立足核心素养 发展直观想象——一次函数应用

郭仪昊

(江苏省无锡市锡山区天一实验学校，214105)

一、试题及分析

函数图象有关的问题常常出现在各地中考试卷中.这类问题对学生审题能力、数形结合等思想方法的应用要求较高.本文结合一道中考题,尝试对函数的教学给出一些粗浅的策略．

(2021年无锡第10题)设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数C1,C2图象上的点,当a≤x≤b时,总有-1≤y1-y2≤1恒成立,则函数C1,C2在a≤x≤b上是“逼近函数”,a≤x≤b为“逼近函数区间”,则下列结论:

(1)函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”;

(2)函数y=x-5,y=x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函数”;

(3)0≤x≤1是函数y=x2-1,y=2x2-x的“逼近区间”;

(4)2≤x≤3是函数y=x-5,y=x2-4x的“逼近区间”;

其中,正确的有( )

(A)(2)(3) (B) (1)(4)

(C)(1)(3) (D)(2) (4)

本题所涉及到的知识点有:一次函数,二次函数以及在给定的定义域内,求出对应函数值的差值,其中,函数是主背景图,熟练掌握一次、二次函数的图象是理解本题的关键．对于学生而言,如果在日常学习中没有对两个函数求差值的做题经验或者不理解函数差值在图象中是怎么体现的,那么题干中提到的“逼近函数”就会让学生不知所措或者颇费周折．优秀的学生可能会经历画图象,找区间,求对应函数差值的过程,从而不断的去理解当a≤x≤b时,总有-1≤y1-y2≤1恒成立所表示的含义．笔者以一次函数应用为例,结合具体的教学实践阐述了如何把函数教学落实到位．

二、 课例呈现,落实核心素养

函数是刻画两个变量之间关系的重要工具,方程是刻画等量关系的重要工具．利用函数,方程知识能有效地解决生活中的实际问题,一次函数这一章所遇到的实际问题以行程问题居多,因此,以行程问题为背景的函数建模研究对于我们进一步理解运用函数知识就非常有必要．

活动1——设置生活情境,激活学生思维

问题1秋游时,导游带着队伍(长度不计)以60m/min的速度匀速的从三国城前往水浒城,全程600米,出发时,A同学晚出发了2分钟,为了赶上,A同学以120m/min的速度跑步追赶,结果比队伍早到终点．设队伍行走的时间为x(min),队伍和A同学离三国城的距离分别为y1和y2,请写出y1和y2关于x的函数表达式,并画出图象．

设计意图设置学生熟悉的以秋游为背景的题目,可以激发学生学习的热情,使学生能快速的进入学习状态．

活动2——设置开放问题,提升思维品质

问题2回看问题1中的画的两个函数图象(如图1),若把它们画在一张图上,你能提出什么问题?

生1:当队伍走了300米时,所需时间为多少?

生2:两图象交点表示的含义是什么?

生3:几分钟后同学超过队伍?

生4:队伍和同学什么时候到达终点?

生5:描述两人的运动状态．

……

设计意图开放的例题可以让学生去提问、去思、去悟,教师可以顺着学生的领悟往下去教学,从而实现以学定教．

活动3——设置变式问题,拓展学生思维

问题3图1中还有哪些量会随着时间的改变发生变化?

生:队伍和同学之间的距离也会随着时间的改变发生变化．

追问:同学们能画出其随时间变化的图象吗?若能请以时间为x轴,队伍和同学之间的距离为s轴,把图象画出来．

学生完成图象,并展示答案．

追问:观察图1和图2,同学们能找出这两幅图之间的联系吗?要找到这两幅图之间的联系,要抓住图2中的s,在图1中怎么体现?

生:图2中的s在图1中是当取定同一个x值时,

对应的函数值的差值,也就是|y1-y2|．

追问:你能把|y1-y2|表示的含义在图1中画出来吗?并描述它随时间怎么变化的吗?它代表的实际意义是什么?

小组合作探究,并把学生答案呈现在黑板上．

总结:把图3中的这些线段按时间顺序依次排列得到图4,可以发现组成的图形就是我们画的图2,这样我们就建立了两幅图之间的联系,加深了对函数图象的理解．

练习:根据画的两幅图来完成下面的题目：

(1)队伍出发多长时间后,队伍和A同学相距60m?

(2)若A同学到达水浒城后,立即以原速返回队伍,你还能提出哪些问题?

设计意图活动三以图象变换为明线,用一张图来贯穿整个活动,通过引导学生观察两个图象的特点,帮助学生建立联系,并引导学生从图3和图4两个角度来解决两人之间相距的问题,让学生抓住数形结合的本质,高屋建瓴地从几何法和代数法两个角度来突破难点．

活动4——设置巩固练习,强化思维方式

练习:如图5所示,已知一条铁路线上有A，B，C三站,B，C两地相距280千米,甲、乙两列动车分别从B，C两地同时沿铁路匀速相向出发,向终点C，B站而行,甲、乙两动车离A地的距离y(千米)与行驶时间x(时)的关系如图6所示,根据图象,解答以下问题．

(1)填空:路程a=______,路程b=______,点M的坐标为______．

(2)求甲离A地的距离y甲与行驶时间x之间的函数关系式．

(3)求出点N的坐标并解释N点的实际意义．

(4)补全动车乙的函数图象．

(5)画出两车之间的距离S与行驶时间x的大致函数关系图象．

设计意图练习的目的是加强学生读图、用图、画图的能力．

活动5——设置数学文化,体会数形结合的优越性

某轮船公司较长时间以来,每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约,并且在每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中所花的时间,来去都是七昼夜,而且都是匀速航行在同一条航线上．问今天中午从哈佛开出的轮船,在开往纽约的整个运途中,将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?一位法国数学家柳卡提供了“无字的证明”,是都能看懂的图形(图7)．

由图7可见,从左下角到右上角的线段,与“途中”的平行线段有15个交点,故与同一公司从对面开来的15艘船在航行中相遇．

设计意图最后以一则数形结合的故事结尾,让学生体会数学来源于生活更要服务于生活、不仅要用数学的眼光观察世界、更要用数学的语言表达世界．

活动6——回顾反思

1.我是怎么学习的? 2.我还想学习什么? 3.我还有什么困惑?

三、实践反思

1.立足核心素养,重视直观想象

函数是初中数学最重要的概念之一，这就要求教师要将比较抽象的学习内容转化为学生易于直观感知的教学内容,而函数图象就是我们实现这一转化最好的抓手．对于函数图象的研究,应首先通过探究图象,发现规律,然后探明图象变化的趋势,以此预判函数图象的发展,最后做到让学生看到“看不见”的函数图象、会数形结合地解决问题,以此来发展学生的直观想象素养．尤其对于一次函数,它是学生在初中阶段接触到的第一个函数,更要借由发展学生的直观想象素养．教学设计以学生熟悉的秋游为背景引出一个正比例函数及一个一次函数,在列表达式的过程中完成了对基础知识的复习,然后不断地设置开放性问题,发展了学生数学的理性思维,紧接着提出本节课的核心问题两人之间的路程差在函数图象上是怎么体现的,环环相扣,让学生思维逐步渐入佳境,最后不仅从代数角度教给了学生如何求|y1-y2|而且从图形的角度让学生直观的看到|y1-y2|所表示的线段,培养了学生的几何直观．

2.解析经典图象,重视挖掘联系

在初中阶段,要让学生充分地经历运用数形结合思想方法,特别是借助几何直观解决数学问题的过程．本节课所设计的题目并不难,也是学生在练习中经常遇到的,但以前教师很少去深挖两张图之间的联系,因此函数图象的应用课,不仅要帮助学生回顾旧知和运用所学,而且要让学生能够通过图象直观认识数学问题,能够用图象描述和表达熟悉的数学问题,从而启迪学生解决这些问题的通用思路,在潜移默化中让他们体会数形结合,落实直观想象核心素养的培养目标．

3.融入数学活动,促进深度思考

教师在平时教学中要多设置开放性的数学活动,积极引导学生去思考,去提问,去表达心中所想,在问答过程中,就可以激活学生的思维,从而帮助学生找到解决某一类问题的通性通法,促进学生提升分析问题和解决问题的能力．

4.培养理性精神,渗透数学文化

在数学学习中,教师要注重培养学生的理性精神不能靠臆想来解决问题．如课例中的问题4的第一问,如果没学会用图来解决,很容易漏掉两个答案．教师一方面要鼓励学生大胆猜测，另一方面也要强调小心求证,既要注重直观想象,也要强调逻辑推理．教师还应注重拓展有关数学文化背景的数学问题．比如,活动5中的数学故事“无字的证明”,就能充分体现图象在解决问题的优越性．数学文化的合理渗透,既充分挖掘数学学科的文化内涵,又找到了数学教学与价值引领的结合点,贴近学生思想,能够引发学生的价值认同．