基于认知 建立联系 发展能力——以“线与角专题复习课”为例谈初中数学复习策略

⦿江苏省无锡市侨谊实验中学 成宏乔 刘丹丹

1 前言

传统复习课偏向于解题训练，用所谓的“新题目”来检验学生“旧知识”的掌握情况，往往效果不理想，学生掌握的数学知识还是零散的、孤立的、碎片化的.当下，在培养学生学科素养的背景下，复习课应该怎么实施值得我们教学工作者研究.笔者认为数学复习课应该以结构化的方式进行知识、过程、方法的梳理和总结，在构建过程中“引领学生注重数学思想的核心统领作用，构建一个既有肉体又有灵魂的数学知识结构”[1]，引导学生从知识整体上进行认知、学会自主学习及方法迁移，提升学科素养.笔者结合最近听的一节数学复习课(苏教版七年级上册第六章的“线与角专题复习课”)以及不满意后再次呈现的过程谈谈自己的想法，现将两节课的内容、集体研讨及思考与大家分享交流，敬请批评指正.

2 初次呈现

2.1 概念复习

上课伊始，教师就抛出了三个问题：说出线段、射线、直线的区别？一条线段除两个端点外还有三个点，则这条线段上共有多少条线段？如果一个点为线段的中点，则可以得到什么？

说明：教师授课“开门见山”，直接呈现课题，告知学生本节课学习目标，通过线的概念、表示及中点的复习，简洁有层次，复习效果好、氛围佳.

2.2 习题巩固

在复习概念后，教师通过课件呈现了难度递增的3道题目，和学生一起分析完成，并强调书写规范.

说明：限于篇幅，题目不呈现，在本环节中，教师能给学生数学表达的机会，并及时纠正学生的错误，梳理了解题思路，发展了逻辑水平.

2.3 对比联系

教师通过引导学生类比线段的概念、表示、中点等概念对角的概念、表示、角平分线等知识进行复习，并有意识地准备了3道与“习题巩固”环节中相类似的题目进行练习.

说明：限于篇幅，题目不呈现，教师有意识的课堂设计，通过类比，凸显了角与线知识间的联系，更强调了方法的统一.从课堂观察来看，学生经过上一个环节的训练，本环节题目的正确率提高不少.

2.4 拓展延伸

在“对比联系”环节学生完成情况较好的基础上，教师对学生进行了肯定，也鼓励学生注意归纳思路、提炼方法.之后，教师分别呈现了两道关于线和角的拓展题让学生练习.

例已知点A，B，C在同一条直线上，且AB=12 cm，BC=4 cm.点M，N分别是线段AB，BC的中点.求线段MN的长度.

练习 在平面内，已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的度数.

说明：本环节两道题的难度高于之前课堂练习的题目，显著的变化就是没有图形，需要学生自己画图，对于各种情况需要有分类的意识.从学生的反应来看，本班不少学生训练有素，题目出来后，立马就喊出“没图要考虑多解”，以至于其他同学在解题时有意识地考虑多种情况.

2.5 形成结构

最后，教师在强调线和角有密切联系之后，对本章的部分知识进行了梳理呈现(见图1).

图1

说明：由于时间关系，教师只是呈现了自己梳理的知识框架，旨在引导学生了解知识的发展和联系，构建知识结构.

3 学科研讨

本节课后，听课教师和授课教师均觉得本课不是特别理想，但对于怎样才能上好这节课又有一定的困惑，于是就把本节课的教学作为教研素材，学科组进行研讨，梳理了教材的结构和学情，在充分交流修改后在另一个班重新执教.

3.1 教材分析

本节课是阶段复习课，教师在充分理解教材的基础上才不至于有教学偏差.从全章的知识来看，线和角的内容是以线段为逻辑起点，形式上是由“单线”到“双线”，方法上是由“形”到“数”(如图2).所以在授课中，要引导学生从整体上认识知识的发展，形成知识结构.正如布鲁纳所言，记忆保持的重要问题不是贮存，而是运用时“如何把用到的知识易于提取”.杂乱无章的知识堆积，不利于问题的解决，更发展不了学生的能力.当学生的学习不局限于单一知识点的学习，而是将知识点联点成线，再将形成的知识链条形成网络，构成一个完整的体系[2]，学生就易于“提取”知识、运用知识，让所学内容既是“知识生长点”亦是“能力延伸点”.

图2

3.2 学情分析

进入初中后，学生第一次系统地学习平面图形知识，打下扎实的基础有利于空间观念的形成和逻辑思维的培养，本章的重要性不言而喻.通过阶段学习，学生已初步掌握线与角的基本知识以及一些基本的解题方法，但缺少知识的梳理和方法的提炼.课堂上需要给学生更多的时间领悟过程结构和方法结构，从而提升对数学知识的理解，这也是本节课学习的价值所在.填鸭式的教学只会让学生通过记忆来学习数学，顶多是应付考试，却不能促进智力、能力的发展，教育的目标并不在于增加知识量，而在于提高学生对知识的理解能力和运用能力.

4 再次呈现

4.1 畅所欲言

教师通过问题驱动引导学生思考和交流：①通过线段的学习，谈谈你对线段的认识？②和线段相比，角又有哪些知识让你印象比较深刻？

说明：本环节设置了开放问题，否定了列表、填表的想法，没有框架的束缚.学生自由思考、梳理知识并充分表达，在一次次的交流中，同学们越来越清晰地认识到线与角的特点和联系.同时，课堂的氛围很好，学生踊跃作答，课堂的主体性得到充分体现.

4.2 集思广益

师：我们学习了知识，更要会运用知识.本章的内容是很好的载体，通过解题不仅可以提高分析问题和解决问题的能力，还可以发展空间观念和逻辑思维.下面我们一起解决下面的问题.

例1如图3，已知点C为线段AB上一点，AC=15 cm，CB=9 cm，D，E分别是AC，AB的中点，求线段DE的长.

图3

教师和同学们一起完成后，教师进而提出：本题的关键是分析出线段DE=AE-AD，如果改变题目的条件，我们来看看式子如何变化？若改为D，E分别是AC，BC的中点，其他条件不变，则线段DE的长为多少?

说明：本环节从一道综合题入手，分别复习了线段的和差、中点的性质等知识，更重要的是教会学生结合图形分析问题.通过改变题目条件和图形进行变式训练，避免了碎片化处理，让学生在变化过程中认识到问题的本质.经过引导，学生主动提出“条件中线段AB改为直线AB则需要分类讨论”，甚至有部分同学已经有了模型思想(两个中点所连线段的长度都可以转化为原来两条线段长度的和差关系).这样的复习才是高效的，让不同层次的学生有不同的收获.

4.3 触类旁通

师：在例1的研究中，我们通过改编题目，把握住了问题的本质，从会解一道题到会解一类题，这是思考的价值.对于下面这道例题，你们准备用什么方法来解决？

例2如图4，BD平分∠ABC，且∠ABE∶∠CBE=2∶5，若∠DBE=21°，求∠ABC的度数.

图4

说明：本环节教师没有让学生完整地解答，而是花较多的时间给学生思考、讨论和交流，让学生谈看法和想法.如表示∠DBE，既可以用∠DBE=∠ABD-∠ABE，也可以用∠DBE=∠EBC-∠CBD.学生有了之前的经验，结合本题的已知条件(有角之间比的关系)，很快找到了方法，甚至在课堂中学生还提出可以增加一条角平分线的想法.这不仅激发了学生的学习欲望和表达意愿，同时也拓宽了学生思维的宽度.

4.4 总结评价

师：这节课同学们积极思考，踊跃发言，通过彼此交流，一定收获不少，请和同学们交流你的学习心得.

在学生充分交流后，教师又组织学生根据例2的背景自编一道题，根据自编情况的呈现给出评价.最后在一片欢声笑语中结束了本节课的教学.

说明：课堂总结没有长篇大论，只是把学生学习的内容在黑板上联系起来，通过“可视化”的方式进行了知识的联系，强调了“从单线到双线”“从形到数”以及“类比”“分类”“方程”等思想方法，这些均是课堂的自然生成.而题目自编的过程，则是对解题方法的提炼，给学生充分展示的舞台并给予学生适当的评价.课堂中，学生的编题不仅有两条角平分线的模型题，还有令人惊叹的图形旋转题，在感叹学生创造力的同时，也是对本节课充分的肯定.

5 教学思考

从前后两次的呈现来看，虽然后一节课训练不多，但明显学生学得更自主、更高效、更快乐，这值得我们思考.笔者认为初中数学复习课可以从以下三个方面进行设计.

5.1 基于学生的认知进行逆向思考，处理好训练和引导的关系

课堂实施需考虑学生的认知水平，包括学生的学习能力和学习心理，再结合教学目标进行逆向思考，找到学生现有水平与课堂实施目标的差距，从而对实现目标的每个教学环节进行设计和论证.如初次呈现的案例中，大量的练习是不是学生所需要的就是我们应该考虑的问题，尤其复习课，没有新意的反复练习会让学生感到枯燥乏味，机械化训练提高的顶多是应试能力，他们的问题意识和创新能力得不到应有的发展.所以说，数学需要适当的训练，但更多的应该是体现教育的唤醒价值，引导学生进行数学方法的归纳，结合数学思想的渗透，让学生养成数学思考的习惯，这样才能提升数学素养.

5.2 根据知识的发展建立单元结构，处理好整体和局部的关系

单个知识点是零散的、孤立的，数学课堂要呈现知识的生成和发展.在教会学生知识点的同时，应该把知识点串成知识链，帮助学生从整体出发进行知识的建构，建立知识间的联系及对知识本质的探究，让学生进一步理解知识、理解数学.如在再次呈现的案例中，让学生从整体上认识到从“单线”到“双线”的知识建构，优化认知，便于局部知识的理解和难点的突破.正因为知识间的密切联系，才有了思考问题和解决问题的方法一致性，从“形的认识”到“数的计算”，表面上是梳理了知识间的关系，实质上是培养了学生的结构化思维和迁移能力.

5.3 注重学生的发展设计课堂教学，处理好教知识和育全人的关系

数学课堂教学的核心任务是提升学生的思维能力和创造能力，让数学学习助力学生成长.基于学生发展和数学理解的课堂应该凸显学生的主体地位，教师建立大教育观念，在课堂上让学生经历思考、表达和合作，发展学生的创造能力，正如史宁中先生所言“创造力应当从基础教育抓起”.数学课堂不仅传授知识，更要育人.教师要从“怎样好教”到“怎样教好”，让学生从“学会数学”到“会学数学”.在再次呈现的案例中，变式的训练和解题方法的多样性强调了解题的思路和方法，提升了学生的综合能力和思维品质；开放问题和自编题目的设置则给了学生更广阔的思考空间和表现舞台，引导学生对已有经验的总结和分享，让知识在联系中生长.这样的课堂培育全面发展的学生，也是数学课堂的生命力所在.