力学院，辽宁 沈阳 110136)

三线摆测刚体的转动惯量是大学物理实验室常见的力学实验，启动盘与悬盘之间用三根摆线连接，旋转启动盘，由摆线带动悬盘做周期性的小角度摆动。三线摆实验仪有不同的型号和样式，周期测量方式用多功能毫秒仪，起初为霍尔效应方式记周期，后来换成光感方式记周期。就仪器本身而言，无论哪种型号，机械和电子设备精度都很高，物体的质量和相关长度的测量误差也非常小。误差产生的主要原因是操作方法和摆线问题而引起的。摆角的大小[1,2]、摆线的长度[3,4]、悬盘半径与摆线长度比等问题[5,6]，都会引起实验误差。为三线摆仪器加装角度控制装置，会减小实验误差[7]，摆线的材质和伸长也会对实验误差产生影响。用鱼线和尼龙线作为摆线，测量不同物体在质量不断增加过程中摆线的拉伸情况和结果误差的大小。

1 实验公式

实验原理、操作过程及仪器如文献[7]所示，悬盘摆角控制在15°～20°之间，悬盘的转动惯量公式为

(1)

悬盘上放置物体后，物体转动惯量为

(2)

式中H为启动盘到悬盘的垂直距离，J0为悬盘的转动惯量，J物为物体的转动惯量，m0为悬盘的质量，m物为物体的质量，g为重力加速度，r0为悬盘悬线到盘中心的距离，r0为启动盘悬线到盘中心的距离，T0为悬盘的空载振动周期平均值，T物为物体的振动周期平均值。公式中周期T的测量误差对实验结果的影响最大。百分误差计算公式为

(3)

2 实验数据测量及作图

2.1 实验数据测量与计算

分别用鱼线和尼龙线作为摆线进行对比实验。图1为被测悬盘、圆环和电木盘，用测直径D代替测半径对上述物体各项数据进行测量，列在表1中。用多功能毫秒仪时间累积法测周期，表2为悬盘周期的5次测量值，每次测量20个周期算出平均值，根据(1)和(3)式以及悬盘转动惯量理论值计算公式算出悬盘的百分误差。

图1 被测悬盘、圆环和电木盘

表1 各物体几何参数测量

表2 鱼线摆悬盘的周期测量和百分误差

按照表2的方式以及(2)式，测量和计算圆环和电木盘从1个增加到6个时的周期，忽略摆线伸长，计算ERA。鱼线摆增加到6个物体时，用游标卡尺量出放置圆环，悬盘共下降2.40 mm，设悬盘均匀下降，即放置1个圆环悬盘下降0.40 mm，放置电木盘，悬盘下降1.80 mm，即放置1个电木盘悬盘下降0.30 mm。尼龙摆悬盘放置6个圆环下降1 140.00 mm，平均放置1个下降1.90 mm，放置6个电木盘下降100.00 mm，平均放置1个下降1.67 mm，再次计算ERB，将上述结果列于表3中。

表3 圆环和电木盘质量增加过程周期平均值及百分误差

2.2 绘制图形

分别绘制出鱼线摆线和尼龙摆线的物体数量增加与周期和百分误差之间的关系曲线，如图2和图3所示。

物体数量/个

物体数量/个

3 结果分析

从刚体转动惯量实验公式可知，周期的测量对实验结果的影响最为明显[8]。从图2可见，无论是那种摆线，随着圆环数量的增加，摆动周期逐渐增大，随着电木盘数量的增加，摆动周期逐渐减小。这是因为根据物体的质量分布情况，可以将任何物体都等效成一个细棒绕一端轴转动，细棒的等效质心距离转轴的距离即为回转半径。圆环的回转半径大于悬盘的回转半径，所以摆动周期T环>T0，电木盘的回转半径小于悬盘的回转半径，所以摆动周期T木

从图3(a)中可见，尼龙摆的误差要远大于鱼线摆的误差，原因是鱼线的杨氏模量大于尼龙线的样式模量，也就是鱼线更硬一些，张力传递更好[12]。尼龙摆放置1个圆环摆线就已经被拉紧，周期测量此时最准确，但放置2个圆环，摆线迅速失去弹性，测量误差迅速增加。鱼线摆放置3个圆环时，误差在不加绝对值时出现了负值，这并不是实验误差在减小。只要操作规范仪器测量的周期一定要比理论周期大，实测转动惯量一定比理论值大，误差不应该出现负数值。出现负值的原因是悬盘在多次上下运动过程中出现了摆线共振[13,14]，在悬盘改变运动方向时摆线恢复力较大，加速了悬盘的运动，致使周期明显变小，结果出现错误。图3(b)中鱼线摆在放2个电木盘时也出现了此种情况。随着电木盘质量都增加，误差迅速增大，表现为曲线下降，鱼线摆后半段曲线表现明显。尼龙摆曲线如果继续延长，趋势会和鱼线走势相似。整体而言，杨氏模量大的摆线可以保持在更大的被测质量范围内有较小的误差。

4 结 语

摆线的材质对测量结果影响非常明显，选择杨氏模量较大的摆线实验结果更准确。在摆线伸长较小的情况下，可以忽略摆线伸长，但摆线伸长超过2 mm后，会引入较大的实验误差。摆线在拉紧状态下，由于张力传递顺畅，实验误差小。在物体质量增加时，会出现摆线共振情况，致使周期测量偏小，误差增大。回转半径越大的物体，周期越大。