考虑滤过作用及黏度时变性的盾构壁后注浆扩散模型研究

周中，胡江锋，张俊杰，邓卓湘

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)

近年来，盾构法施工由于具有一系列的优点，在隧道的开挖中得以广泛应用。为方便盾构隧道的施工，刀盘开挖半径通常大于管片半径，围岩和衬砌之间会形成一定厚的盾尾间隙。同时，为确保工程质量，需及时向此盾尾间隙填充浆液，以控制围岩及地层土体变形。盾构隧道壁后注浆的好坏极大地控制着盾构施工的安全，因此研究盾构隧道壁后注浆浆液的扩散运动对盾构施工具有极大意义。目前，国内外学者不仅在注浆研究方面取得了很大进展，在盾构隧道壁后注浆方面也收获颇丰。SAADA 等[1-3]通过一维模型试验探究浆液受土体滤过效应的影响；MAGHOUS 等[4]将一维单向注浆滤过理论模型扩展到柱形扩散中；房凯等[5]基于线性滤过定律，建立了考虑滤过效应的球形浆液扩散模型；冯啸等[6]建立水泥动界面理论模型，分析浆液界面运移机制；叶飞等[7-10]引入等效孔隙率，分析浆液的扩散模式及对管片的相互作用力，并在之后的研究中，考虑浆液黏度时变性及空间效应，建立浆液运动扩散模型。毛家骅[11]引入有效扩散半径，建立了考虑滤过效应的盾构隧道壁后注浆渗透模型；阮文军等[12-13]通过试验证明了水泥基浆液存在黏度时变性，并基于此推导出考虑黏度时变性的岩体裂隙注浆扩散运动模型；梁禹等[14]结合注浆浆液具有黏度时变性的特点，推导出适用性更强的浆体固结变形方程；张连震等[15]基于宾汉姆流体，推导出考虑黏度时空变化的双浆液扩散模型；周佳媚等[16-17]以幂律流体为基础，推导出考虑浆液稠度时空变化的浆液渗透扩散模型；WANG 等[18-19]基于柱面扩散理论，推导考虑黏度时变性与否情况下壁后注浆扩散半径和注浆压力公式，研究管片所受压力随注浆时间的变化规律。然而目前国内外学者对于盾构隧道壁后注浆浆液扩散的研究大多仅考虑浆液黏度时变性的影响，对围岩土体滤过作用的影响考虑的较少，尤其是在考虑浆液黏度时变性与土体滤过作用的相互影响方面研究不足。本文基于线性滤过定律，建立了恒定注浆速率下考虑滤过作用与浆液黏度时变性的盾构壁后注浆柱形扩散模型，推导了浆液黏度时空分布控制方程和浆液扩散运动方程。结合实例，分析相关注浆参数对壁后注浆浆液扩散运动的影响，并对比仅考虑浆液黏度时变性和仅考虑滤过作用时所得计算结果，发现同时考虑滤过作用及黏度时变性的注浆扩散模型具有一定研究价值。

1 壁后注浆扩散理论模型

1.1 基本假设及使用范围

为简化计算，提出如下假设：

1) 注浆浆液为不可压缩、均匀各向同性流体；

2) 注浆浆液在整个注浆影响厚度范围内等效为渗透扩散；

3) 在注浆的过程中，注浆速率恒定，浆液为层流运动；

4) 浆液的扩散方式为柱形扩散，且符合达西定律；

5) 注浆压力、水压力沿着隧道周围均匀分布。

本文提出的考虑滤过作用及浆液黏度时变性的浆液扩散运动理论模型，适用于土体自稳性较差、深埋盾构隧道的单液管片注浆。

1.2 浆液在围岩土体内扩散的滤过作用

假设壁后注浆浆液为均匀水泥浆，且浆液在土层中的渗透扩散可看成浆液填充围岩介质孔隙的过程。以n表示壁后土体孔隙率，用ns，nc和nw分别表示单位体积内土体颗粒、水泥颗粒和水的体积含量，则有：

水泥颗粒的分流量fc为：

而浆液中水的分流量fw为：

相关研究表明，可不考虑水动力弥散作用对于水泥颗粒滤过作用的影响[20]，水的质量平衡方程可表示为：

式中：ρw为水的密度；vw表示水的流动速度。

考虑浆液滤过作用下水泥颗粒的滤出，水泥颗粒质量平衡方程为：

式中：ρc为水泥颗粒的密度；vc表示水泥颗粒流动速度；η为质量交换参数，表示单位体积浆液被滤出固体颗粒质量。

同样地，土体骨架的平衡方程为：

将式(1)代入式(6)，可得：

上式给出了土体孔隙率n与单位体积浆液被滤固体颗粒质量η之间的关系。由于η受多种因素的影响，现采用线性滤过定律[20]：

式中：λ为滤过系数，δ为浆液浓度。

如图1所示，以盾构隧道壁后注浆中的管片注浆为例，浆液经过管片上的注浆口注入，在盾尾间隙及围岩内扩散。假定土体均匀，浆液为柱形扩散，浆液渗透扩散的径向速度为v(r,t)。

记v0为浆液进入渗透区前的径向速度，根据流量守恒原理，渗透区边缘处：

式中：n(r0,t)为渗透区边缘处土体孔隙率；v(r0,t)为浆液进入渗透区的速度。

整理式(9)可得：

假定注浆速率恒定，根据质量守恒原理，渗透区内部满足：

整理上式：

由式(5)，式(7)和式(12)，可得：

结合浆液渗透扩散的特点，边界条件如下：

根据SAADA等[20]的研究成果，半径为r处：

考虑围岩土体滤过作用下，土体孔隙率n：

1.3 浆液黏度的时空分布

盾构隧道壁后注浆浆液多为水泥基浆液，阮文军等[12]通过大量实验表明不同浓度的水泥基浆液在凝固前均存在黏度时变性，因此，可将浆液的黏度μg视为浓度δ与时间t的函数，即t时刻浆液黏度μg可表示为：

式中：μ0为与浆液浓度有关的初始黏度；α为与浆液、介质孔隙率有关的浆液黏度时变系数。

根据质量守恒原理，浆液的注入量与其在土体中的渗透扩散量保持一致，注浆量可表示为：

式中：q为注浆速率，r1为t1时刻浆液扩散半径，注浆体高度l0=ψd，d为盾尾间隙厚度。

整理式(18)，相比于浆液扩散半径而言，注浆孔半径r0很小，可忽略，得到浆液扩散半径r1为：

定义浆液扩散时间t为浆液黏度增长时间，即，在浆液扩散锋面r1内部的任意扩散半径为r时，对应的浆液黏度增长时间t为：

此时，r应满足：

盾构隧道壁后渗透注浆的过程中，现有学者[15,18]多假定浆液浓度不变，浆液黏度随着扩散时间的增加而发生增长。实际上，由于围岩土体滤过作用的存在，浆液的浓度也会在扩散的过程中发生改变，导致浆液黏度的变化变得更为复杂。

水泥浆液浓度δ与水灰比Rwc关系如下[11]：

式中：ρc为水泥颗粒密度；ρw为水的密度。

有关浆液黏度时变方程中参数μ0和α的取值，可以通过现场试验获得不同水灰比的浆液黏度时变性方程，再结合式(22)，分别得到浆液初始黏度μ0，黏度时变系数α与浆液浓度δ的关系式。

由式(20)可知，浆液浓度δ与浆液扩散距离r相对应，浆液黏度增长时间t也与浆液扩散距离r相对应，则注浆时间为t1时，扩散半径r处的μ0和α可分别表示为：

联立式(17)，(20)，(23)和(24)构成浆液渗透区黏度时空分布控制方程，式(21)为边界条件。

1.4 考虑滤过作用及黏度时变性的浆液扩散方程

设浆液扩散区内任意距注浆孔中心为r处，扩散路径为dr，存在水头高度差为dh，根据达西定律有：式中：q为注浆速率；A为渗透扩散断面面积；Kg为注浆浆液在土层中的渗透系数，Kg=Kwβ，Kw为水在土层中的渗透系数；β为浆液黏度与水的黏度比。式中：μw为水的黏度。

将式(26)代入Kg=Kw/β中，可得：

受滤过作用的影响，随着水泥浆液的持续扩散，水泥颗粒在土体介质孔隙内逐渐堆积，土体的再渗透性降低，文献[20]采用双曲线模型，计算公式为：

式中：K0为土体初始渗透系数；ζ为反映土体渗透系数变化的参数。

将式(28)代入式(27)，结合式(16)，可得：

设t时刻浆液在扩散半径r与r+dr之间呈现稳定柱形扩散，即，渗透扩散面积A=2πrl0；由于dh=dp/ρg，ρ为浆液的密度；将渗透扩散面积A和水头高度差dh代入式(25)可得：

浆液的密度ρ在滤过作用下不断变化，与浆液浓度δ的关系可表示为：

由于注浆速率恒定，结合式(12)，根据流体力学原理，可得：

将式(29)，式(31)和式(32)代入式(30)，可得：

浆液扩散边界r1位置处，浆液压力等于水压力pr1=pw，结合此边界条件对式(33)进行积分，可得考虑浆液黏度时变性及滤过作用的浆液压力时空分布方程：

令r=r0，将式(19)代入式(34)可得注浆压力p0与注浆时间t的关系为：

将式(20)代入式(35)，注浆压力p0与浆液扩散半径r1的关系为：

将式(33)在(r0,r)内进行积分，结合r=r0，p=p0的边界条件，可得在某一注浆终压时，距离注浆孔中心为r处的浆液压力：

1.5 仅考虑滤过作用的浆液扩散方程

同理，当仅考虑浆液由于土层的滤过作用而导致的黏度空间分布不均匀，不考虑浆液的黏度时变性时，则无需考虑时间对浆液黏度的影响。

令黏度时变系数α=0，代入上述考虑浆液黏度时变性及滤过作用的时空变化方程中，即可得到仅考虑滤过作用的浆液扩散方程。

1.6 仅考虑黏度时变性的浆液扩散方程

同1.4 节推导过程，当仅考虑浆液的黏度时变性而导致的黏度空间分布不均匀，不考虑浆液在土层中滤过作用时，则黏度时变参数μ0和α均为常数。

联立式(27)，(30)和(32)，可得：

仅考虑浆液黏度时变性的浆液压力时空分布方程：

注浆压力p0与注浆时间t的关系为：

注浆压力p0与浆液扩散扩散半径r1的关系为：

在注浆压力恒定，时间为t时，距离注浆孔中心为r处的浆液压力：

2 算例分析

根据上述得到的浆液黏度时空分布控制方程和浆液扩散运动方程，设某盾构隧道注浆孔r0=2.5 cm，土体初始孔隙率n0=0.22，初始渗透系数为0.000 5 cm/s，令泥浆水灰比Rwc=1.0，水泥颗粒密度ρc=3.0 g/cm3，盾构壁后注浆速率q=25 L/min，地下水压力Pw=0，浆液注入率ψ=1.5，盾尾间隙d=0.1 m，滤过系数λ和土体渗透系数变化参数ζ均需通过注浆试验得到[5]，参考房凯等[5]通过计算分析得到的滤过参数，分别取λ=0.000 3 s-1，ζ为-34。代入相关计算参数，计算得l0=0.15 m，n′0=0.74。根据经验公式K′=Ke′2/e2，浆液扩散范围内土体的等效初始渗透系数K0=0.05 cm/s。

本文浆液初始黏度采用朱光轩等[21]在大量试验后对不同水灰比浆液黏度拟合的结果进行计算，即，μ0(δ)=0.001+0.127 9δ-0.263 1δ2。渗 透 注 浆一般采用的浆液为水灰比大于1.0 的水泥浆[21]，且有关研究表明水灰比大于2.0 的浆液注浆效果无法保证，由文献[12]的实验结果可知，浆液黏度时变系数在此区间内的变化不大，暂取α=1/5 000 s-1。

2.1 注浆渗透扩散区黏度时空分布

将q=25 L/min 代入式(32)，求得浆液的初始速率v0=1.768 cm/s，假设注浆时间t=30 min，由式(19)，浆液扩散半径r1=1.467 m，相关参数代入浆液渗透区黏度时空分布方程中，可得浆液在扩散区(r∈[r0,r1])考虑滤过作用与时变性的黏度空间分布曲线。在上述计算的过程中，令初始黏度μ0(δ)=μ0(δ=0.25)，可得到仅考虑黏度时变性的浆液黏度空间不均匀分布曲线；令初始黏度时变系数α=0，可得仅考虑滤过作用的浆液黏度空间不均匀分布曲线，如图2所示。

由图2可知：

1) 仅考虑浆液黏度时变性时，浆液黏度空间分布曲线表现为缓慢上升，随着浆液扩散半径的增加，浆液黏度增加的速率变快，空间分布曲线近似指数函数形式。

2) 仅考虑滤过作用时，浆液黏度在空间上的分布表现为随扩散半径的增加而缓慢下降，其原因是土体滤过作用导致浆液浓度降低，从而使得浆液黏度减小。

3) 当考虑滤过作用与黏度时变性时，浆液黏度在前期变化与仅考虑黏度时变性的黏度空间分布曲线相一致，在扩散半径大于0.6 m 时，随扩散半径的增加，浆液黏度增长速率减小，扩散半径为1.4 m 处出现负增长，其原因是浆液在距注浆孔较近处受滤过作用较小，浆液黏度受时变性的影响较大，随着扩散半径的增加，土体滤过作用逐渐增大，浆液黏度会受到滤过作用与时变性的双重影响。

4) 浆液扩散半径在0～0.6 m 时，浆液黏度的空间分布仅需考虑黏度时变性，浆液扩散半径大于0.6 m 时，浆液黏度的空间分布需要考虑滤过作用与浆液黏度时变性的双重影响。

2.2 注浆压力与注浆时间的关系

代入相关计算参数于式(35)和式(40)，可得注浆压力随时间变化对比曲线，如图3所示。

由图3可知：

1) 随注浆时间的增加，3 种情况下的注浆压力均表现为：在前期急剧增大，在后期注浆压力较大时，注浆压力的增长变缓，近似线性增长。

2) 注浆时间超过3 min 时，3 种情况下的注浆压力增长速度从大到小依次为：考虑滤过作用与黏度时变性、仅考虑滤过作用和仅考虑黏度时变性。随着时间的增加，三者的差值越来越大，注浆时间40 min 时，考虑滤过作用与黏度时变性和仅考虑滤过作用相差0.058 MPa，仅考虑滤过作用和仅考虑黏度时变性的注浆压力相差0.36 MPa。这表明盾构隧道壁后注浆的过程中，充分考虑滤过作用与黏度时变性十分有必要。

2.3 注浆压力对扩散半径的影响

将相关计算参数代入式(36)和式(41)，得到注浆压力0.1 MPa～1.2 MPa 时，浆液的扩散半径如表1所示，并绘制浆液扩散半径与注浆压力变化曲线如图4所示。

表1 不同注浆压力下浆液扩散半径Table 1 Slurry diffusion radius under different grouting pressures

由表1和图4可知：

1) 注浆压力较小时，3 种情况下的浆液扩散半径均随注浆压力的增大而缓慢增加；注浆压力较大时(大于0.5 MPa)，浆液扩散半径迅速增加；注浆压力进一步增大时(大于1.0 MPa)，扩散半径的增长速率变慢，注浆压力的影响逐步减弱。

2) 注浆压力较大时(大于0.5 MPa)，浆液扩散半径的增长速度为：仅考虑浆液黏度时变性>仅考虑滤过作用>考虑滤过作用与黏度时变性，注浆压力1.2 MPa 时，仅考虑黏度时变性的扩散半径是仅考虑滤过作用的情况的1.92 倍，仅考虑滤过作用和考虑滤过作用与黏度时变性的浆液扩散半径相差4.8%。其原因在于，考虑土体滤过作用与黏度时变性均会减小土体渗透系数，从而影响浆液的扩散半径，但土体的滤过作用相比于浆液的黏度时变性对浆液的扩散半径的影响更大，考虑2种效应的叠加时，浆液黏度时变性的影响被显著减弱。

2.4 浆液压强分布

以注浆压力1.0 MPa 为注浆终压，将表1 中的扩散半径与其他相关计算参数代入式(37)和式(42)，可得浆液各质点压强的时空分布对比曲线，如图5所示。以注浆时间为10～50 min，代入相关参数于式(34)，可得考虑滤过作用与黏度时变性时，不同注浆时间下浆液压强时空分布曲线，如图6所示。

由图5和图6可知：

1) 在注浆压力相同的情况下，浆液质点压强均随着距注浆孔中心距离的增大而减小，但表现出的衰减幅度并不一致，从大到小依次为：考虑滤过作用与浆液黏度时变性、仅考虑滤过作用、仅考虑浆液黏度时变性。

2) 相较于仅考虑黏度时变性的情况而言，考虑滤过作用下的浆液渗透阻力更大，因此浆液压力的衰减更为明显；而考虑滤过作用与黏度时变性和仅考虑滤过作用2种情况下的浆液压强分布曲线几乎重合，其原因可能在于土体滤过作用对浆液的稀释作用导致浆液黏度时变性的影响大幅度减小。

3) 随着注浆时间的增加，考虑滤过作用与黏度时变性时，同一位置处的浆液压力逐渐增大；不同注浆时间下的浆液压力随距离的衰减呈现相似性。

3 结论

1) 基于线性滤过定律，建立了恒定注浆速率下考虑滤过作用与浆液黏度时变性的盾构壁后注浆柱形扩散模型，推导了浆液黏度时空分布控制方程和浆液扩散运动方程。

2) 当同时考虑滤过作用与黏度时变性时，浆液黏度在前期变化和仅考虑黏度时变性的黏度空间分布曲线相一致，在扩散半径大于0.6 m 时，随扩散半径的增加，浆液黏度会受到滤过作用与时变性的双重影响，浆液黏度增长速率变慢，扩散半径到1.4 m处开始出现负增长。

3) 注浆压力较小时，浆液扩散半径均随着注浆压力的增大而缓慢增加；注浆压力较大时，浆液扩散半径的增长速度为：仅考虑浆液黏度时变性>仅考虑滤过作用>考虑滤过作用与黏度时变性，注浆压力1.2 MPa 时，仅考虑黏度时变性的扩散半径是仅考虑滤过作用的情况的1.92 倍，仅考虑滤过作用和考虑滤过作用与黏度时变性的浆液扩散半径相差4.8%。

4) 注浆压力相同时，浆液压力均表现为随距注浆孔中心距离的增大而衰减，相较于仅考虑黏度时变性的情况而言，考虑滤过作用下的浆液渗透阻力更大，浆液压力的分布曲线衰减更为明显。