智慧引领 模型破冰——对“圆周角(第1课时)”教学设计的思考

⦿湖北省咸宁市教育科学研究院 廖明芳

⦿湖北省咸宁实验外国语学校 许丽琴 王 弯

1 问题呈现

九年级开始学习圆周角的概念，通过与已有“圆心角”概念对比得出圆周角概念，而在圆周角定理得出的环节，人教版数学教材九年级上册第86页用了下面这段文字：

如图1,为了证明上面发现的结论(圆周角定理)，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于A的位置不同，折痕会：(1)在圆周角的一条边上；(2)在圆周角的内部；(3)在圆周角的外部.

图1

2 问题诊断

根据教材呈现内容，为引出圆周角的概念，很多教师设计了“将圆形纸片动手折一折”的教学环节，这样圆周角的出现比较容易，进一步测量圆周角和同弧圆心角也不困难，于是顺理成章“猜一猜”：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.到了关键“证一证”环节，问题来了：(1)教材中的这条折痕在证明过程中意义非凡，如何出现？(2)圆心角和圆周角的位置关系为何直接导致证明过程的差异，以及如何分类？

基于以上两个问题，教师用“折痕说”很难将问题自然过渡，只能采用强制引入的方式，凭空出现这条“折痕”，进而证明，使得整节课的逻辑链条断裂，干扰、打乱学生思维.

3 问题解决

经过反复实验，我们工作室的教师最终采用如下途径来解决本节课的难点.

3.1 情境导入，引出新知

播放神舟十二号发射及其与天和核心舱对接过程的短视频，抽象出圆周角，引出研究目标，同时增强学生的民族自豪感.

3.2 对比旧知，得出新知

从已知圆心角概念引出新的研究对象圆周角，二者的区别就在于顶点位置的不同，也就是角的基本要素之一(抓住几何研究对象的基本要素).而对几何对象研究的基本问题就是元素之间的位置和数量关系[1]，于是引发学生探究二者之间关系的内心需求.

3.3 测量猜想，尝试总结

通过动手画角、测量、辅助计算机度量，可快速得出结论，但在此处对结论的表述，教师要潜意识进行引导，将“圆周角”放在前——圆周角等于同弧所对圆心角的一半.这个不显山露水的操作是为了给学生做出良好导向，表明要证明的核心问题是圆周角与圆心角的大小关系，是把未知的圆周角转化为学过的圆心角问题来解决.

3.4 观察探究，智慧思考

教材中直接给出了折痕与圆周角的位置关系，思维跳跃性过大.此处借助《几何画板》，让圆周角顶点在规定弧上连续移动，仔细观察此时同弧所对应的圆周角和圆心角的变化，学生易得出：圆心角是唯一的，而圆周角是无数的.对于变化的圆周角和确定的圆心角，我们如何来进行研究？(变化之中的不变性)

对几何对象的研究仍然应该从它的基本元素入手，通过圆周角顶点的位置变换，引发学生思考：圆周角和圆心角的位置关系到底能出现多少种？对变化情况进行分类，并把问题进行分割，使角度减小，让学生先观察圆心(圆心角顶点)与圆周角的位置关系.通过《几何画板》的操作能够避免“折痕说”中的局限性，使得圆周角无间断、连续变化，全面不遗漏地考虑问题.而直观变化的动态可以帮助学生找到关键的三个位置(如图2)，为下一步证明做好铺垫.

图2

3.5 合理分类，模型探路

要证明圆周角定理，很自然地在上面(图2)三种位置关系中引进同弧所对的圆心角.第一种位置关系最为特殊(如图3)，其他两种均涉及到作关键辅助线，也就是“折痕”的出现.

图3

由易到难，第一种位置关系的证明学生很快可以得出.证明过程中用到了等腰三角形顶角的外角等于两底角之和，是前面学习过的三角形的基本性质定理.教师适时给出引导，对此模型进行剥离：圆周角就是等腰三角形的一个底角，圆心角就是等腰三角形的外角，它们之间的数量关系刚好完全吻合.而要想出现这个定理中具备的条件，过圆周角顶点的直径很关键，是构造出模型中等腰三角形外角的点睛之笔.

3.6 模型破冰，彰显智慧

第二种位置关系，考虑转化为第一种位置关系来证明，体会数学中的转化思想.思考方向：其一要考虑第一种位置关系中的直径，其二要从圆中剥离出等腰三角形的基本模型.有了方向，学生思考起来相对容易突破.连接圆周角顶点和圆心并延长交圆周于点D，形成教材中的“折痕”，这样就把要证明的问题变成了两个“基本模型”.

已知：A，B，C是圆O上的点，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角.

证明：连接圆周角顶点A和圆心O并延长交圆周于点D，如图4.

图4

∵∠3+∠4=∠BAC，∠1+∠2=∠BOC，

根据证明过程，可以形象地把第二种位置关系看成是“基本模型+基本模型”，如图4.

3.7 水到渠成，解决问题

第三种位置关系的证明难度较大，不容易观察，教师通过位置关系(2)的铺垫，去找寻基本模型.作出辅助线后，基本模型凸显，通过隐去部分线段，学生仍然能发现隐藏其中的两个基本模型，如图5.

证明：连接圆周角顶点A和圆心O并延长交圆周于点D，如图5.

图5

∵∠3-∠4=∠BAC，∠1-∠2=∠BOC，

根据证明过程，可以形象地把第三种位置关系看成是“基本模型-基本模型”，如图5.

4 结语

至此，整节课的重点很巧妙地彰显出来，化未知为已知，将问题转化为基本数学模型[2]，数学的基本思想体现无疑.在难点上也精心铺设，细化问题，通过多媒体软件的介入，连续变化达到相对严密的闭合系统，通过提炼基本模型引出辅助线、破解难点.可以说，通过这几个细节的用心处理，顺利厘清了整堂课的逻辑线，充分体现了数学学科转化思想的魅力，彰显了数学学科的育人价值.