探最值寻本质归方法

2022-11-02张丽

初中生世界 2022年39期

关键词：圆周角垂线切线

文／张丽

圆中的最值问题是初中数学的难点问题，这类问题具有知识面广、综合性强的特点，是考试中的热门题型。因此，本文选取了圆中两类常见的线段最值问题，透过问题，寻找本质，归纳方法，以帮助大家构建“会一题通一类”的方法策略。

基于“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的最值问题

例1如图1，设⊙O的半径为r，圆外一点P到圆心O的距离为d，则点P到⊙O圆周上的点的最小距离为___，最大距离为___。

【解析】点P的位置、⊙O的大小和位置是确定的，但圆周上的点有无数个。

如图2，在⊙O上任取一点C（异于点A、B）。在△PCO中，PO+CO＞PC＞PO-CO（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），PO+BO＞PC＞PO-AO，即PB＞PC＞PA。

图2

当点C与点A重合，即点C在线段PO上时，PC取最小值=PA=d-r；当点C与点B重合时，即点C在线段PO的延长线上时，PC取最大值=PB=d+r。

例2如图3，已知正方形ABCD的边长为2，点E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG。求CG的最值。

图3

【解析】由“定边AB=2，且定边所对的定

角∠BGA=90°”可知，点G在以AB的中点O为圆心，AO长为半径的隐圆上，点G随着点E的运动而运动，点G最左运动到点B，最右运动到AC与BD的交点N，即点G的运动轨迹为。如图4，CG的最小值=CO-BO=-1；由于点G取不到线段CO的延长线与⊙O的交点处，所以CG的最大值不等于CO+BO，此时由得CG的最大值=BC=2。

图4

【归纳】圆外定点与圆上的点的距离的最值：连接圆外定点与圆心，与圆交于一点，圆外定点到这个交点的距离为最小值；延长圆外定点与圆心的线段，和圆交于另一点，圆外定点到这个交点的距离为最大值。利用这一结论可以快速地解决圆外一点到圆上点的距离最值问题，做到化动为静，转为定量计算。

基于“垂线段最短”的最值问题

例3如图5，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线y上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值为___。

图5

【解析】由于PQ是⊙A的切线，由切线的性质知PQ⊥AQ，因此构造Rt△APQ，由勾股定理可得，所以PQ的最小值就转化为PA的最小值。点A是定点，点P在定直线上运动，由“垂线段最短”知，当AP垂直于直线y=-x+3时，AP最小，得PQ的最小值为2。

例4如图6，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF的最小值为。

图6

【解析】如图7，根据弦EF所对的圆周角∠BAC为定角，同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，可将∠BAC转化为Rt△EMF中的∠EMF，得到。或如图8，在⊙O中，由垂径定理、圆周角定理，在Rt△EOH中找到，即EF=。由“垂线段最短”知，当AD⊥BC时，AD最小，即求出线段EF的最小值。该最小值为3。