智慧数学：指向数学学科育人的实践探索——以“勾股定理”教学为例

■张伟俊

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。”也就是说，数学教学不仅要传授知识，更要启迪智慧、发展素养、滋润生命。智慧数学，源于智慧教育，主张以教师智慧的教促进学生智慧的学，以数学的智慧发展学生的智慧，从而实现“化知识为智慧，积智慧为素养”的育人目标；在课程目标和教学内容上，强调帮助学生习得数学基础知识、基本技能的同时，渗透数学思想方法和思维方法，着力培养学生的问题意识、思维能力和创新精神，以发展学生的智慧，培育学生的核心素养；在教学过程与教学方法上，强调构建充满灵性和思维活力的课堂，以智慧的教学促进学生智慧的发展。具体来说，主要体现在以下五个方面。

一、聚焦核心素养，突出学科育人

近年来，从“双基”到“三维目标”再到“核心素养”的课程目标变革，反映的是从“教材”到“学科”再到“育人”的课程观念的转型。智慧数学，针对数学教育过程中过分注重知识传授和技能训练的现状，倡导“化知识为智慧，积智慧为素养”，引导数学教学从“知识本位”走向“素养本位”。智慧数学教学就是以人的智慧发展为目的，以数学知识教育为抓手，引领学生在数学学习过程中将客观的、静态的知识转化为个体自身主观的、个性化的智慧，从而在长期的智慧浸润和积淀中逐步形成核心素养。这样的数学教学就是导向学科育人的实践探索，努力从培养“知识人”走向培养“智慧人”。所谓智慧人，其内在体现为“求真、求善、求美”的至高境界，外在表现为运用知识灵活处理问题的能力。因此，智慧数学教学强调让学习可见，让思维发生，让文化浸润。

例如，“勾股定理”的教学设计理念和思路。

勾股定理被誉为“几何明珠”“千古第一定理”。它的教学不仅仅要让学生掌握勾股定理的结论，更重要的是在探究勾股定理的过程中，彰显勾股定理的数学教育价值和思想教育价值。

首先，教师要创设问题情境，激发学生的认知冲突和探究兴趣，引导学生从特殊到一般展开探究，让学生在自主探究、合作交流、自觉反思的过程中，收获勾股定理的结论，体会数学探究的思路和方法，发展尝试探究的精神；其次，在探究过程中，要坚持“学生先试，教师后导”“学生先学，教师后教”的原则，突出学生主体地位，引导学生积极动脑、动手、动口，在做数学、学数学、用数学的过程中，体会从特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论等数学思想方法，积累数学活动经验，提升数学核心素养；再次，要引导学生探寻勾股定理的历史背景和文化贡献，激发学生的民族自豪感和爱国情感，发展学生的国际视野和人文情怀。

这样的数学教学，不仅能让学生学到数学知识，而且能发展学生的数学素养和人文素养，学科育人价值也就得到了充分彰显。

二、聚焦单元教学，突出整体设计

智慧数学教学，倡导从聚焦知识点的“课时教学”转向对接核心素养的“单元教学”，就是以整体教学观为指导，以教材的自然单元为基础，对教学目标与内容、教学活动与方式、教学过程与评价等，进行系统规划、整体设计和有序实施，努力实现“整体大于局部之和”的教学效果。在当前分课时教学的背景下，要实现整体设计的效果，必须妥善处理好整体设计与分课时实施之间的关系。为此，智慧数学教学遵循“整体→局部→整体”的认知规律，形成了“总→分→总”式的单元教学实施路径，构建了单元起始课、自主学习课、单元总结课和综合实践课等四种课型。首先，教师从整体入手，上好单元起始课，以结构化的视角帮助学生形成对整个单元的认知结构；其次，教师对学习内容进行适当的分解，让学生分课时对重难点内容进行自主学习、深度学习，达到“分而治之，各个击破”的效果；最后，再回到整体，教师上好单元总结课，引导学生进行总结提炼，形成更高层次的结构体系，并在此基础上开展相应的综合实践，引领学生迁移运用所学知识与方法解决实际问题或者进行拓展性探究。

例如，“勾股定理”的单元教学安排。

苏科版数学八（上）第3章“勾股定理”，共6课时。为了避免“备一课，上一课”带来的知识割裂感，让学生“既见树木，又见森林”，笔者对“勾股定理”的单元教学路径进行了整体规划，如表1。

表1 “勾股定理”单元教学安排表

以上设计，首先，从整体入手，帮助学生构建对于本章“学什么，为什么学，怎样学”等问题的整体认知；然后，再到部分，对勾股定理、勾股定理逆定理及其简单应用，分课时展开自主学习和探究；最后，回到整体，进行总结梳理，形成体系，开展相关综合应用。这样的单元整体设计，既能使学生心里有方向，手里有方法，也能使知识连成“线”，聚成“块”，便于学生形成更牢固的认知结构。

三、聚焦真实情境，突出问题解决

问题是思维的起点，高质量的问题是高品质数学学习的驱动器。智慧数学教学，倡导创设真实情境，以问题为纽带组织教学，引领学生经历“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题”的全过程，并以“问题+追问”“问题+变式”“问题+拓展”等形式促进学生思考，锤炼学生的思维。这是发展学生智慧的关键所在，尤其是要在这样的过程中发展学生的问题意识和创新精神，锤炼学生的问题解决能力。

例如，勾股定理的探究教学。

问题1：在三角形中，已知两个角的大小可以求出第三个角的大小，那么已知两条边的长度可以求出第三条边的长度吗？比如：在△ABC中，AC=3，BC=4，你能求出AB的长吗？

追问：你觉得添加一个什么条件，AB的长就确定了？如果添加∠C=90°，AB的长确定吗？你会求吗？AB的长是确定的，但是不会求，怎么办呢？

问题2：在数学学习中，我们经常以“网格”为载体开展数学探究，如果将这个直角三角形画到网格纸中，你能求AB的长吗？

追问：如果AB的长不能直接求，能转化成求其他量吗？

问题3：如果没有网格背景，我们还能解决类似的问题吗？比如：在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，你能求出AB的长吗？

变式：如果在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，你能求出AB的长吗？

总结：由此你能得到什么结论？

以上探究过程，以问题为纽带，引领学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的探究过程。首先，基于学生的已有认知基础，在师生对话中引导学生逐步聚焦问题“在直角三角形中，已知两直角边，如何求斜边”；其次，创设“可求”又“不会求”的认知冲突，启发学生引入网格背景，将求直角三角形斜边长的问题转化为求以直角三角形斜边长为边长的正方形的面积问题，并组织学生在自主探究、合作交流的过程中，用“割补法求面积”实现问题的解决；再次，从“有网格背景”到“无网格背景”，启发学生迁移运用已有经验，形成解决问题的通法，解决了没有网格背景下“已知直角三角形的两条直角边求斜边”的问题，继而将问题推向一般情形，顺利探究出“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”的结论。在这样的探究过程中，学生全身心地投入，从特殊走向一般，收获的不仅仅是勾股定理的结论，更重要的是经历了探究过程，学会了探究方法，发展了数学思维，收获了成功的喜悦。这积淀下来的便是数学智慧和核心素养。

四、聚焦学科实践，突出学习过程

从“坐而论道”转向“学科实践”是育人方式变革的必然要求。智慧数学教学倡导以学科实践撬动“坐而论道式”的学习方式，引导学生在亲身经历中学习数学，真正将认知与行动、理论与实践、数学知识与日常生活有机结合起来。学科实践作为一种新的学习方式，指向的是学科探究、学科活动、具身学习、做中学，引导学生能像学科专家一样在真实的问题情境中实践、探索和思考。同时，它还强调学习方式与学科特质深度融合，也就是说，这样的实践活动必须有独特的“学科性”和浓厚的“学科味”。因此，数学学科实践就是要引导学生基于真实的情境、问题、任务、项目进行学习，突出学习过程，引领学生真正学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。

上文勾股定理的探究教学就是一个学科实践活动。学生在动脑、动手、动口中学习，收获的不仅仅是数学知识，更重要的是像一个数学专家一样在研究，研究的思路、研究的方法都将是一生受用的，这正是指向数学智慧和核心素养的教学。数学“综合与实践”与数学学科实践，既有联系，也有区别。数学“综合与实践”以跨学科主题学习为主，数学学科实践更侧重单学科实践活动，但它们都指向“实践”和“活动”，是培育数学智慧和核心素养的重要抓手。

例如，教师带领学生了解勾股定理的前世今生。

问题：勾股定理是人类的宝贵财富，勾股定理的发现可以称为数学史上的里程碑。你了解古代数学家在这方面的贡献吗？我们可以从以下三个方面（或其中的某一方面）展开研究，并将研究成果整理成文。

1.四大文明古国对勾股定理有何记载？对我们有何启示？

2.勾股定理有哪些不同的证法？你最喜欢哪一种？这些证法有何共同之处？

3.运用勾股定理可以解决哪些问题？你有何心得？

以上设计，引导学生自主参与、全程参与探究过程，一方面能激发学生的学习兴趣，引领学生循着古代数学家的足迹继续开启勾股定理探索之路；另一方面渗透了对学生的思想教育，让学生为我国古人的聪明才智而自豪，民族自豪感和爱国情感油然而生。同时，还能引领学生体会“勾股定理是人类的共同财富”，发展学生的国际视野和人文情怀。

五、聚焦反思感悟，突出意义建构

悟，是学习的至高境界。有的是理性的领悟，有的是瞬间的顿悟，但真正的感悟都来自亲身经历与切身体验。正所谓“实践出真知”，这也是强调学科实践的原因所在。智慧数学教学倡导留足学生反思感悟的时间和空间，引导学生透过具体的事例感悟数学的本质，努力在学习的过程中寻找规律，把握规律，运用规律。这样的反思感悟，可以是在一个活动之后的“真知灼见”，可以是一节课后的“总结提炼”，也可以是一个单元之后的“认知重构”，但目标是一致的，就是引领学生从感性走向理性，从现象走向本质，从肤浅走向深刻，从零散走向整体。当然，要实现这样的目标，除了需要学生有丰富的现实体验，也需要教师的专业引领，给予学生必要的方法指导和过程支持。同时，教师还要通过及时追问的方式，启迪学生思考为什么是这样的，是怎么想到的，引领学生在思考中解决问题，在解决问题中不断积累策略和方法。

比如，在上述案例中，教师指导学生先探索网格背景中直角三角形问题，然后去掉网格背景进行探究，最后探究一般的直角三角形的三边关系。活动结束后，教师引导学生反思、感悟探究活动的心得体会，让学生充分感受到从特殊到一般、转化与化归、数形结合等研究问题的思路和方法。学生在这样的过程中，不仅获得了数学知识与技能，还能体悟数学思想方法，积累数学活动经验，这样的学习才是有意义的学习。

总之，“智慧数学”是一种教学主张，旨在通过对数学课程内容和教学方式的协同变革，实现“化知识为智慧，积智慧为素养”的育人目标。当然，这是一项系统工程，需要一个漫长的过程，但是我们相信，“智慧数学”理念的落地生根，必将进一步深化数学教育改革，促进学生智慧发展。