小学数学解决问题中几何直观的培养策略

蓝作坤

【编者按】当前，小学阶段的数学教学强化了对学生几何直观的培养，要求学生具备主动借助图表描述与分析问题的意识与习惯。在教学中，教师如何优化教学过程，创设契合学生认知发展规律的学习活动，探究培养路径，逐步发展学生的几何直观？本期话题一起来探讨。

形缺数时难入微，数缺形时少直观。在小学数学教学中，几何直观能让抽象的问题描述直观化，使学生能迅速、简捷、合理地解决问题，发展良好的思维能力。因此，在小学数学解决问题教学中，教师应注重对学生几何直观的培养。

一、小学阶段几何直观的内涵与教学现状

1. 几何直观的内涵。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。它的应用主要包含两个方面：一是通过几何直观，帮助学生感知、认识、学习几何图形（能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类;根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质）。二是将几何直观当成解决问题的路径，打通数与形的关联（建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型;利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路）。本文所要阐述的主要是几何直观在小学数学解决问题中的应用及培养策略。

小学数学解决问题的核心是思维建模，几何直观有助于学生把握问题的本质，明晰思维的路径。借助几何直观可以使数学问题变得直观、简明、形象，借助几何直观可以建立起文本与算式的可视联系，借助几何直观可以建立起一类问题的思维模型。

近些年来，我国学者对几何直观也进行了深入研究，如史宁中先生将几何图形与实际生活中的物象进行联系，以实现对空间与数量的感知，为解决问题提供依据。徐利治先生则是将几何直观定义为通过问题联系生活，以生活中的几何图形为载体，将几何直观的形象与数学问题进行对比分析，以此实现对问题中所包含数量关系的有效感知。

笔者认为，几何直观是一种基于空间能力的进阶能力，具体表现为利用图表对数学问题进行描述和分析、思考和想象，探索解决问题的路径，读出问题的结果，论证问题的结论，揭示数学的本质，发展思维能力。对于小学生而言，几何直观可以帮助其对解决问题进行简单的空间描述、想象和文本转化。

2. 与几何直观有关的教学现状。

一是在日常教学中，教师往往将几何直观当成解决问题的桥梁，仅将其视作解决问题的工具，通过直接呈现各类图表，为得出算式服务。这样便会让学生误以为解决问题就是列出算式求出结果，忽视了几何直观的重要性。

二是在现行教材中，缺少必要的画图方法教学。因此，在学生解决问题时，缺少运用几何直观辅助解决问题的能力，对学生几何直观的培养出现缺位。

三是教师忽视了几何直观作为学生核心素养的重要作用，以及对学生终身发展的重要意义。由于缺乏必要的引导，很多学生在解决问题时，偏向于套用现成的概念或公式，不能“赋数于形”，缺乏使用几何直观解决问题的意识。

在小学数学解决问题中，几何直观的培养，需要在“文”“图”“式”三种表达方式的转化上下功夫，有序建立“文—图—式”三者之间的联结，最终实现三者之间的无障碍自译和互译。

二、解决问题背景下几何直观的培养策略

（一）读图

在学习画图之前，要教会学生读图。一是让学生明白今后要画的图是什么样的，二是建立图与文本信息的对应关系。学生只有先看懂、识别出图背后所隐藏的信息，在解决问题时，他们才会把题目中的信息以几何直观的方式加以呈现。读图读什么？

1. 从图中读出文本，建立图与文的联结。

理解题意是解决问题的基础，小学阶段多数的数学问题都是以文本信息的方式呈现的，小学生受思维能力水平的影响，无法理解比较抽象的题意。我们就可以借助几何直观把抽象的题意与形象的图结合起来，给抽象的数赋予直观的形，既理解题意，又培养学生的几何直观。因此，教师要教会学生读出图中的文本信息，使学生建立文本与图的强联结，当题目以文本信息的形式呈现时，学生大脑中能自然映射出相对应的图。

（1）从图中读出量与量的关系。

图1是小学阶段最常见的形容两个量倍数关系的线段图。与它相联结的文本信息为：“男生人数是女生的3倍”或“女生人数是男生的”。三年级学习了“倍的认识”之后，我们就要经常呈现这样的线段图（改变量与倍数关系），让学生直接从线段图中读出文本信息，建立线段图与文本信息间的强联结，为今后根据文本信息画线段图做准备。

（2）从图中读出问题。

在利用线段图分析数量关系时，我们指向的往往是对具体某一个问题的解决方案。其实一幅线段图表征的是一类题目，它可以同时解决多个问题。

如图1，基于该线段图可以解决4个问题：①男生有多少人？②女生有多少人？③男生（女生）比女生（男生）多（少）多少人？④男生和女生一共有多少人？这4个问题对应的就是4道题目。在以文本信息形式呈现的题目中，学生认为这4道题目是独立的、不同的。从读图入手，通过教师的引导，学生就会发现这4道题目的数量关系是一样的，因此线段图也是一样的。通过几何直观帮助学生建立一类问题间的联结，从而建构起解决一类问题的思维模型。

2. 从图中读出关系，建立图与式的联结。

（1）从图中读出等量关系式。

列算式是小学阶段学生解决数学问题最常用的方式，但纯算式的呈现方式使得多数学生无法明白运算符号与文本信息的内在聯系。示意图中既包含了对量的描述，也包含了对量与量之间关系的呈现。借助几何直观既能明晰文本信息中的隐含题意，又能让学生清楚地看到运算符号的产生过程。因此，在读图时，我们除了关注量，更为重要的是提炼出图中量与量的关系。建立图与式的联结，最后利用关系式使题目顺利得解。从图1中，我们就可以得出“女生人数×3=男生人数”这样的等量关系式。在后续解题中，无论题目求哪个量（男生人数、女生人数、和或差），我们都可以利用这条等量关系式列出算式使题目得解。

（2）从图中读出结果。

几何直观不单单是解题的策略与桥梁，更为重要的是它能直接呈现问题的结果。将抽象的文本（或算式）转化成直观的图呈现时，我们可以直接从图中读出问题的结果。

在学生刚刚接触植树问题时，教师不适合直接进行列算式教学，而是要让他们先学会识别植树问题中的各种数据。我们可以在课堂上出示示意图（图2），并创设不同的情境。①图2表示在一条路上植树。从图中我们可以读出：两棵树之间的距离是（ ）米，这条路上一共种了（ ）棵树，这条路的全长是（ ）米。②图2表示把一根木条锯开。从图中我们可以读出：这根木条被锯了（ ）次，被锯成了（ ）段，锯开后的木条每段长（ ）米，这根木条原来长（ ）米。

通过不同的情境，让学生明白不同数据存在于示意图中的不同位置，根据数据所处位置的不同，确定出植树问题中的数据有两种身份：点（数在点上）和段（数在段上）。为今后深入学习植树问题做铺垫。像此类问题的解决，图画好了，结果也就随之呈现了，学生无需再进行繁杂的列式计算。

（二）画图

画图，是将抽象的文本、语言、算式，具体、形象、直观化的过程。画图，怎么画？

1. 抓关系句子，将文本信息转化成图。

我们先来看这样一个例子。①小明获得10朵小红花，小红比小明多得4朵。他们两人一共获得多少朵小红花？②小红获得14朵小红花，比小明多得4朵。他们两人一共获得多少朵小红花？

学生画图时，往往会从已知量入手画出两种不同的线段图。实际上这两道题目的数量关系都是“小红比小明多得4朵”。因此，在画线段图时（见图3），我们要先抓住形容两个量关系的句子画出关系图a，再将题目中的其他信息添加到线段图中，题①添上小明的红花朵数与问题，得到图b，题②添加小红的红花朵数与问题，得到图c。

可见，要将文本信息转化成线段图，并不是按题目的描述将每个句子进行逐一转化，而是要先找出文本信息中描述两个量关系的句子，先将关系句子转化成关系图，再将题目中的其他信息填充上。

2. 抓运算意义，将算式转化成图。

在小学阶段，算式用运算符号联结数字，是对数量关系的高度概括，通过数的运算来推演量与量之间的关系。在算式中，数的运算是表象，隐藏着的是数量关系。只关注数的运算，忽视数量关系，这样的运算就少了意义的支撑，使运算变成了技能技法的操练。将算式转化成图，学生不仅可以很好地理解运算顺序，同时也可以知道算式的产生过程。

学习“混合运算”时，除了通过具体情境让学生理解运算顺序外，还可以利用图帮助学生直观理解运算顺序。在计算5+3×4时，学生受“同级运算顺序”和“乘加运算顺序”的影响，会出现从左往右计算的情况。将算式先转化成图（图4），在图中，我们就可以清楚地看出3×4是一个整体，因此，我们就不能将5与3直接相加。从图中我们不仅让学生直观地看出了这道题的运算顺序，同时还让学生直观地感受到5和3不能相加的原因。在后续学习运算定律时，通过画图，使学生更好地理解使用交换律时算式中数据如何正确交换位置。

3. 从图到图，将图还原。

以文字表述的数学问题，我们都会有意识地借助图的支架作用理解题意，但对于“图形与几何”领域的数学问题，却往往忽略了对现成图形的深挖。在学习“长方形的周长”（人教版，下同）时，我们要从现成的图形中描出要度量的线，随后将这一圈线通过移动的方式有序地直观呈现在一把尺子上。接着让学生明白周长就是这一条线段的长度，建立起周长与线段的联系，理解周长的本质是“线”。在学习长方体的表面积时，表面积的本质是“面”，我们可以与第二单元的“观察物体（三）”相联结，先从立体图形中找出它六个方向面的形状，接着通过分组建立起求由小正方体拼成的立体图形表面积的基本模型（图5）。

（三）借图

有了读图与画图的训练，学生能将“文”“图”或“式”转化成对应的“图”，以“图”为纽带，我们就可以帮助学生建立起“文—图—式”三者之间的联系。在学生能熟练转化之后，“图”就可以在大脑里完成，进而实现“文”与“式”的直接互化。借助“图”，我们还可以进一步实现“文—文”“式—式”之间不同表述形式的转化。最终让学生具备看到任何形式的信息时，头脑中自然呈现出对此信息其他形式的表征能力，从而真正实现“文—图—式”三种形式之间无障碍的互译与自译。

六年级分数解决问题教学的核心是对含有分数的关系句进行转化（图6）。在解读关系句中，教师要先让学生从意义入手理解分数的具体含义，利用份数关系画出线段图;接着利用线段图，引导学生运用已有知识对其进行多角度表征，不断丰富学生的思维角度，通过线段图打通不同表述方式的内在联系，促使学生将分数乘法、分数除法、比、百分数等内容融合成一个整体。当学生能够独立、熟练地完成各种转化后，他们在解决问题时就可以根据自己的喜好和当前水平选择合适的解题方法进行解题，这时，多种方法解题也就水到渠成了。借助這样的方式，帮助学生建立解决分数问题的思维模型。

总之，几何直观不单单是解决数学问题的一种手段，更是一种十分重要的数学思想。在小学数学解决问题中，通过对学生几何直观的培养，提升学生对各种信息的“翻译”本领。让学生形成利用几何直观解题的意识与习惯，进而通过问题的解决促进学生思维能力的发展。可见，几何直观为思维的升华提供了很好的路径。

（作者单位：浙江省温州市实验小学）