基于有限集模型预测控制BPMSMS输出性能研究

白郭蒙，单文桃，恽之恒

（江苏理工学院机械工程学院，江苏常州 213001）

高速电主轴作为数控机床的核心功能部件之一，具有高转速、高精度和高效率等特点。主轴电机分为异步电机和永磁同步电机，当前永磁同步电主轴因其转子不发热、功率密度高等优点而被广泛应用[1]。随着无轴承电机研究的不断完善，无轴承技术得到了进一步的应用，将无轴承技术应用在永磁同步电主轴上具有重要的实际意义。无轴承永磁同步电 主 轴（Bearingless Permanent Synchronous Motorized Spindle，BPMSMS）既继承了永磁同步电主轴的优良特性，又避免了转子与支撑轴承的接触，进一步减少了实际工况中由于转子振动所产生的噪声。在电主轴上使用无轴承技术虽可以不考虑各种支撑轴承的缺点[2-4]，但其控制技术却尤为重要。无轴承永磁同步电主轴控制策略的好坏会直接影响工件加工精度和效率的高低。

目前，无轴承电机悬浮力控制策略主要分为基于转子磁场定向控制的位移-电流双闭环控制策略[5-6]（包括悬浮力绕组独立控制）、直接悬浮力控制[7]和多变量非线性解耦控制[8]等。磁场定向控制需要频繁地进行坐标变换和扇区判断，计算量较大；直接控制采用了磁链观测器模型对悬浮力进行控制。该方法对于悬浮力是采用砰-砰控制，而不是连续控制，无法避免转子的振动问题；非线性解耦控制虽然可以实现转矩和悬浮力分量之间的无耦合，但是控制系统的逆模型较复杂，在实际应用中控制器的设计难以求取[9]。而电主轴用于实际加工时追求优良的转矩性能，一般情况下多使用磁场定向控制策略（Field Oriented Control，FOC）。磁场定向控制中使用较优秀的脉宽调制技术为空间电压矢量脉宽调制（Space Vector Pluse Width Modulation，SVPWM），此算法需要前置的静止坐标变换以及频繁的扇区判断，对控制系统硬件要求较高，并且电流跟踪存在一定延迟。传统磁场定向控制中还包含了电流环的设计与使用，其控制参数的好坏也会影响系统控制效果，需要新的控制算法来解决其中的问题。

模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）是一种在线寻优的闭环控制算法，已成功应用于一些工业领域，其控制效果和建模方法具有较大的研究价值。MPC由预测模型、代价函数和滚动优化三部分组成。按照MPC所对应控制动作的不同，MPC分为有限集模型预测控制（Finite Control Set-MPC，FCS-MPC）和连续集模型预测控制（Continuous Control Set-MPC，CCS-MPC）两类[10]。而FCS-MPC具有无需脉宽调制技术，对电机参数没有过高要求，并且具有低开关频率等优点，实际使用时还可避免电流环的设计，故可将其应用于无轴承永磁同步电主轴控制系统中，以此来避免传统磁场定向控制方法的弊端。

本文在无轴承永磁同步电主轴完整电压模型的基础上，提出一种有限集模型预测控制策略，滚动寻找逆变器的最优开关状态量使得参考电流与实际电流的误差最小，以实现最优控制。接着与传统磁场定向控制方法对比验证，总结无轴承电主轴模型预测控制下的电磁转矩、转矩电流、转速以及转子位移的变化情况。最终通过仿真实验验证该方法的正确性和可行性，对数控机床性能改善有重要意义。

1 表贴式无轴承永磁同步电主轴数学模型

本文提及的表贴式无轴承永磁同步电主轴内置电机为无轴承永磁电机，其d-q轴下较为完整的电压方程可写为[11-12]：

电主轴在同步旋转坐标系下的磁链方程为：

因转子稳定运行时位移非常小，可忽略转子位移对转矩的影响，在等功率变换下，电主轴的转矩方程仍为：

式中：uMd与uMq为d-q轴下的转矩绕组电压，uBd与uBq为d-q轴下的悬浮绕组电压；iMd与iMq为d-q轴下的转矩绕组电流，iMd与iMq为d-q轴下的转矩绕组电流；LM和LB分别为两套绕组的电感，在表贴式电主轴中Ld=Lq=LM；RM为转矩绕组相电阻，RB为悬浮绕组相电阻；ψf为转子永磁体产生的磁链，if为等效励磁电流，ψMd与ψMq为d-q轴下的转矩绕组磁链，ψBd与ψBq为d-q轴下的悬浮绕组磁链；ω为转子角速度，M为互感系数；J为转动惯量，pM为转矩绕组极对数，TL为负载转矩；x、y分别为转子在旋转坐标系下的位移。

两套绕组的磁共能方程为：

根据虚功原理，对磁共能求位移的偏导数可得悬浮力方程为[13-14]：

式中：Fx、Fy为转子在x-y轴下的力分量。

2 基于模型预测的无轴承永磁同步电主轴控制原理

2.1 转矩绕组电流模型预测原理

在电主轴稳定运行时，转子处于目标位置，可忽略悬浮绕组的影响，转矩绕组d-q轴下电流方程可写为：

因有限集模型预测控制（FCS-MPC）比连续集模型预测控制（CCS-MPC）具有更好的动态性能，故文中使用有限集模型预测控制。有限集模型预测需要对系统做离散化处理，则在采样时间足够小的情况下，离散化方程为：

转矩电流的预测方程为：

有限集模型预测中的有限集合（控制集）是基于两电平电压型逆变器的8种开关组合，包括6种对应的空间矢量为有效电压矢量的开关组合以及两种对应的空间电压矢量为零矢量的开关组合。控制集中开关状态如表1所示。

表1 开关状态

根据控制集中的状态组合可以求得第k时刻所有开关状态对应的电压：

式中：Vdc1为转矩绕组直流侧电压，C32为Clark-Park变换。

2.2 悬浮绕组电流模型预测原理

悬浮绕组的电流模型预测过程与转矩绕组电流模型预测过程相似，为保证较好的转子悬浮性能，还要考虑转子位移对悬浮绕组电流的影响，当电主轴稳定运行且负载转矩为常值时，转矩绕组的交直轴电流几乎不变，其微分项可忽略，故悬浮绕组电流方程可写为：

对应的悬浮绕组电流离散化方程为：

式中包含了转速、电流和转子位移的采样值。

其中第k时刻下的悬浮绕组d-q轴电压方程为：

式中：Vdc2为悬浮绕组直流侧电压。

控制过程中FCS-MPC通过遍历寻优法，将求得的预测值代入到代价函数中，求出所有有限集合中对应的代价函数值，选出使代价函数最小的逆变器开关状态作为该采样周期内的最优开关状态（Sa*Sb*Sc*）作为输出。代价函数是衡量参考值和预测值误差的标准，悬浮绕组电流预测控制中使用的代价函数与转矩绕组电流预测模型中相同，本文中使用的代价函数为[15]：

式中：d*、iq*为参考电流，id、iq为预测电流。

算法流程为：

（1）获取采样的k时刻所有输入值；

（2）根据式（8）、式（9）、式（11）和式（12）计算（k+1）时刻所有开关状态下的预测电流值；

（3）滚动寻优，根据计算取得的（k+1）时刻所有预测电流，代入代价函数中进行评价，筛选使得代价函数值取得最小的电流，并提取对应最优开关状态量输出到逆变器；

（4）重复上述步骤直至结束。

3 模型预测控制系统设计

综合上文所建立的数学模型，可搭建如图1 所示的模型预测控制原理图。由图1 可知，在FCSMPC系统中，转矩绕组直轴参考电流iMd*为0，iMd（k）、iMq（k）、iBd（k）和iBq（k）都是两套绕组的三相电流通过Clark和Park变换得到。根据实际转速ωm与参考转速ωr*得到转速误差，转速误差经转速环控制器（ASR）调制得到参考转矩电流iMq*（k+1）输入到FCSMPC 模块；位移的偏差通过PⅠD 控制器输出参考悬浮力作用于力-电流转换模块，得到悬浮绕组参考电流iBd*（k+1）和iBq*（k+1），与电流反馈量iBd（k）和iBq（k）一同输入到FCS-MPC 模块，经过FCS-MPC 计算得到最优开关信号用来调节逆变器作用于无轴承永磁同步电主轴。

图1 无轴承永磁同步电主轴FCS-MPC控制原理图

4 仿真实验分析

4.1 相关参数

本文以实验室的FL170-20-15 型高速磨削电主轴为原型机，如图2所示，在此基础上进行改造后的无轴承永磁同步电主轴相关仿真试验分析，其主要参数如下表2所示。

图2 原FL170-20-15型永磁同步电主轴

表2 无轴承永磁同步电主轴参数

通过MATLAB/Simulink 分别对文中提出的有限集模型预测控制策略与基于SVPWM的磁场定向控制（FOC）策略进行仿真对比，来验证其可行性，并将这两种控制方式下的无轴承永磁同步电主轴的相关性能作了对比分析，其中FCS-MPC算法模块使用S函数编写。

4.2 结果分析

如图3所示，FCS-MPC和FOC策略都可使电主轴达到指定转速10 000 r/min且超调量都较小，在调整时间上，模型预测控制略快于转子磁场定向控制；在1.5 s 突加10 N·m 载荷时，MPC 下的转速损失较小且动态性能优于磁场定向控制。图4 和图5 分别为转子磁场定向控制和模型预测控制下的电主轴转矩图，对比可知模型预测控制下的无轴承永磁同步电主轴转矩脉动更小，而表贴式无轴承永磁同步电主轴的电磁转矩主要由iMq产生，FOC下加载前后转矩绕组交轴定子电流误差曲线（error_iMq=iMq*-iMq）如图6 所示；FCS-MPC 下加载前后的转矩绕组交轴定子电流误差曲线如图7 所示。在突加载荷时，FOC需要59 ms 的时间来使得电流恢复稳定，而MPC 只需要5 ms；FOC下加载后的电流误差峰-峰值为5.7，FCS-MPC下加载后的电流误差峰-峰值为0.51，由此可知，模型预测控制下的转矩绕组电流误差远远小于转子磁场定向控制下的电流误差，即模型预测控制下的电流跟踪效果更好，可大幅度提高了控制电流质量。

图3 FCS-MPC与FOC下BPMSMS的转速曲线

图4 FOC下的电主轴转矩

图5 FCS-MPC下的电主轴转矩

图6 FOC下加载前后的转矩绕组交轴定子电流误差

图7 FCS-MPC下加载前后的转矩绕组交轴定子电流误差

如图8至图9所示，可进一步发现模型预测控制下高速电主轴由于高频变流所引发的高次谐波电流成分已被大大削弱，电流曲线近似光滑，且电流的脉动值很小，说明文中所采用的控制策略能够有效地抑制电流的谐波成分，提高了主轴系统的驱动控制性能。

图8 FOC下转矩绕组三相电流

图9 FCS-MPC下转矩绕组三相电流

仿真中转子的初始位置为α（0）=-0.15 mm，β（0）=-0.2 mm，参考位置为α*=0 mm，β*=0 mm。无轴承永磁同步电主轴转子在α轴向上会在1.7 s 时受到1 N 的突加扰动力，在β轴向始终受到9.8 N 的重力。悬浮电流控制效果与转矩电流控制效果类似，便不再列出具体电流图。如图10至图13所示，模型预测控制和转子磁场定向控制都能使转子在很短时间内稳定悬浮在目标位置附近。图11 中0.9 s 处的局部放大图显示了电主轴启动初期由于转矩电流过大，对悬浮绕组的控制产生了较大影响，导致转子位移波动略大于稳定运行时的转子位移波动。

图10 FOC下转子α轴向位移

图11 FOC下转子β轴向位移

如图12至图13所示，0.9 s处的位移波动较FOC控制有略微增加，这是由于模型预测控制中不仅加入了对转矩绕组交轴定子电流iMq，还加入了转子位移的计算，0.9 s前电主轴未达到指定转速，电流较大且转子位移也较大，导致模型预测控制下的转子位移波动小幅度扩大。尽管加入了转矩电流和转子位移的计算，但其仍能实现转子稳定悬浮，抑制转子振动。

图13 FCS-MPC下转子β轴向位移

如图10 至图12 所示，在1.7 s 加入扰动力时，模型预测控制下的转子位移波动明显小于磁场定向控制下的转子位移波动，前者鲁棒性优于转子磁场定向控制。综合上述内容，无轴承永磁同步电主轴模型预测控制既能提高电流跟踪效果，减小转矩脉动，又能实现转子稳定悬浮，避免了电流环的设计调参，综合性能较好。

图12 FCS-MPC下转子α轴向位移

5 结语

本文提出一种基于有限集模型预测控制算法的无轴承永磁同步电主轴控制策略，通过设计结合了转矩电流控制和悬浮力电流控制的模型预测控制系统，来抑制转矩脉动和转子振动进而减轻主轴系统的噪声。通过仿真验证，得到以下结论：本文所设计的模型预测控制系统可以实现BPMSMS 转子的稳定悬浮，在受到扰动力时能使电主轴转子保持更稳定的状态；基于模型预测算法的控制策略转矩电流响应时间缩短了54 ms，电流误差峰-峰值仅为FOC的8.9%，对抑制转矩脉动更有效，在突加载荷时，系统响应更灵敏；在控制系统中还考虑了转矩绕组电流对悬浮绕组电流的影响，提高了悬浮控制系统设计的合理性，使得转子位移波动范围的数量级仅为10-3mm，为以后进一步研究无轴承永磁同步电主轴控制系统奠定了基础。