基于MPCK理论的小学数学几何直观培养路径

王颖

MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），意为数学学科教学知识，由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、学生学习知识（CK）三者相互融合而成，是衡量数学教师专业发展的核心指标，亦为影响数学教与学的关键因素。几何直观主要是指学生运用图表描述和分析问题的意识和习惯，它不仅是一种意识，也是一种技能，更是一种思维方式。本文基于MPCK理论，结合小学数学教学实践與思考，探索几何直观培养路径，通过对教师专业素养的提升与教学过程的优化实现学生几何直观的发展。

一、把握数学本质，激活几何直观意识

MK主要是指教师具备的关于数学学科的知识。为提高MK水平，教师要研读数学教材，准确把握数学学科内容本质。具备较强MK水平的教师，在教学中能主动借助几何直观把抽象的数学知识转换成形象的具体知识，让学生感受到运用图表描述和分析问题的意义与价值，愿意动手实践，有效激活学生的几何直观意识。

例如，教学“倍的认识”单元（人教版，下同），由于倍的概念涉及两个量之间的比较，十分抽象，学生不易理解。教学本单元时，教师应注重几何直观的作用，通过多种直观形式帮助学生理解数学本质。一方面，在本单元倍的概念建立过程中，教师注重将所比较的事物的数量关系直观化。学生通过活动情境，把萝卜每两根为一组圈出来，并对萝卜的圈图进行比较，直观形象地展示出两个数量之间的倍比关系，沟通抽象的新知识“倍”与自己熟悉的“几个几”之间的联系，建立起倍的直观模型，从而深刻理解倍的本质，即一个量里包含了几个另一个量就是它的几倍。另一方面，在本单元解决问题（求一个数的几倍是多少）教学中，为了让学生明确“求一个数的几倍是多少，就是求几个几是多少”，教师注重启发学生借助图形分析数量关系，可以从画形象的实物图出发，再慢慢过渡到画线段图。当然，对于第一次接触线段图的低年级学生来说，教师需要加强方法指导，引导学生自己学会用线段的长度来表示数量，并且能够表示出两个数量之间的倍数关系。学生在理解基本数量关系的同时，感受几何直观的作用，借助图形分析和思考的意识得以激活。

从MK角度分析，教师能够灵活调用自身储备的关于数学学科的知识，准确把握数学知识的本质，并借助几何直观手段引导学生探寻数学本质，引发学生自主运用图表分析和解决数学问题，促进学生几何直观意识的养成。

二、构建教学策略，提升几何直观技能

PK主要是指教师具备的关于教学策略的知识。拥有不同PK水平的教师在教学策略方面的知识储备量有所不同，面对同样的数学知识就会有不同的教学设计，从而形成不同的教学效果。教学中教师要根据不同的教学内容和教学目标灵活、恰当地构建教学策略，并在运用教学策略的过程中助力学生养成运用图表描述和分析问题的技能。

例如，教学“植树问题”时，为了让学生形成深刻的植树问题模型，教学中教师巧妙采用建模、固模、用模、拓模等教学策略，引导学生不断借助线段图描述和分析植树问题，积累活动经验，逐步深化对植树问题认识的同时，实现对学生几何直观技能的提升。在建模中，对于相同的总长、相同的间隔长、相同的间隔数，不同的植树情况（两端都栽、两端不栽、只栽一端）得到不同的植树棵数。通过观察线段图，学生能够清晰地看到：植树棵数不同的主要原因在于两端的植树情况不同。教师进一步引导学生自己画出线段图并分析三种植树情况中间隔数与棵数之间的对应关系。线段图的呈现有效地帮助学生建立植树问题模型并积累几何直观经验。在固模中，教师出示不同情况的植树棵数，学生根据植树情况和棵数快速找到所对应的间隔数。当学生判断出现混淆时，自己能借助线段图重新找寻对应关系。有些学生甚至能够借助线段图小结三种植树情况的结构化关系：只栽一端间相等、两端都栽间减1、两端不栽间加1，从而实现巩固模型的效果。在用模中，学生运用模型寻找生活中各种各样的“树”，包括看得见的“真的树”（如路旁植树问题）、看得见的“假的树”（如锯木头问题）、不容易看见却能“想象的树”（如公交车站点问题）、看不见却能“听得见的树”（如钟声问题）等，每一种生活中形象的“树”，学生都能借助线段图呈现出数学中抽象的“树”，层层推进，实现模型的灵活运用。在拓模中，教师出示圆形池塘边植树问题，引发学生思考封闭曲线上植树问题的棵数和间隔数的对应关系，学生通过化曲为直，再次借助线段图分析，实现由直边植树模型向闭环植树模型拓展。

从PK的角度分析，在数学教学中教师选择适当的教学策略实施教学，借助教学策略适时地对学生进行针对性引导，有效地将学术形态的数学转化成教育形态的数学，促进学生几何直观活动经验的积累，提升学生的几何直观技能。

三、探明学习思路，发展几何直观思维

CK主要是指教师具备的关于学生数学学习的知识，包括对学生学习困难及学习思路的认识。拥有较高CK水平的教师能够准确辨别学生感到困难的学习内容，并借助几何直观实现思维外显，明晰思维路径，化解学习难点，促使学生主动从直观层面展开思考，进而形成良好的几何直观思维。

例如，教学“数学广角——数与形”一课，在解决1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…的求和问题中，学生观察发现加数的规律，即第一个加数是1/2，后面每个加数是前一个加数的1/2，并计算发现算式和的规律，即和为1减去最后一个加数，且随着加数越来越多，和越来越接近于1。但这个无限接近于1的数的具体值是多少？这是一个极其抽象的极限问题，学生很难理解其结果就是1。此时教师出示一个正方形，学生根据分数的意义，用阴影在正方形上有规律地表示出这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，阴影部分就会把整个正方形占满。用画图的方式来表示计算的过程和结果，且正方形易于分割观察，学生直观地看到这些数相加之和为1。此时，学生在理解上可能还存在困难，教师还可以借助图形进行反推，帮助学生直观地理解：1=1/2+1/2=1/4+1/4+=1/2+1/4+1/8+1/8=…在整个教学过程中，教师借助图形为学生解决问题提供探索和思考的路径，学生在体会推理和极限思想的同时，充分感受到利用图形探索解决问题思路的重要性，助力自身几何直观思维的发展。

从 CK的角度分析，在小学数学教学中，教师只有全面深入地探明学生的具体学情，才能关注到学生的个体差异，预测学生可能会遇到的困难，并根据学生的认知盲点巧借图表来解决，引发学生借助几何直观进行有理有据地思考。

（作者单位：福建省厦门市集美区教师进修学校 福建省厦门市集美区内林小学 ）