初始几何缺陷的功能梯度梁振动特性分析1)

2022-10-21田婷婷王忠民王清波

力学与实践 2022年5期

田婷婷王忠民王清波

*(西安理工大学土木建筑工程学院，西安 710048)

†(黄河科技学院，郑州 450006)

**(四川建筑职业技术学院土木工程系，四川德阳 618000)

功能梯度材料[1-2]是一种材料属性在指定方向上呈连续功能梯度变化的优质复合材料，由于其具有高刚度耐高温和无脱层等优点而被广泛应用于航空航天、交通运输以及医疗设备等领域。目前有关功能梯度梁振动问题的研究中，文献集中于功能梯度直梁振动的问题，仅有少量文献研究了具有初始几何缺陷梁的振动问题。莫淇茗等[3]基于Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁理论，对功能梯度梁的自由振动问题进行了研究。蹇越傲等[4]基于经典梁理论，研究了热载荷作用下功能梯度梁的大幅值振动问题，讨论了热载荷作用下振幅、材料梯度参数、热载荷、边界条件等因素对功能梯度梁固有频率的影响。张蕊丽等[5]和杨智春等[6]研究了带有初始几何缺陷的二维壁板在超音速气流中非线性颤振特性。George等[7]采用Budiansky-Hutchinson准则，研究了瞬态热载荷作用下浅拱的动力屈曲问题。刘丽威[8]基于经典梁理论、一阶剪切变形理论建立了功能梯度梁的运动微分方程，运用微分求积法分别研究两种理论下的均匀材料梁和功能梯度梁的线性振动问题。陈喜等[9]研究了磁场作用下轴向运动功能梯度Timoshenko梁的振动问题。

在工程实践中，建筑结构构件在生产或使用过程中不可避免会产生一些缺陷，对于构件本身可能存在的初始几何缺陷，如初弯曲和初偏心等，本文主要研究由初弯曲产生的初始几何缺陷的功能梯度梁。在Euler-Bernoulli梁理论的基础上，采用微分求积法对初始几何缺陷的功能梯度梁的自由振动问题进行研究，分析了梯度指标、初始几何曲率、边界约束对梁的无量纲固有频率和振型的影响。

1 初始几何缺陷的功能梯度梁的运动微分方程

建立如图1所示的初始几何缺陷的功能梯度材料梁模型，梁长为l，横截面的宽度为b，厚度为h，初始几何缺陷（微小初始挠度）函数为w0(x)，梁的功能梯度材料由陶瓷与金属复合而成。

图1 初始几何缺陷的功能梯度梁Fig.1 Functionally graded beam with initial geometric defects

假设梁材料性质沿厚度方向呈梯度分布，采用幂函数模型[10]来表示材料组分沿梁厚度方向的变化规律。功能梯度梁的弹性模量E(z)、密度ρ(z)可以表示为

式中，下标c和m分别表示陶瓷和金属材料，n为梯度指标。利用物理中面概念，取功能梯度梁的物理中面z=z0，即

根据经典梁理论和物理中面[11]的概念，梁任意点的位移分量可以表示为

式中，ux和wz分别为功能梯度梁内任意点在x和z方向上的位移分量，u和w为梁轴线上任意点在x和z方向上的位移，z为横截面上任意点坐标。

应力σx与应变εx的关系为

梁的轴力Nx与弯矩Mx分别为式中，A1为拉伸刚度系数，B1为耦合刚度系数，D1为弯曲刚度系数，分别为

将式（1）的第一式代入式（7），进行积分可得

式中

由Hamilton原理，可得初始几何缺陷的功能梯度梁的微分方程组

将式（5）和式（6）代入式（9）和式（10）中，可得用位移分量表示的运动微分方程

式中

将式（1）的第二式代入式（13），进行积分可得

式中

设式（11）和式（12）的解为

式中，ω为梁的固有频率， i 为虚数单位。

将式（15）代入式（11）和式（12），可得

引入无量纲参数

将式（18）代入式（16）和式（17）及位移分量表示的边界条件，可得无量纲化振型微分方程及无量纲化边界条件

无量纲边界条件：

（1）两端简支（S-S）

（2）左端固支，右端简支（C-S）

（3）两端固支（C-C）

2 微分求积法求解

微分求积法的实质是用全域上全部节点的函数值进行加权求和来表示函数及其导数在给定节点处的值，因此可将微分方程离散成以节点处的函数值为未知数的一组代数方程组。以一维函数g(x)为例，设其在区间 [0,1] 上连续可微，其一阶导数可表示为

式中，Wj(x) 为插值基函数，xj为N个互异节点 0 =x1

类似的，在第i个节点处函数的二阶、三阶、四阶导数值可表示为

本文边界条件的处理方法采用δ法，δ的取值范围[13]为 1 0-6≤δ≤ 10-4，过大或过小都会造成结果的不收敛。本文插值基函数采用Lagrange多项式，节点的选取形式为

微分求积法对式（19）和式（20）进行离散，可得

对无量纲边界条件运用微分求积法进行离散：

（1）两端简支（S-S）

（2）左端固支，右端简支（C-S）

（3）两端固支（C-C）

式（29）和式（30）与相对应边界条件联立，写成矩阵形式

式中，M,K为 2N×2N方阵，W={U1,U2,...,UN,W1,W2,...,WN}T为列阵。根据线性代数理论，方程（34）存在非零解的充分和必要条件是系数行列式等于零，由此得到特征方程

设初始几何缺陷为抛物线函数，即W0(ξ)=H[1-4(ξ-0.5)2]/h，将其代入式（29）和式（30）可得

3 算例与分析

为了验证本文解的正确性，物性参数选取为[8]：Ec=427GPa ，ρc=3100kg/m3，Em=125GPa ，ρm=8920kg/m3。表1给出了三种边界条件下，梯度指标n取不同值时功能梯度直梁的一阶无量纲固有频率，并与文献[8]的结果进行了比较，在n=0或n= 10 000（退化为均匀材料）时的结果十分接近，但梯度指标较小时差别较大，原因是本文考虑了非均匀材料中性面的选取与均匀材料的不同。表中偏差率 = (本文结果-文献[8]结果)/本文结果。

表1 S-S、C-S和C-C边界条件下n取不同值时直梁一阶无量纲固有频率 Ω 与文献[8]的比较Table 1 Comparison of the first-order dimensionless natural frequencies Ω of straight beams with different values of n under S-S, C-S and C-C boundary conditions and that in Ref.[8]

表2给出了S-S，C-S和C-C三种边界条件下，不同初始几何曲率的功能梯度梁的一阶无量纲固有频率的本文解与文献[14]中1阶无量纲固有频率的比较。注意的是，文献[14]研究对象为初始曲率半径为的圆弧梁，通过对比分析发现在无量纲初始几何曲率不超过10的情况下，误差在10%范围内。表中? 表示圆弧曲梁的半径，表示矩形截面的回转半径；偏差率 = (本文结果-文献[14]结果)/本文结果。

表2 S-S、C-S和C-C边界条件下初始缺陷梁一阶无量纲固有频率与文献[14]的比较Table 2 Comparison of the first-order dimensionless natural frequencies of initial defective beams with those in Ref.[14] under S-S, C-S and C-C boundary conditions

图2给出初始几何缺陷的功能梯度梁在S-S、C-S和C-C边界条件下，梯度指标n= 10，l/h= 10时初始几何曲率对功能梯度梁前二阶振型函数的影响。

图2 三种边界条件下初始几何曲率对功能梯度梁前二阶振型函数的影响Fig.2 Influence of initial geometric curvature on the first second-order mode functions of functionally graded beams under three boundary conditions

图3给出了无量纲初始几何曲率Γx=3 ，l/h=10时，梯度指标对S-S，C-S和C-C三种不同边界条件下初始几何缺陷的功能梯度梁的前三阶无量纲固有频率的影响。从图中可以看出随着梯度指标的增加，梁的前三阶无量纲固有频率都在逐渐降低。这是因为随着功能梯度指标的增加，梁中陶瓷的含量逐渐增加，使得梁的整体刚度减小。相较于一阶固有频率，二阶、三阶无量纲固有频率的幅值减小得最为明显。

图3 梯度指标对前三阶无量纲固有频率的影响Fig.3 Influence of gradient index on the first three dimensionless natural frequencies

图4给出了梯度指标n= 10，l/h= 10时，无量纲初始几何曲率对S-S，C-S和C-C三种不同边界条件下初始几何缺陷的功能梯度梁的前三阶无量纲固有频率的影响。由图中可以得出，当梯度指数固定不变时，其一阶固有频率随着初始几何曲率的增大逐渐增大，而二阶、三阶固有频率却随着初始几何曲率的增大在逐渐减小。相较于二阶、三阶固有频率，对一阶无量纲固有频率的影响最大。