深度学习视角下课题教学的实践与研究*——以课题“相似三角形的判定定理”的教学设计为例

王燕荣 陈 莉 闫喜红 王佳丽

(太原师范学院,030619)

一、问题的提出

相似三角形的判定定理是初中数学图形与几何板块的核心知识,更是中考压轴题的常考点.数学教学中应该强化情境设计与问题提出,让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程,在活动中逐步发展核心素养[1].在相似三角形的判定定理教学中,教师往往关注知识的传授与结论的获得,把学生掌握三角形的判定方法作为教学成功的唯一标准[2].这种急于求成的方式使得学生仅仅知其然,不知其所以然,学习停留在机械式或单一的浅层式,未能促进学生思维的深层参与,情感态度价值观难以充分发展,进而影响数学核心素养的培育.

已有研究表明:深度学习是核心素养培育和发展的基本途径.深度学习是指在教师的引导下,学生围绕学习主题,主动参与、积极建构、体验成功、获得发展的有意义学习过程.其具有联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用、价值与评价五个主要特征[3].

下面我们以人教版初中数学九年级下册“相似三角形的判定定理——两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”为例，在深度学习视角下进行教学设计,旨在使学生经历观察、猜想、验证、推理的过程,促进思维的深层参与和获得良好的情感体验,提升数学思维的品质,学会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界,培养学生的数学核心素养.

二、深度学习视角下相似三角形的判定定理教学设计研究

1.温故知新——联想与结构

问题1两个三角形相似学过了哪些判定方法?其适用范围?

学生根据前面所学内容,自然能够想到定义法、预备定理——平行线、定理1——三边对应成比例的两个三角形相似三种方法并发现使用定义法证明较繁琐,预备定理对图形的结构有较高要求,三边对应成比例在涉及角时有局限性.

问题2全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形,类比全等三角形的判定方法,猜想判定两个三角形相似还有哪些简便的证明方法？

学生容易发现:由全等三角形的判定方法SAS,类比猜想:两个三角形若两边对应成比例,且夹角相等,则三角形相似.

设计意图回顾全等三角形的判定定理和已学过的相似三角形判定方法,类比猜想提出研究问题,使新学习内容与已有的适当知识建立了非人为实质性的联系,使新学习内容自然生长出来,同时使学生感悟到类比的数学思想方法,学会数学地思考,促进高阶数学思维的发生.

2.情境创设——活动与体验

活动1剪纸活动,学生动手操作

小组合作进行活动,剪出两个直角三角形纸片,要求与直角相邻的两边对应成两倍关系,如图1.

教师提问:请问这两个三角形相似吗?

学生有如下回答:

方法1在直角三角形中,用勾股定理算出斜边,发现斜边也成比例,采用三边成比例证明两个三角形相似.

方法2将两个三角形重叠后,发现与直角相邻的两边存在两倍关系,可联想三角形中位线定理,再根据预备定理——平行线得出证明.

教师追问:在直角三角形中成立,在一般的三角形中仍然成立吗?若∠C为锐角,与该角相邻的两边对应成2倍关系,这两个三角形相似吗?

学生发现:可用方法2证明改变角度后,仍存在三角形中位线定理,根据预备定理——平行线得出证明.

教师继续追问:在一般的两个三角形中,若一个角相等,其相邻两边对应成任意比例时,这两个三角形相似吗?

活动2几何画板演示

学生发现:无论如何改变对应边AB与A′B′的比值以及∠A′的大小,通过度量边的长度和角的大小,根据已学的方法如:用定义法或三组对应边成比例均可证明两个三角形相似?并且将两个三角形重叠后发现第三边仍然平行．

设计意图利用学生已有的知识和经验,在教师的启发引导下,学生动手实践探索规律,教师不失时机借助几何画板进行直观演示和度量验证,在变化中探索不变的性质,激活学生的思维．依托实践操作的活动,学生多次验证猜想的正确性,积累了丰富的活动经验,为后续严格推理论证埋下伏笔.在整个“做活动”的过程中经历了数学知识发生、发展的过程,感受到新内容学习的自然性和合理性,感悟特殊到一般的思维方法,培养学生的合情推理能力和几何直观素养.

3.定理证明——本质与变式

教师提问:通过前面的实践活动,你打算如何证明呢?

教师结合活动体验的过程,设计问题串:

问题1∆ABC与∆A′B′C′是怎样建立联系的?也就是说怎样将两个三角形转化为一个图形中?

学生自然想到采用平移的方式可将两个三角形放在一起.

问题2如何平移?具体操作?辅助线如何体现?

学生根据已有的知识经验,能够想到:先保证一边相等,如AB=A′D,并过D作平行线DE∥B′C′,交AC′点于E，如图2.

问题3中介三角形∆A′DE分别与∆ABC和∆A′B′C′有什么关系呢?

学生根据全等三角形的判定定理和判定三角形相似的预备定理容易得出: ∆ABC≌∆A′DE,∆A′DE∽∆A′B′C′.

问题4根据上述的思考过程,你能否书写规范的证明过程?动手试试.

证明在线段A′B′上截取A′D=AB,并过D作DE∥B′C′.

∴∆A′DE∽∆A′B′C′.

∴AC=A′E.

在∆ABC和∆A′DE中，

∴∆ABC≌∆A′DE(SAS).

∴∆ABC∽∆A′B′C′.

问题5用数学的语言如何表达?

学生根据已有的经验,用图形、文字和符号三种语言表达获得的结论.

学生动手尝试,小组讨论后,发现该定理的注意事项——该角必须是夹角.

设计意图在定理教学中,不仅要让学生掌握定理本身,还要让学生体验定理形成的思维过程,发展深度思维[4].通过教师设置递进式的问题串,学生结合活动与体验的经历,从动手实践获得的感性认识升华为逻辑推理的理性思考,推动思维的纵深发展．这样还会发展学生的数学推理素养和提升数学思维的品质,增强数学学习的主动性和积极性,感受到证明过程的合理性和自然性.

4.定理应用——迁移与巩固

通过设计丰富而又典型的正例和反例进行定理辨析,把握定理的本质属性.设置的题目难度由浅至深,不仅有巩固所学知识中的基础问题,还有突出一题多变的变式问题,体现数学思维的灵活性和独创性,促进知识的正向迁移.

例1判断下列图形中的两个图形是否相似,如图3.

例2如图4,∆ABC中D为AB边上一点,AB=8,AC=4,AD=2,求证∆ABC∽∆ACD.

例3将图4中小三角形进行旋转,翻折,放大,缩小,根据本节课所学的证明方法,你能提出一个如例2的问题吗?并请你证明.(如图5)

设计意图通过多样化的例习题,不仅加深对数学知识本质的理解,更提高学生分析和解决问题的能力.尤其在放大、缩小、旋转、折叠的运动变化中寻找对应关系,克服思维定势,发展学生解决问题的能力的同时渗透了变中不变的辩证唯物主义观点.

5.课堂小结——价值与评价

教师提问:梳理思路,谈谈本节课的收获,并绘制知识结构网络图,如图6.

思考题图5中,若BE,CD相交于点A且∠B=∠E，你能根据所学的判定方法证明∆ABC∽∆AED吗?在一般三角形中,已知两组角对应相等的两个三角形相似吗?

设计意图数学学习是不断形成新的数学认知结构的过程,通过绘制知识结构网络图,将所学知识建构入已有的知识体系中,使得学生形成结构良好的数学认知结构,促进其对数学知识的理解、存储、提取和应用.通过设置数学思考题,引发下节课学习内容的思考,使学生带着数学问题走出教室,从“学会”逐渐转变为“会学”,发挥其主动性和积极性,数学思维得以延伸.

三、结束语

要实现学生的深度学习,离不开教师的深度教学.数学教师在定理教学的过程中要充分考虑学生已有的知识、经验和思维水平,创设体现深度学习特征的多样化教学活动,使学生在动手实践、参与体验、合作交流、理性探寻、反思概括的探究过程中数学思维得以自然地发生和发展,进而掌握研究问题的思维方法和感悟数学思想方法,培育数学核心素养,最终落实立德树人的培养目标.